BCPST2 R´evision d’analyse 2021/2022

BCPST2 R´evision d’analyse 2021/2022

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soientxun r´eel etnun entier naturel.

1. Montrer que : cos ((n+ 1)x) + cos ((n−1)x) = 2 cos(x) cos(nx) puis exprimer cos(3x) uniquement en fonction de cos(x) .

2. R´esoudre l’ ´equation suivante d’inconnuexr´eel puis pr´eciser les solutions com- prises dans ]−π, π] :

4 cos³(x)−3 cos(x)−

√2 2 = 0.

. Exercice 2 :

R´esoudre dansRl’´equation suivante d’inconnuexr´eel : √

3 cos(7x)−sin(7x) = 1 . Exercice 3 :

Lin´eariser sin⁴(x) et en d´eduire les solutions de l’´equation d’inconnuexr´eel : cos (4x)−4 cos (2x) + 3 = 0.

. Exercice 4 :

Soit u un ´el´ement de ]0, π[. On consid`ere l’ ´equation suivante d’inconnue le nombre complexez :

z²+ 2(1−cos(u))z+ 2(1−cos(u)) = 0.

Trouver les solutions de cette ´equation et donner leur forme trigonom´etrique.

. Exercice 5 :

R´esoudre les ´equations suivantes d’inconnuezcomplexe :

1. z⁶=−1. 2. (z−1)⁶+ (z+ 1)⁶= 0.

. Exercice 6 :

1. ´Etudier la fonctionf suivante : f :t7→ 2t

1 +t −ln (1 +t).

2. En d´eduire les variations de : g:x7→exp(−x)×ln (1 + exp(2x)).

. Exercice 7 :

Pour tout tout entier natureln, on pose : I_n = Z 1

0

xⁿ

1 +xdx. Donner la nature de la suite (In)_n∈Napr`es avoir montr´e que, pour tout entier natureln, on a : 06In6 1

n+ 1.

. Exercice 8 :

Etudier la suite (u´ n)n∈N d´efinie par : u0= 1 et∀n∈N, un+1=2u_n+ 3 un+ 2 . . Exercice 9 :

Expliciter les suites d´efinies par :

1. v0= 3 et, pour tout entier natureln,vn+1= 3vn+ 5.

2. x₀= exp(11),x₁= exp(25) et, pour tout entier natureln,x²_n+2=x³_n+1×x²_n. 3. z0= 11,z1= 25 et, pour tout entier naturel n, 4zn+2−12zn+1+ 9zn= 0.

. Exercice 10 :

Soientnun entier naturel non nul etfn la fonction d´efinie surR^?+ par :

∀x∈R^?+, fn(x) =x+x²+· · ·+xⁿ⁻¹+xⁿ.

1. Montrer que l’´equation fn(x) = 1 admet une unique solution, on la noteraxn

dans la suite de cet exercice.

2. Montrer quex_n ∈ 1

2,1

.

3. En ´etudiant le signe defn(xn+1), montrer que la suite (xn)_n>1est d´ecroissante.

En d´eduire qu’elle converge.

4. Calculer sa limite.

. Exercice 11 :

gest-elle prolongeable par continuit´e en 0 avec :g:x7→ sin x²

√x+ 4−2?

. Exercice 12 :

1. Soitkun entier naturel non nul. Montrer que : 1 2√

k+ 1 6√

k+ 1−√ k6 1

2√ k. 2. En d´eduire la nature de

n

X

k=1

√1 k

!

n∈N^?

.

. Exercice 13 :

Soitf la fonction d´efinie surR+\ {1} par : f :7→ x+ 1

2(x−1)×ln(x).

1. ´Etudier la continuit´e de f et d´emontrer qu’un prolongement par continuit´e est possible. Dans la suite, on notera toujoursf ce prolongement.

2. Montrer quef est de classeC¹. 3. Donner le tableau de variations def.

4. ´Etudier les branches infinies de la courbe et la position relative de la courbe et de sa tangente au point 1 puis tracer l’allure de la fonctionf.

. Exercice 14 :

Mener une ´etude compl`ete (on veut les asymptotes !) et repr´esenter graphiquement la fonction suivante : g:x7→x×exp

x−1 x+ 1

.

. Exercice 15 :

Expliciterϕla fonction, d´efinie sur [−3; 5], par :ϕ:x7→

Z x

−3

f(t)dt avec :

f :x7→







2x six∈[−3; 1[

3x six∈[1; 3]

183 six∈]3; 5]

. Exercice 16 :

Calculer les int´egrales suivantes : 1.

