Alg` ebre
R´ evision du cours de BCPST1 ` a destination des BCPST2.
❚❛❜❧❡ ❞❡s ♠❛t✐èr❡s
✶ ❙②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ♠❛tr✐❝❡s ✸
✶✳✶ ❙②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳✶ Pr❡♠✐❡rs ❡①❡♠♣❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳✷ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✶✳✸ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ♣❛r ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✉ ♣✐✈♦t ❞❡ ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✶✳✹ ❙②stè♠❡s ❞❡ ❈r❛♠❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✶✳✺ ❊s♣❛❝❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✷ ▼❛tr✐❝❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
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✶✳✷✳✷ P✉✐ss❛♥❝❡s ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✸ ▲✐❡♥s ❡♥tr❡ s②stè♠❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ♠❛tr✐❝❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✶✳✸✳✶ ➱❝r✐t✉r❡ ♠❛tr✐❝✐❡❧❧❡ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✶✳✸✳✷ ❈❛❧❝✉❧ ❞✬✐♥✈❡rs❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
✷ ▲❡s ❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s Kn ✸✺
✷✳✶ ➱t✉❞❡ ❞❡ Kn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✷✳✷ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ s♦✉s✲❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s ❞❡ Kn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
✷✳✷✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
✷✳✷✳✷ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✷✳✸ ❇❛s❡ ❞✬✉♥ ❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✷✳✸✳✶ ❋❛♠✐❧❧❡ ❣é♥ér❛tr✐❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✷✳✸✳✷ ❋❛♠✐❧❧❡ ❧✐❜r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻
✷✳✸✳✸ ❇❛s❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵
✷✳✹ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ❞✬✉♥ ❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶
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✷✳✹✳✷ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ❡t ❋❛♠✐❧❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷
✷✳✹✳✸ ■♥❝❧✉s✐♦♥ ❞❡ s♦✉s✲❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸
✷✳✺ ❈♦♦r❞♦♥♥é❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹
✷✳✺✳✶ ❇❛s❡s ❡t ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹
✷✳✺✳✷ ❘❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝✐❡❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺
✷✳✻ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❘❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻
✷✳✻✳✶ ❘❛♥❣ ❞✬✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻
✷✳✻✳✷ ❘❛♥❣ ❞✬✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
✷✳✻✳✸ ❆❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞✉ ♣✐✈♦t ❞❡ ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾
✸ ▲❡s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ❞❡ Kn ❞❛♥s Kp ✻✸
✸✳✶ ●é♥ér❛❧✐tés ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸
✸✳✶✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸
✶
✸✳✶✳✷ ◆♦②❛✉ ❡t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺
✸✳✶✳✸ ■♠❛❣❡ ❡t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ s✉r❥❡❝t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✻
✸✳✶✳✹ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ❜✐❥❡❝t✐✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✸✳✷ ▼❛tr✐❝❡ ❡t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽
✸✳✷✳✶ ❋❛♠✐❧❧❡ ❡t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽
✸✳✷✳✷ ▼❛tr✐❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✾
✸✳✷✳✸ ■♠❛❣❡ ❞✬✉♥ ✈❡❝t❡✉r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶
✸✳✷✳✹ ❖♣ér❛t✐♦♥s s✉r ❧❡s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶
✸✳✸ ❘❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸
✸✳✸✳✶ ❘❛♥❣ ❞✬✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸
✸✳✸✳✷ ❚❤é♦rè♠❡ ❞✉ r❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹
✸✳✸✳✸ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷
P❛rt✐❡ ✶
❙②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ♠❛tr✐❝❡s
❉❛♥s t♦✉t ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✿
• n, p, q ❡tm s❡r♦♥t q✉❛tr❡ ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s t♦✉s ♥♦♥ ♥✉❧s✳
• K ❞és✐❣♥❡r❛ R ♦✉ C✳ ❖♥ r❛♣♣❡❧❧❡ q✉✬✉♥ s❝❛❧❛✐r❡ ❡st ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡K✳
✶✳✶ ❙②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s
✶✳✶✳✶ Pr❡♠✐❡rs ❡①❡♠♣❧❡s
❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡néq✉❛t✐♦♥s à ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❞❛♥sKp ✭❛♣♣❡❧é ❛✉ss✐
s②stè♠❡ n×p✮ ❡t à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s K ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿
(S)
a1,1 x1+a1,2 x2 +· · ·+a1,p xp =b1 (L1) a2,1 x1+a2,2 x2 +· · ·+a2,p xp =b2 (L2)
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
an,1 x1 +an,2 x2+· · ·+an,p xp =bn (Ln)
❛✈❡❝ ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ✭❝✬❡st (xj)16j6p✮ ❡t ❞❡s s❝❛❧❛✐r❡s ✜①és ❡t ❝♦♥♥✉s ✭❈❡ s♦♥t ❧❡s
❝♦❡✣❝✐❡♥ts (ai,j)16i6n,16j6p ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡♠❜r❡ (bi)16i6n✮✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡
ai,j ❡st ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❧❛jieme ✐♥❝♦♥♥✉❡xj ❞❛♥s ❧❛iieme éq✉❛t✐♦♥ (Li)✳ Définition 1
✸
❙♦✐t (S) ❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ ❝❡ s②stè♠❡ ❡st
❤♦♠♦❣è♥❡ ✭♦✉ s❛♥s s❡❝♦♥❞ ♠❡♠❜r❡✮ s✐ b1 =b2 =· · ·=bn =0✳ ❖♥ ♥♦t❡ (H) ❧❡
s②stè♠❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é à(S)✱ ❝✬❡st ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x1,· · · , xp) é❧é♠❡♥t ❞❡ Kp ✿
(H)
a1,1 x1+a1,2 x2 +· · ·+a1,p xp =0 a2,1 x1+a2,2 x2 +· · ·+a2,p xp =0
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
an,1 x1 +an,2 x2+· · ·+an,p xp =0 Définition 2
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
x+3y =6 x−y =0
2x =7
❡st ✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡✱ ✐❧ ❛ 3 éq✉❛t✐♦♥s ❡t ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y)✳ ❈❡ ♥✬❡st ♣❛s ✉♥
s②stè♠❡ ❤♦♠♦❣è♥❡✱ s♦♥ s②stè♠❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é ❡st ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y) é❧é♠❡♥t
❞❡K2 ✿
x+3y =0 x−y =0
2x =0
❙♦✐t (S) ❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✳
• ❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S) ❡st ✉♥ p✲✉♣❧❡t ❞❡ ✈❛❧❡✉rs (x1, x2,· · · , xp) ❞❛♥s Kp
♣♦✉r ❧❡sq✉❡❧❧❡s ❧❡sn éq✉❛t✐♦♥s ❞✉ s②stè♠❡s s♦♥t s✐♠✉❧t❛♥é♠❡♥t ✈ér✐✜é❡s✳
❘és♦✉❞r❡ ✉♥ s②stè♠❡✱ ❝✬❡st ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s❡s s♦❧✉t✐♦♥s✳
• ❯♥ s②stè♠❡ ❡st ❞✐t ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ s✬✐❧ ❛❞♠❡t ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❈✬❡st ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥
s②stè♠❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ q✉✐ ❛❞♠❡t t♦✉❥♦✉rs ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ tr✐✈✐❛❧❡(0, 0,· · · , 0)✳ ❯♥
s②stè♠❡ ♥✬❛②❛♥t ♣❛s ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❡st ❞✐t ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♦✉ ✐♠♣♦ss✐❜❧❡✳
• ❉❡✉① s②stè♠❡s s♦♥t ❞✐ts éq✉✐✈❛❧❡♥ts s✬✐❧s ♦♥t ❧❡ ♠ê♠❡ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦❧✉✲
t✐♦♥s✳
Définition 3
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
✶✳
x+y =6
x+y =3 ❡st ✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ à 2 éq✉❛t✐♦♥s ❡t ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y)✳ ■❧ ♥✬❛ ♣❛s ❞❡
s♦❧✉t✐♦♥✱ ✐❧ ❡st ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✹
✷✳
x+y+z =6 x−y+2z =3 2x−y+3z =7 2x−4y = −2
❡st ✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ à 4 éq✉❛t✐♦♥s ❡t ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y, z)✳ ❖♥
❞é♠♦♥tr❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t q✉✬✐❧ ♥✬❛ q✉✬✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ❝✬❡st (3, 2, 1)✳ ❆tt❡♥t✐♦♥✱ ✐❧ ♥✬❛ ♣❛s 3 s♦❧✉t✐♦♥s
♠❛✐s ✉♥❡ s❡✉❧❡✱ ❧❡ tr✐♣❧❡t (3, 2, 1)✳
✸✳
x+y+z =6 x−y+2z =3 2x−y+3z =7
y+z =3
❡st ✉♥ s②stè♠❡ éq✉✐✈❛❧❡♥t ❛✉ ♣ré❝é❞❡♥t ❝❛r ✐❧ ♥✬❛ q✉✬✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❡t ❝✬❡st
(3, 2, 1)✳
✶✳✶✳✷ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s
❯♥ ♣❡t✐t s②stè♠❡ ✭❞❡ t❛✐❧❧❡ 2 ❛✉ ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥ ❣é♥ér❛❧✮ ♣❡✉t s❡ rés♦✉❞r❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ♣❛r s✉❜st✐t✉t✐♦♥✳
❙♦✐t (S1) ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x, y)∈K2 ✿ (S1)
x+4y =6 x+y =3
❙♦✐t (x, y)∈K2✳ ❖♥ ❛ ✿
(x, y) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡(S1)⇔
x =6−4y 6−4y+y =3 ⇔
x =6−4y y =1 (S1) ❛❞♠❡t ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ❝✬❡st (2, 1)✳
❈❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ ♥✬❡st ♣❛s ❡✣❝❛❝❡ q✉❛♥❞ ❧❡ s②stè♠❡ ❡st tr♦♣ ❣r❛♥❞✳ ❖♥ ✈❛ t♦✉t ❞✬❛❜♦r❞ ✈♦✐r ✉♥
❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ♣♦✉r rés♦✉❞r❡ s②sté♠❛t✐q✉❡♠❡♥t ❡t r❛♣✐❞❡♠❡♥t ❧❡s s②stè♠❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s✱ ♥♦t✐♦♥ q✉❡
❧✬♦♥ ✈❛ ❞é✜♥✐r ❝✐✲❛♣rès✳
❙♦✐t (S) ❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✳
• ❖♥ ❞✐t q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡(S) ❡st ❝❛rré s✐ n=p✳
• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (S) ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r s✐ ✿
∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK✱ ♦♥ ❛ ✿ i > j⇒ai,j =0.
• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (S) ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ✐♥❢ér✐❡✉r s✐ ✿
∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK✱ ♦♥ ❛ ✿ i < j⇒ai,j =0.
• ❖♥ ❞✐t q✉❡(S) ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✐(S)❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ✐♥❢ér✐❡✉r ♦✉ tr✐❛♥❣✉✲
❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✳
Définition 4
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✺
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✳ ❉✐r❡ q✉❡ (S) ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r s✐❣♥✐✜❡
q✉✬✐❧ ❡st ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,p xp = b1 (L1) a2,2 x2 + · · · + a2,p xp = b2 (L2)
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
an,n xn + · · · +an,p xp = bn (Ln)
❖♥ ✈✐❡♥t ❞❡ s✉♣♣♦s❡r q✉❡ n < p ✭n > p ❡st ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❛✈❡❝ ✉♥ s②stè♠❡ n ×p tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡
s✉♣ér✐❡✉r✮✳ ■❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ q✉❡n=p✱ ❝❡❧❛ ❞♦♥♥❡r❛✐t ✿
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,p xp = b1 (L1) a2,2 x2 + · · · + a2,p xp = b2 (L2)
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
an,n xn = bn (Ln)
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
▲❡s tr♦✐s s②stè♠❡s s✉✐✈❛♥ts s♦♥t tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s s✉♣ér✐❡✉rs ✿ x+2y = 10
5y = 0
x+2y+3z = 10 5y+12z = 22 7z = 7
❡t
x+2y = 10 5y+12z = 22 7z = 7
❱♦✐❝✐ tr♦✐s s②stè♠❡s ♥♦♥ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ✿ x+2y = 10
x+65y = 0
x+2y+3z = 10 x+5y+12z = 22 7z = 7
❡t
x+2y+3z = 10 5y = 22 y+7z = 7