Z 1 0

e^t 1 +e^tdt.

2.

Z 1

−1

t³ 1 +t²+t⁴dt.

3.

Z 1 0

t+√ 2 t²+√

2t+ 1dt

4.

Z 1 0

exp(−x) sin(x)dx.

5.

Z π 0

cos³(t) sin⁴(t)dt.

6.

Z π 0

cos²(t) sin⁴(t)dt.

. Exercice 17 :

R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E) suivante d’inconnue y fonctions deux fois d´erivable :

(1 +x²)y⁰⁰+ 2xy⁰−2 = 0.(E)

. Exercice 18 :

R´esoudre le syst`eme diff´erentielle suivant d’inconnue y fonctions deux fois d´erivables surR:

y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y= (x−1)e^−x ety(0) = 1 ety⁰(0) = 1

sachant qu’il existeaet bdeux r´eels tels que :x7→(ax+b)e^−x soit une solution de l’

´equation diff´erentielle suivante d’inconnuey fonction d´erivable surR: y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y= (x−1)e^−x.

. Exercice 19 :

1. Soient P, Q etR trois polynˆomes `a coefficients r´eels tels que, pour tout x de [−5,3], on ait : P(x)Q(x) =R(x)Q(x). Montrer queP =RouQ= 0.

2. Trouver les racines deX³−9X²+ 26X−24 etX³−7X²+ 7X+ 15 sachant qu’ils poss`edent une racine commune.

3. SoitP =X²ⁿ⁺¹−(2n+ 1)Xⁿ⁺¹+ (2n+ 1)Xⁿ−1 avecnun entier sup´erieur `a 3. Montrer que 1 est racine deP et ´evaluer son ordre de multiplicit´e.

. Exercice 20 :

Soientxety deux fonctions deRdansRd´erivables surR. On dit que (x, y) v´erifie le syst`eme d’´equations diff´erentielles (S) si :

∀t∈R,

(x⁰(t) =y²(t) y⁰(t) = sin(x(t)) .

1. On suppose que (x, y) est une solution de (S). Soient f un fonction de classe C¹ surR²etg:t7→f(x(t), y(t)). Quelle condition faut-il imposer aux d´eriv´ees partielles def pour que gsoit constante ?

2. f : (x, y)7→cos(x) +y³

3 v´erifie-t-elle ces conditions ?

3. Soit (x, y) la solution de (S) tel que (x(0), y(0)) = (0,−√³

6). Exprimer y en fonction dexet tracer le graphe correspondant.

. Exercice 21 :

Soitg: (x, y)7→x²y²−x²−y²+ 1.

1. Trouver les points critiques deg.

2. Calculerg(x, x) etg(x,2−x) pourxdans ]1; 1,1[.

3. gpr´esente-t-il un extremum ?

Exercice ` a faire pendant la classe

- Exercice 22 :

1. R´esoudre l’´equation suivante d’inconnuexr´eel : cos(x) = 1 +ε avecε un r´eel strictement positif.

2. Comment doit-on choisirwpour que l’´equation suivante d’inconnue xr´eel : 1 + sin²(wx) = cos(x)

ait une unique solution ?

- Exercice 23 :

R´esoudre l’´equation suivante d’inconnuet∈i

−π 4,π

4 h

: 2 tan(t) 1 + tan²(t) =1

2 et en d´eduire la valeur exacte de tanπ

12

.

- Exercice 24 :

D´eterminer le module et un argument de :−p 2 +√

3 +ip 2−√

3.

- Exercice 25 :

Pour tout couple d’entiers naturels (n, p), on pose : Jn,p=

Z ^π₂

0

sinⁿ(t) cos^p(t)dt 1. CalculerJ1,1

2. Trouver une relation de r´ecurrence liantJn,petJn,p−2et une liantJn,petJn−2,p. 3. CalculerJn,p

- Exercice 26 :

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante d’inconnue yfonction d´erivable : (1−e^−x)y⁰(x) +y(x) =e^−x (E).

1. R´esoudre (H) surR^∗+et surR^∗−o`u (H) est l’´equation diff´erentielle suivante d’in- connuey fonction d´erivable :

(1−e^−x)y⁰(x) +y(x) = 0 (H).

2. En d´eduire les solutions surR^∗+ et sur R^∗− de l’´equation diff´erentielle (E).

3. Soit une fonctionf