❙♦✐t (S) ❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✳ ❖♥ s✉♣♣♦s❡ ❞❛♥s ❝❡tt❡
♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ q✉❡ (S)❡st ❝❛rré✱ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r ❡t q✉❡✱ ♣♦✉r t♦✉ti❞❡J1, nK✱
ai,i 6=0✳ P♦✉r rés♦✉❞r❡ ❝❡ s②stè♠❡✱ ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❢❛✐r❡ ❞❡s s✉❜st✐t✉t✐♦♥s s✉❝❝❡ss✐✈❡s
❡♥ ❝♦♠♠❡♥ç❛♥t ♣❛r (Ln) ❡t ❡♥ r❡♠♦♥t❛♥t ❥✉sq✉✬à(L1)✳ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❛✐♥s✐ ❧✬✉♥✐q✉❡
s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ (S)✳ Proposition 5
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✻
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
❙♦✐t (S2) ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x, y, z)∈K3 ✿ (S2)
x+2y+3z = 10 5y+12z = 22 7z = 7
❖♥ rés♦✉t ❝❡ s②stè♠❡ ❛✈❡❝ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ♣ré❝é❞❡♥t✳ P♦✉r t♦✉t(x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S2)⇔
x+2y+3×1 = 10 5y+12×1 = 22 z = 1
⇔
x+2y = 7 5y = 10
z = 1
⇔
x = 3 y = 2 z = 1
▲✬❡♥s❡♠❜❧❡S ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S2) ❡st ❞♦♥❝ ✿ S={(3, 2, 1)}✳ (S2) ❛❞♠❡t ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳
❖♥ ✈❛ ✈♦✐r s✉r ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡✳
❙♦✐t(S3)❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x, y, z)∈K3 ✿ (S3)
x+2y+3z = 10
y+10z = 20 (S3)❝♦♠♣♦rt❡
2éq✉❛t✐♦♥s ❡t ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✳ ❖♥ r❡♠♦♥t❡ ❡♥ ♣❛rt❛♥t ❞❡ ❧❛ ❞❡r♥✐èr❡ ❧✐❣♥❡✳ ❈❡❧❧❡✲❝✐ ❛ ❞❡✉①
✐♥❝♦♥♥✉❡s✱ ✐❧ ② ❛ ❞♦♥❝ ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❞❡ tr♦♣✳ ❖♥ s❡ r❛♠è♥❡ ❛✉ ❝❛s ❞❡s s②stè♠❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s ❝❛rrés
❡♥ tr❛♥s❢ér❛♥t ❞❛♥s ❧❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡♠❜r❡ ❧✬✐♥❝♦♥♥✉❡ ❡♥ tr♦♣✳ ❖♥ ♣❡✉t ❞é❝✐❞❡r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ q✉❡ ❝✬❡st z
✭♦♥ ♣❡✉t ♣r❡♥❞r❡ ❛✉ss✐ y✮✳ ❖♥ ❞✐t ❛❧♦rs q✉❡ z ❡st ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡✳ P♦✉r t♦✉t (x, y, z)∈ K3✱
♦♥ ❛ ✿
(x, y, z)s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S3)⇔
x+2y = 10−3z y = 20−10z
⇔
x = −30+17z y = 20−10z
▲✬❡♥s❡♠❜❧❡S ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S3) ❡st ❞♦♥❝ ✿ S={(−30+17z, 20−10z, z), z∈K}✳ (S3) ❛❞♠❡t ✉♥❡
✐♥✜♥✐té ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♥❡ ❞é♣❡♥❞ ♣❛s ❞❡ ❧✬✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡ ❝❤♦✐s✐❡✳ ❈✬❡st ❥✉st❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s q✉✐ ❝❤❛♥❣❡✳ ❉❛♥s ❧✬❡①❡♠♣❧❡ ♣ré❝é❞❡♥t✱ s✐ ♦♥ ❝❤♦✐s✐ty❝♦♠♠❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t q✉❡✱ ♣♦✉r t♦✉t (x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S3)⇔
x+3z = 10−2y 10z = 20−y
⇔
x = 4− 17y10 z = 2− 10y
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✼
▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S3) ❡st ❞♦♥❝
(4− 17y
10 , y, 2− y
10), y∈K)
✳ ❈✬❡st ❧❡ ♠ê♠❡ ❡♥s❡♠❜❧❡
q✉❡ ❝❡❧✉✐ ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t tr♦✉✈é✱ ❧❡s ❞❡✉① s♦♥t ❞❡✉① ❞r♦✐t❡s ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r (−30, 20, 0) ❡t (16, 0, 2)✱ ♦♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ ❛✣r♠❡r q✉❡ ✿
{(−30+23z, 20−10z, z), z∈K}=
4− 17y
10 , y, 2− y 10
, y∈K
✶✳✶✳✸ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ♣❛r ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✉ ♣✐✈♦t ❞❡ ●❛✉ss
❙♦✐❡♥t(S)✉♥ s②stè♠❡n×p✱α✉♥ s❝❛❧❛✐r❡ ♥♦♥ ♥✉❧ ❡tµ✉♥ s❝❛❧❛✐r❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡✳
❙♦✐❡♥t i ❡t j ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts ❞❡ J1, nK✳
❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ s✉r ❧❡s ❧✐❣♥❡s ❞✉ s②stè♠❡ (S) ❧✬✉♥❡ ❞❡s ♦♣ér❛✲
t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿
• ▼✉❧t✐♣❧✐❡r ❧❛ ❧✐❣♥❡ (Li) ❞❡ (S) ♣❛r α ✭❈❡tt❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ s❡r❛ ♥♦té❡ ❞❡ ❧❛
❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿Li←−αLi✮✳
• ❆❥♦✉t❡r à ❧❛ ❧✐❣♥❡ (Li) ❞❡ (S) ❧❛ ❧✐❣♥❡ (Lj) ❞❡ (S) ♠✉❧t✐♣❧✐é❡ ♣❛r µ ✭❖♣é✲
r❛t✐♦♥ ♥♦té❡Li←−Li+µLj✮✳
• ➱❝❤❛♥❣❡r(Li) ❡t(Lj) ✭❖♣ér❛t✐♦♥ ♥♦té❡ Li←→Lj✮✳
Définition 6
❙♦✐❡♥t (S) ✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t (S′) ✉♥ s②stè♠❡ ♦❜t❡♥✉ à ♣❛rt✐r ❞❡ (S) ❡♥
❡✛❡❝t✉❛♥t ✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ s✉r ❧❡s ❧✐❣♥❡s ❞✉ s②stè♠❡ (S)✳ (S) ❡t (S′) s♦♥t ❛❧♦rs éq✉✐✈❛❧❡♥ts✱ ✐❧s ♦♥t ♠ê♠❡ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳
Proposition 7
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
❊♥ ❝♦♠♣♦s❛♥t ♣❧✉s✐❡✉rs ♦♣ér❛t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✉♥ s②stè♠❡ éq✉✐✈❛❧❡♥t✳
❖♥ ❛ ❛✐♥s✐ ✿
L1
L2
L3
⇔
L2
L3
L1
L1
L2
L3
⇔
3L1− 5L2+ 2L3
L2
L3
P❛r ❝♦♥tr❡✱ ✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦sé❡ ❞♦✐t ♣♦✉✈♦✐r s❡ ❞é❝♦♠♣♦s❡r ❡♥ s✉✐t❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s
♣♦✉r q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❞❡♠❡✉r❡ éq✉✐✈❛❧❡♥t✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❝❡tt❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❡st ❢❛✉ss❡ ✿ L1
L2
⇔
L1 +L2
L2 +L1
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✽
▼ét❤♦❞❡✿
▲❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✉ ♣✐✈♦t ❞❡ ●❛✉ss s❡ ❜❛s❡ s✉r ❧❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s ❡t ♣❡r♠❡t ❞❡ rés♦✉❞r❡ très
❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ s②stè♠❡✳
❈❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ s❡ ♣❛ss❡ ❡♥ ❞❡✉① ❣r❛♥❞❡s ét❛♣❡s ✿
✶✳ ➱t❛♣❡ ✶ ✿ ➱❧✐♠✐♥❛t✐♦♥s s✉❝❝❡ss✐✈❡s ❞❡s ✐♥❝♦♥♥✉❡s à ❧✬❛✐❞❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s ♣♦✉r ♣❛s✲
s❡r ❞✉ s②stè♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ à ✉♥ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✳
✷✳ ➱t❛♣❡ ✷ ✿ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r ♣❛r s✉❜st✐t✉t✐♦♥s r❡♠♦♥t❛♥t❡s✳
❖♥ ✈❛ ét✉❞✐❡r ❝❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ s✉r tr♦✐s ❡①❡♠♣❧❡s✳
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
❙♦✐t(S4)❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x, y, z)∈K3✿ (S4)
x+2y+3z = 2 (L1) 3x+y+2z = 1 (L2) 2x+3y+z = 0 (L3)
➱t❛♣❡ ✶ ✿
❖♥ ✈❡✉t ♣❛ss❡r à ✉♥ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✳
➱❧✐♠✐♥♦♥s x ❞❡s ❞❡✉① ❞❡r♥✐èr❡s ❧✐❣♥❡s✳✳✳ P♦✉r t♦✉t (x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S4)⇔
x+2y+3z = 2 (L1)
5y+7z = 5 (L2 ←−−L2+3L1) y+5z = 4 (L3 ←−−L3+2L1)
❖♥ ❞✐t q✉❡ ❧❛ ❧✐❣♥❡(L1)❡st ❧❛ ❧✐❣♥❡ ♣✐✈♦t ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✳ ❈❡tt❡ ❧✐❣♥❡ ♥❡ ❞♦✐t ♣❧✉s êtr❡ ✉t✐❧✐sé❡
❞❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ s♦✉s ♣❡✐♥❡ ❞❡ ❢❛✐r❡ ❛♣♣❛r❛îtr❡ ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉ x s✉r ❧❡s ❛✉tr❡s ❧✐❣♥❡s✳ ▲❡
❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ x ❞❡ ❝❡tt❡ ❧✐❣♥❡ ✭✐❝✐ 1✮ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❧❡ ♣✐✈♦t ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✳
❖♥ ✈❡✉t ❞és♦r♠❛✐s é❧✐♠✐♥❡ry❞❡ ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ♦✉ ❞❡ ❧❛ tr♦✐s✐è♠❡ ❧✐❣♥❡✳ ❙✐ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡(L2)❝♦♠♠❡ ❧✐❣♥❡
♣✐✈♦t✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✿ P♦✉r t♦✉t(x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡(S4)⇔
x+2y+3z = 2 (L1) 5y+7z = 5 (L2)
(5− 75)z = 3 (L3 ←−L3−15L2)
❖♥ ♣❛ss❡ ❡♥s✉✐t❡ à ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡ ✿
➱t❛♣❡ ✷ ✿ P♦✉r t♦✉t(x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S4)⇔
x+2y+3×56 = 2 5y+7×56 = 5 z = 56
⇔
x−2× 16 = −36 y = −16
z = 56
⇔
x = −16 y = −16 z = 56
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✾
❖♥ s❡ r❡♥❞ ❝♦♠♣t❡ q✉❡ ❧❡s ❢r❛❝t✐♦♥s ❛✉❣♠❡♥t❡♥t s❡♥s✐❜❧❡♠❡♥t ❧❛ ❞✐✣❝✉❧té ❞❡s ❝❛❧❝✉❧s✳ P♦✉r é❧✐♠✐♥❡r
❧✬✐♥❝♦♥♥✉❡ y✱ ♦♥ ♥❡ ♣❡✉t ♣❛s s❡ s❡r✈✐r ❞❡ ❧❛ ❧✐❣♥❡ (L1) q✉✐ ❛ ❞é❥à s❡r✈✐ ❞❡ ♣✐✈♦t✳ ❙✐ ♦♥ ❧✬✉t✐❧✐s❛✐t✱ ♦♥
ré✐♥❥❡❝t❡r❛✐t ❧✬✐♥❝♦♥♥✉❡x ❞❛♥s ❧❡s ❧✐❣♥❡s(L2)♦✉(L3)✳ ❊♥ r❡✈❛♥❝❤❡✱ ♦♥ ♣❡✉t ✉t✐❧✐s❡r(L2)♦✉(L3)♣♦✉r é❧✐♠✐♥❡r y✱ ♦♥ ♥✬❡st ♣❛s ♦❜❧✐❣é ❞✬✉t✐❧✐s❡r(L2)✳
❙✐ ♦♥ ♦❜s❡r✈❡ ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡✈❛♥t y ❞❛♥s ❧❡s ❧✐❣♥❡s (L2) ❡t (L3)✱ ♦♥ ✈♦✐t q✉❡ ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❧❛
❧✐❣♥❡ (L3) q✉✐ ❡st 1 ❡st ♣❧✉s s✐♠♣❧❡ q✉❡ 5✱ ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❧❛ ❧✐❣♥❡ (L2)❀ ✐❧ ❡st ❞♦♥❝ ♣❧✉s ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥t
❞❡ ♣r♦❝é❞❡r ❛✐♥s✐ ♣♦✉r t❡r♠✐♥❡r ❧✬ét❛♣❡ 1✳ P♦✉r t♦✉t(x, y, z)∈K3✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡(S4)⇔
x+2y+3z = 2 (L1) y+5z = 4 (L2 ↔L3) 5y+7z = 5
⇔
x+2y+3z = 2 (L1) y+5z = 4 (L2)
−18z = −15
❖♥ ❛❜♦✉t✐t à ✉♥ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ❡t ♦♥ ❝♦♥❝❧✉t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ✉s✉❡❧❧❡ ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡✳ ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡
S❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S4)❡st ❞♦♥❝ ✿ S=
−1 6 ,−1
6 ,5 6
✳ (S4) ❛❞♠❡t ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
❙♦✐t (S5) ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡(x, y, z, t)∈K4 ✿
(S5)
−y+2z+3t = 0 (L1) 2x +2y−z = 0 (L2) 3x −y+2z−2t = 0 (L3) 5x +y+z−2t = 0 (L4)
➱t❛♣❡ ✶ ✿
▲❛ ❧✐❣♥❡ (L1) ♥✬❛ ♣❛s ❧✬✐♥❝♦♥♥✉❡ x✳ ■❧ ❢❛✉t ❞♦♥❝ ❝❤♦✐s✐r ✉♥❡ ❛✉tr❡ ❧✐❣♥❡ ♣✐✈♦t✳ ❊♥ ❝♦♠♣❛r❛♥t ❧❡s
❞✐✛ér❡♥ts ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡x✱ ♦♥ ♣❡✉t ❡st✐♠❡r q✉❡ ❧❛ ❧✐❣♥❡ (L2) ❡st ❧❛ ♣❧✉s ❛❞❛♣té❡ ♣♦✉r ❛ss✉♠❡r ❧❡ rô❧❡
❞❡ ♣✐✈♦t ♣♦✉r é❧✐♠✐♥❡r x✳ ❙♦✐t (x, y, z, t)∈K4✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z, t)s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S5) ⇔
2x +2y−z = 0 (L1 ←→L2)
−y+2z+3t = 0
3x −y+2z−2t = 0 (L3) 5x +y+z−2t = 0 (L4)
⇔
2x +2y−z = 0 (L1)
−y+2z+3t = 0 (L2)
−8y+7z−4t = 0 (L3 ←−2L3 −3L1)
−8y+7z−4t = 0 (L4 ←−2L4 −5L1)
▲❡s ❞❡✉① ❞❡r♥✐èr❡s ❧✐❣♥❡s s♦♥t ❧❡s ♠ê♠❡s ✭r❡❞♦♥❞❛♥❝❡ ❞✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✮✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✵
(x, y, z, t)s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S5) ⇔
2x +2y−z = 0 (L1)
−y+2z+ 3t = 0 (L2)
−8y+7z− 4t = 0 (L3) 0 = 0
⇔
2x +2y−z = 0
−y+2z+ 3t = 0
−8y+7z−4t = 0
❆ ❝❡ st❛❞❡ ❧à✱ ♦♥ s❡ r❡♥❞ ❝♦♠♣t❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ✈❛ ✉t✐❧✐s❡r ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡ ♣✉✐sq✉✬✐❧ r❡st❡3éq✉❛t✐♦♥s
❡t4✐♥❝♦♥♥✉❡s✳ ❈❡❝✐ ♥✬❛ ❧✐❡✉ q✉❡ ❞❛♥s ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡♥❝♦r❡ ♣r♦❝é❞❡r à ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♠❜r❡s
❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s ❛✜♥ ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✳
(x, y, z, t)s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S5)⇔
2x +2y−z = 0 (L1)
−y+2z+ 3t = 0 (L2)
−9z− 28t = 0 (L3 ←−L3 −8L2)
▲❡ s②stè♠❡ ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ s✉♣ér✐❡✉r✱ ♦♥ ♣❡✉t ♣❛ss❡r à ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡✳
➱t❛♣❡ ✷ ✿ ❖♥ ❝❤♦✐s✐t ✉♥❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡✱ z ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ♣✉✐s ♦♥ ✜♥✐t ❧❛ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡
❝❧❛ss✐q✉❡✳ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t q✉❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S5) ❡st ✿ S=
(−15
28z, 29
28z, z,− 9
28z), z∈K
.
(S5) ❛❞♠❡t ✉♥❡ ✐♥✜♥✐té ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥✭s✮✳ ❊♥ ❝❤♦✐s✐ss❛♥t t ❝♦♠♠❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡ ❛✉①✐❧✐❛✐r❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t q✉❡
(15
9 t,−29
9 t,−28
9 t, t), t ∈K
❝♦♠♠❡ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❈✬❡st ❜✐❡♥ sûr ❧❡ ♠ê♠❡ ❡♥s❡♠❜❧❡✳
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
❙♦✐t ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y, z, t) ∈ K4 ✿ (S6)
−y+2z+3t = 0 2x +2y−z = 0 3x −y+2z−2t = 0 5x +y+z−2t = 1
■❧ ❞✐✛èr❡
❞✉ s②stè♠❡(S5)✉♥✐q✉❡♠❡♥t ♣❛r s♦♥ s❡❝♦♥❞ ♠❡♠❜r❡✳ ❖♥ ❡✛❡❝t✉❡ ❧❡s ♠ê♠❡s ❝❛❧❝✉❧s✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✭❛✈❡❝
(x, y, z, t)∈K4✮ ✿
(x, y, z, t) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S6)⇔
2x +2y−z = 0 (L1)
−y+2z+3t = 0 (L2)
−4y+72z−2t = 0 (L3 ←−L3− 32L1)
−4y+72z−2t = 1 (L4 ←−L4− 52L1)
⇔
2x +2y−z = 0 (L1)
−y+2z+ 3t = 0 (L2)
−4y+72z− 2t = 0 (L3) 0 = 1 (L4 ←−L4−L3)
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✶
▲❛ ❞❡r♥✐èr❡ éq✉❛t✐♦♥ ♥✬❡st ❥❛♠❛✐s ✈r❛✐❡✱(S6)❡st ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✳ ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ S❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ (S6) ❡st
❞♦♥❝ ✿S=∅✳(S6)♥✬❛❞♠❡t ❛✉❝✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥✳
❯♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❛❞♠❡t 0 ♦✉1 ♦✉ ✉♥❡ ✐♥✜♥✐té ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳
Proposition 8
✶✳✶✳✹ ❙②stè♠❡s ❞❡ ❈r❛♠❡r
❯♥ s②stè♠❡ ❝❛rré ❞✬♦r❞r❡ n ❡st ❞✐t ❞❡ ❈r❛♠❡r s✬✐❧ ♣♦ssè❞❡ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳
Définition 9
❙♦✐t (S) ✉♥ s②stè♠❡ ❝❛rré ❞✬♦r❞r❡ n✳
(S) ❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ (S) ❡st éq✉✐✈❛❧❡♥t à ✉♥ s②stè♠❡ ❝❛rré tr✐✲
❛♥❣✉❧❛✐r❡ ❞♦♥t ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ✭✐✳❡ ❧❡s (ai,i)16i6n ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s
♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✮ s♦♥t t♦✉s ♥♦♥ ♥✉❧s✳
Théorème 10
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
❖♥ ❛ ♥♦té (S4) ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿ (S4)
x+2y+3z = 2 (L1) 3x+y+2z = 1 (L2) 2x+3y+z = 0 (L3)
❖♥ s❛✐t q✉❡ ❝❡ s②stè♠❡ ❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r ❝❛r ♦♥ ❛ ❞é❥à ✈✉ q✉✬✐❧ ♥✬❛✈❛✐t q✉✬✉♥❡ s❡✉❧❡ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❖♥ ♣❡✉t
✈ér✐✜❡r q✉❡ ❝❡s ♣✐✈♦ts s♦♥t ♥♦♥✲♥✉❧s✱ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ●❛✉ss ❞♦♥♥❡ ✿
(S4) ⇔
x+2y+3z = 2 (L1)
−5y−7z = −5 (L2 ←−L2−3L1)
−y−5z = −4 (L3 ←−L3−2L1)
⇔
x+2y+3z = 2 (L1)
5y+7z = 5 (L2 ←−−L2) y+5z = 4 (L3 ←−−L3)
⇔
x+2y+3z = 2 (L1)
y+5z = 4 (L2 ←→L3) 5y+7z = 5 (L3)
⇔
✶x+2y+3z = 2 (L1)
✶y+5z = 4 (L2)
✲✶✽z = −15 (L3 ←−L3−5L2)
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✷
❖◆ ❝♦♥st❛t❡ q✉❡ ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ❞❡ ❝❡ ❞❡r♥✐❡r s②stè♠❡✱ q✉✐ ❡st tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ❀ ✐✳❡✳1✱ 1
❡t−18❀ s♦♥t ❜✐❡♥ t♦✉s ♥♦♥ ♥✉❧s✳
❯♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ s♦♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❤♦✲
♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é ❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r✳
Proposition 11
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
P♦✉r t♦✉t(b1, b2, b3) ❞❡R3✱ ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✭❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡ (x, y, z)∈K3✮ ✿
(S4′)
x+2y+3z = 2b1 (L1) 3x+y+2z = b2 (L2) 2x+3y+z = b3 (L3)
❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ s❛✐t q✉❡(S4)❡st ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ❈r❛♠❡r✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡ s♦♥ s②stè♠❡ ❧✐✲
♥é❛✐r❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é ❡st ❞❡ ❈r❛♠❡r✱ ❧❡ s②stè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❡st ❞♦♥❝ ❞❡ ❈r❛♠❡r ✿(S4′)
x+2y+3z = 0 3x+y+2z = 0 2x+3y+z = 0
❖♥ ❝♦♥st❛t❡ s✐♠♣❧❡♠❡♥t q✉❡ ❝✬❡st ❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é ❞❡(S4′)✱ ❝❡❧✉✐✲❝✐ ❡st ❞♦♥❝ ❞❡
❈r❛♠❡r✳
✶✳✶✳✺ ❊s♣❛❝❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s
❙♦✐t (S) ✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✳ ❖♥ ♥♦t❡ X0 ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S)❡t (S⋆)
❧❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ ❛ss♦❝✐é ❞❡(S)✳
• ▲❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡(S) s♦♥t t♦✉t❡s ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡W+X0 ❛✈❡❝ W ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥
❞❡(S⋆)✳
• ❘é❝✐♣r♦q✉❡♠❡♥t✱ s✐ W ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S⋆) ❛❧♦rs W + X0 ❡st ✉♥❡
s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡(S)✳ Proposition 12
➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿
❆ ✈♦✉s ❞✬❡ss❛②❡r✳ ❉✐s❝✉t❡r ❡t rés♦✉❞r❡ s✉✐✈❛♥t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡mré❡❧ ❧❡ s②stè♠❡(S)s✉✐✈❛♥t ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡
(x, y, z)∈R3 ✿ (S)
mx+8y−7z =m 2x+5y−8z =8 4x+3y−9z =9 2x+3y+mz =7
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✸
❊①❡r❝✐❝❡ ❜✐❡♥ ♣é♥✐❜❧❡ ♠❛✐s ❢♦rt ✐♥str✉❝t✐❢✳ P♦✉r é✈✐t❡r ❧❡ ♣✐✈♦t m ✭q✉✐ ♥♦✉s ❢♦r❝❡r❛✐t à ❞✐st✐♥❣✉❡r
❧❡s ❝❛s m =0 ❡t m 6=0✮✱ ♦♥ ♣r❡♥❞ ❧❛ ❧✐❣♥❡ 2 ❝♦♠♠❡ ❧✐❣♥❡ ♣✐✈♦t✳ ❖♥ ✈❛ ❢❛✐r❡ ❛♣rès ❞❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s
❞✉ t②♣❡(L4 ←−2L4−mL1) q✉✐ ❡st é❧é♠❡♥t❛✐r❡ ♠ê♠❡ s✐m =0 ✭❝✬❡st (L4 ←−mL4−2L1) q✉✐ ♥❡
❧❡ s❡r❛✐t ♣❛s s✐m ét❛✐t ♥✉❧✳✳✳✮✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ X❧❡ q✉❛❞r✉♣❧❡t (x, y, z, t) ❡t ♦♥ ❛ ✿
X ✈ér✐✜❡ (S) ⇔
2x+5y−8z =8 (L1 ←−L2) 4x+3y−9z =9 (L2 ←−L3) 2x+3y+mz =7 (L3 ←−L4) mx+8y−7z =m (L4 ←−L1)
⇔
2x+5y−8z =8
y−z =1 (L2 ←− 27L1−17L2)
−2y+ (m+8)z = −1 (L3 ←−L3 −L1) (16−5m)y+ (8m−14)z = −6m (L4 ←−2L4 −mL1)
⇔
2x+5y−8z =8 y−z =1
(m+6)z =1 (L3 ←−L3+2L2)
(3m+2)z = −m−16 (L4 ←−L4− (16−5m)L2)
▲❡ s②stè♠❡ ❡st ❞♦♥❝ ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ s✐m = −2
3 ✭❝❛r ❧❛ ❞❡r♥✐èr❡ ❧✐❣♥❡ ♥♦✉s ❛♣♣r❡♥❞r❛✐t ❛❧♦rs q✉❡ 110
❡st ③ér♦✮ ❡t s✐ m = −6 ✭❝❛r ❧❛ tr♦✐s✐è♠❡ ❧✐❣♥❡ ♥♦✉s ❛♣♣r❡♥❞r❛✐t q✉❡ 0 ❡t 1 s♦♥t ❝♦♥❢♦♥❞✉s✮✳ ❉❛♥s3
❧❡s ❛✉tr❡s ❝❛s✱ ♦♥ ❛ ✿
(x, y, z, t) s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (S) ⇔
2x+5y−8z =8 y−z =1
−(m+16)×(m+6) = 3m+2
z = 1
m+6
⇔
2x+5y−8z =8
y−z =1
m = −25 2 ±
r233 4
z = 1
m+6
❆✐♥s✐✱ s✐ m 6= −25 2 ±
r233
4 ✱ ❧❡ s②stè♠❡ ❡st ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉ ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✳ ❙✐ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t m ♣r❡♥❞
❧❛ ✈❛❧❡✉r −25 2 +
q233
4 ♦✉ ❜✐❡♥ −25 2 −
q233
4 ✱ ♦♥ tr♦✉✈❡ q✉❡ ❧✬✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ ❡st ✿ 3m+21
2m+12, m+7 m+6, 1
m+6
✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✹
✶✳✷ ▼❛tr✐❝❡s
✶✳✷✳✶ ❖♣ér❛t✐♦♥s
❉é✜♥✐t✐♦♥s
• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ n×pà ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s K ✭♦✉ ♠❛tr✐❝❡ à n
❧✐❣♥❡s ❡t à p ❝♦❧♦♥♥❡s✮ ✉♥ t❛❜❧❡❛✉ à n ❧✐❣♥❡s ❡t à p ❝♦❧♦♥♥❡s ❞✬é❧é♠❡♥ts
❞❡K✳ ❙✐ A❡st ✉♥❡ t❡❧❧❡ ♠❛tr✐❝❡✱ ♦♥ ♥♦t❡ai,j ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t à ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥
❞❡ ❧❛ iieme ❧✐❣♥❡ ❡t ❞❡ ❧❛ jieme ❝♦❧♦♥♥❡✳ ❖♥ ❛ ✿
A=
a1,1 a1,2 · · · a1,p
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
an,1 an,2 · · · an,p
❖♥ ♥♦t❡ A= (ai,j)16i6n,16j6p✳
• ❖♥ ♥♦t❡ Mn,p(K) ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❞❡ t❛✐❧❧❡ n×p à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts
❞❛♥s K✳
• ❙♦✐t (i, j)∈J1, nK×J1, pK✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡jieme ✈❡❝t❡✉r ❝♦❧♦♥♥❡ ❞❡ A❧❛ ♠❛✲
tr✐❝❡ ❝♦❧♦♥♥❡
a1,j
✳✳✳
an,j
❡t ♦♥ ❛♣♣❡❧❧❡ iieme ✈❡❝t❡✉r ❧✐❣♥❡ ❞❡ A❧❛ ♠❛tr✐❝❡
❧✐❣♥❡ (ai,1 ai,2 · · · ai,p)✳ Définition 13
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
✶✳
1 2 4 5 7 8
❡st ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ M3,2(R)✱
1 2 3i 4+5i 5 6−9i
❡st ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ M2,3(C)✳
✷✳ (4 5 12) ❡st ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ M1,3(R)✱ ♦♥ ❞✐t q✉❡ ❝✬❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❧✐❣♥❡✳
✸✳
4 5 12
❡st ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ M3,1(R)✱ ♦♥ ❞✐t q✉❡ ❝✬❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❝♦❧♦♥♥❡✳
✹✳ ▲✬é❧é♠❡♥t ❞❡ Mn,p(K) ❞♦♥t t♦✉s ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s♦♥t ♥✉❧s ❡st ♥♦té 0n,p✳ ❖♥ ❧❡ ♥♦t❡ 0 q✉❛♥❞
✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ❞✬❛♠❜✐❣✉ïté✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✺
❙♦✐❡♥t (ai,j)16i6n,16j6p ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ Mn,p(K) ♥♦té A ❡t (bi,j)16i6m,16j6q ✉♥
é❧é♠❡♥t ❞❡ Mm,q(K) ♥♦té B✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ A ❡t B s♦♥t é❣❛❧❡s✱ ❝❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ♥♦t❡
A=B✱ s✐ ✿
n=m, p=q ❡t s✐✱ ♣♦✉r t♦✉t (i, j) ❞❡J1, nK×J1, pK✱ ♦♥ ❛ ✿ ai,j =bi,j. Définition 14
❆❞❞✐t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s
❙♦✐❡♥tA= (ai,j)16i6n,16j6p❡tB= (bi,j)16i6n,16j6p❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡Mn,p(K)✳
❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ s♦♠♠❡ ❞❡ A❡t B❧✬é❧é♠❡♥t ❞❡ Mn,p(K)✱ ♥♦téA+B✱ ❞é✜♥✐ ♣❛r ✿ A+B= (ai,j+bi,j)16i6n,16j6p.
Définition 15
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
1 2 3 4 5 6 7 8 29
+
10 12 13 41 15 16 71 18 79
=
11 14 16 45 20 22 78 26 1
.
☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿
▲❛ s♦♠♠❡ ❞❡ ❞❡✉① ♠❛tr✐❝❡s q✉✐ ♥✬♦♥t ♣❛s ❧❛ ♠ê♠❡ t❛✐❧❧❡ ♥✬❡st ♣❛s ❞é✜♥✐❡✳ ❆✐♥s✐5+
11 14 16 45 20 22 78 26 1
♥✬❛ ♣❛s ❞❡ s❡♥s✳
P♦✉r t♦✉t❡s ♠❛tr✐❝❡s A✱ B ❡tC ❞❡Mn,p(K)✱ ♦♥ ❛ ✿
✶✳ A+B=B+A. ✭❈♦♠♠✉t❛t✐✈✐té ✮
✷✳ A+ (B+C) = (A+B) +C. ✭❆ss♦❝✐❛t✐✈✐té✮
✸✳ A+0n,p =A. ✭➱❧é♠❡♥t ♥❡✉tr❡✮
Proposition 16
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✻
▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣❛r ✉♥ s❝❛❧❛✐r❡
❙♦✐❡♥t A= (ai,j)16i6n,16j6p∈Mn,p(K) ❡t α∈K✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♣r♦❞✉✐t ❞❡A ♣❛r α ❧✬é❧é♠❡♥t ❞❡ Mn,p(K)✱ ♥♦té αA✱ ❞é✜♥✐ ♣❛r ✿
αA= (α ai,j)16i6n,16j6p. Définition 17
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
3
10 12 0 0 15 16
7
9 18 0
=
30 36 0 0 45 48
7
3 54 0
(1+i)
1 1+i 2i 3
=
1+i 2i 2i−2 3+3i
=
1 0
−2 3
+i
1 2 2 3
.
❖♥ ❞✐t q✉❡
1 0
−2 3
❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ ré❡❧❧❡ ❞❡(1+i)
1 1+i 2i 3
❡t
1 2 2 3
s❛ ♣❛rt✐❡ ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡✳
P♦✉r t♦✉t❡s ♠❛tr✐❝❡s A ❡tB❞❡Mn,p(K)❡t ♣♦✉r t♦✉s α❡tβ é❧é♠❡♥ts ❞❡ K✱ ♦♥
❛ ✿ ✶✳ α(βA) =β(αA) ✭❛ss♦❝✐❛t✐✈✐té✮
✷✳ αA+αB=α(A+B) ✭❞✐str✐❜✉t✐✈✐té✮
✸✳ αA+βA= (α+β)A ✭❞✐str✐❜✉t✐✈✐té✮
Proposition 18
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
▲✬❛❞❞✐t✐♦♥ ❡♥tr❡ ♠❛tr✐❝❡s ❛ ❞❡s ♣r♦♣r✐étés s✐♠✐❧❛✐r❡s à ❝❡❧❧❡ ❞❡s ré❡❧s✳ ❙✐ A, B❡t C s♦♥t ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s
❞❡ ♠ê♠❡ t❛✐❧❧❡✱ ♦♥ ❛ ✿
A+C=B⇔C=B−A ❡t A+C=B+C⇔A=B.
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✼
Pr♦❞✉✐t ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s
❙♦✐❡♥t (ai,j)16i6n,16j6p ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ Mn,p(K) ♥♦té A ❡t (bi,j)16i6p,16j6q✉♥
é❧é♠❡♥t ❞❡Mp,q(K)♥♦téB✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♣r♦❞✉✐t ❞❡A♣❛rB❧✬é❧é♠❡♥t ❞❡Mn,q(K)
♥♦té AB ❡t ❞é✜♥✐ ♣❛r ✿
AB= (ci,j)16i6n,16j6q ❛✈❡❝∀(i, j)∈J1, nK×J1, qK, ci,j = Xp
k=1
ai,kbk,j.
▲❛ ♠❛tr✐❝❡ AB ❡st ❞é✜♥✐❡ q✉❛♥❞ A ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ B ❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✳ ❙✐
t❡❧ ❡st ❧❡ ❝❛s ❛❧♦rs AB❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ q✉✐ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❧✐❣♥❡s q✉❡A❡t ❛✉t❛♥t ❞❡
❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ B✳ Définition 19
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
7 3 0 0 5 6
×
0 4i 0 5 1 2
=
0+0+0 28i+15+0 0+0+6 0+25+12
=
0 15+28i
6 37
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
■❧ ❢❛✉t s❡ ♠é✜❡r ❞✉ ♣r♦❞✉✐t ❞❡ ❞❡✉① ♠❛tr✐❝❡s✱ ✐❧ ❞✐✛èr❡ ❞✉ ♣r♦❞✉✐t ❞❡s ré❡❧s✳ ❙♦✐❡♥t A, B❡t C tr♦✐s
♠❛tr✐❝❡s ❞❡ t❛✐❧❧❡s ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❞✉✐t✱ ✐❧ ❢❛✉t ♥♦t❡r ❧❡s tr♦✐s ❢❛✐ts s✉✐✈❛♥ts ✿
• ❖♥ ♥✬❛ ♣❛s ❢♦r❝é♠❡♥t A×B=B×A✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ♦♥ ❛ ✿ 1 1
0 1
×
1 0 1 1
=
2 1 1 1
❡t
1 0 1 1
×
1 1 0 1
=
1 1 1 2
.
• ❖♥ ♣❡✉t ❛✈♦✐r A×B=0❛✈❡❝ A6=0 ❡t B6=0✳ ❱♦✐❝✐ ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ✿ 1 0
0 0
×
0 0 0 1
=
0 0 0 0
.
• ❖♥ ♣❡✉t ❛✈♦✐r A×B=A×C ❛✈❡❝ A6=0 s❛♥s ❛✈♦✐rB=C✳ ❉♦♥♥♦♥s ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ✿
−2 2 1
−1 −4 3 1 −2 0
×
−1 1 3 1 0 2
−1 2 1
=
−2 2 1
−1 −4 3 1 −2 0
×
1 −3 9 2 −2 5 1 −2 7
.
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✽
P♦✉r t♦✉t❡s ♠❛tr✐❝❡sA, B ❡tC ❡t ♣♦✉r t♦✉t s❝❛❧❛✐r❡α✱ s♦✉s rés❡r✈❡ ❞✬❡①✐st❡♥❝❡✱
♦♥ ❛ ✿
✶✳ A×(B×C) = (A×B)×C ✭❛ss♦❝✐❛t✐✈✐té✮
✷✳ (αA)×B=α(A×B) =A×(αB) ✭❛ss♦❝✐❛t✐✈✐té✮
✸✳ A×(B+C) = (A×B) + (A×C) ✭❞✐str✐❜✉t✐✈✐té✮
✹✳ (A+B)×C= (A×C) + (B×C) ✭❞✐str✐❜✉t✐✈✐té✮
Proposition 20
➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿
❙♦✐❡♥t A =
1 2 3 4
❡t B =
5 6 7 8 9 10
✳ ❚r♦✉✈❡r t♦✉t❡s ❧❡s ♠❛tr✐❝❡s X ✈ér✐✜❛♥t A×X =B✳
❈❤❡r❝❤❡r ❛♣rès ❧❡s ♠❛tr✐❝❡s Y t❡❧❧❡s q✉❡ Y×A=B✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❖♥ ❛ é❝r✐t A×X✳ ◆é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t X ❛ 2 ❧✐❣♥❡s ❝❛r A ❛ 2 ❝♦❧♦♥♥❡s✳ ❖♥ ✈❡✉t q✉❡ A×X s♦✐t é❣❛❧
à B ❞♦♥❝ B ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ X✳ X ❛ ❞♦♥❝ tr♦✐s ❝♦❧♦♥♥❡s✳ ❖♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ é❝r✐r❡ X ❞❡ ❝❡tt❡
❢❛ç♦♥ ✿
a b c d e f
✳ ❯♥ ♣❡t✐t ❝❛❧❝✉❧ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ❛❧♦rs ✿
A×X=
a+2d b+2e c+2f 3a+4d 3b+4e 3c+4f
. P♦✉rs✉✐✈♦♥s ✿
A×X=B ⇔
a+2d b+2e c+2f 3a+4d 3b+4e 3c+4f
=
5 6 7 8 9 10
⇔
a+2d=5 b+2e=6 c+2f=7
❡t
3a+4d=8 3b+4e=9 3c+4f=10
⇔ X= 1 2
−4 −6 −8
7 9 11
( ❡♥ rés♦❧✈❛♥t ❧❡ s②stè♠❡ ♣ré❝é❞❡♥t✳)
❙✐ ♦♥ tr♦✉✈❡ ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ Y t❡❧❧❡ q✉❡ Y×A = B ❛❧♦rs B ❡t A ♦♥t ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s ❝❡ q✉✐ ❡st
❢❛✉①✳ ❇r❡❢✱ ✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ❞❡ ♠❛tr✐❝❡ Y t❡❧❧❡ q✉❡Y×A=B✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✾
❚r❛♥s♣♦sé❡ ❞❡ ▼❛tr✐❝❡s
❙♦✐t A= (ai,j)16i6n,16j6p∈Mn,p(K)✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ tr❛♥s♣♦sé❡ ❞❡ A❧✬é❧é♠❡♥t ❞❡
Mp,n(K)♥♦té tA❞é✜♥✐ ♣❛r ✿
tA= (bi,j)16i6p,16j6n ❛✈❡❝ ∀(i, j)∈J1, pK×J1, nK, bi,j =aj,i. Définition 21
✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿
t
7 3 0 0 5 6
=
7 0 3 5 0 6
❡t t
7 3 4 3 5 6 0 6 9
=
7 3 0 3 5 6 4 6 9
.
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❞♦♥❝ ❧❛ tr❛♥s♣♦sé❡ ❞✬✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❡♥ ✐♥t❡r✈❡rt✐ss❛♥t ❧❡s ❧✐❣♥❡s ❡t ❧❡s ❝♦❧♦♥♥❡s✳
❖♥ ❛ ♣♦✉r t♦✉t s❝❛❧❛✐r❡α❡t ♣♦✉r t♦✉t❡s ❧❡s ♠❛tr✐❝❡s A❡t Bs♦✉s rés❡r✈❡ ❞✬❡①✐s✲
t❡♥❝❡ ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿
✶✳ t(A+B) =t A+tB
✷✳ t(αA) =αtA
✸✳ t(tA) =A
✹✳ t(A×B) =t B×tA Proposition 22
☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿
❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ❆tt❡♥t✐♦♥✱ ♦♥ ❛ ❜✐❡♥ é❝r✐t ❧✬é❣❛❧✐tét(A×B) =t B×t A❡t ♣❛s t(A×B) =t A×tB✳ P❡♥s❡③ ❡♥ t❡r♠❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ ✿
✶✳ t(A×B) ❡①✐st❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ A❛ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ B ❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✳
✷✳ tB×tA ❡①✐st❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ tB ❛ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ tA❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ s✐
A ❛ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ B❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✳
✸✳ tA×t B❡①✐st❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ tA ❛ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ tB❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ s✐
B ❛ ❛ ❛✉t❛♥t ❞❡ ❝♦❧♦♥♥❡s q✉❡ A❛ ❞❡ ❧✐❣♥❡s✳
❖♥ ❝♦♥st❛t❡ s✐♠♣❧❡♠❡♥t q✉❡t(A×B) ❡①✐st❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐tB×tA ❡①✐st❡✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷✵
✶✳✷✳✷ P✉✐ss❛♥❝❡s ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s
◗✉❡❧q✉❡s ♠❛tr✐❝❡s ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡s
• ❯♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s K❞✬♦r❞r❡n ❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ à ❝♦✲
❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥sKà n❧✐❣♥❡s ❡tn ❝♦❧♦♥♥❡s✳ ▲❡✉r ❡♥s❡♠❜❧❡ ❡st ♥♦téMn(K)
❡t ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ♥✉❧❧❡ ❞❡ Mn(K)❡st ♥♦té❡ 0n ✭♦✉ 0q✉❛♥❞ ✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ❞✬❛♠✲
❜✐❣✉ïté✮✳
• ▲❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ❞✬✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ (ai,j)16i6n,16j6n ❡st ❧❛ s✉✐t❡
(ai,i)16i6n✳ ▲❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞✐❛❣♦♥❛✉① ❞❡ ❝❡tt❡ ♠❛tr✐❝❡ s♦♥t a1,1, a2,2,· · · , an,n✳
• ▲❡s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s s✉♣ér✐❡✉r❡s s♦♥t ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❝❛rré❡s (ai,j)16i6n,16j6n ✈ér✐✜❛♥t ✿
∀(i, j)∈J1, nK2✱ ♦♥ ❛ ✿ i > j⇒ai,j =0.
❊❧❧❡s s♦♥t ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿
a1,1 a1,2 · · · a1,n−1 a1,n
0 a2,2 · · · ✳✳✳ ✳✳✳
✳✳✳ 0 ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ an−1,n−1 an−1,n
0 · · · 0 0 an,n
• ▲❡s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s s♦♥t ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❝❛rré❡s (ai,j)16i6n,16j6n ✈ér✐✜❛♥t ✿
∀(i, j)∈J1, nK2✱ ♦♥ ❛ ✿ i < j⇒ai,j =0.
• ▲❡s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s s♦♥t ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s s✉♣ér✐❡✉r❡s ♦✉
tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s✳
Définition 23
☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿
❖♥ ♥♦t❡ q✉✬✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡ ❛❧♦rs q✉✬✉♥ s②stè♠❡ tr✐❛♥❣✉✲
❧❛✐r❡ ♥✬❡st ♣❛s ♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t ❝❛rré✳
■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷✶
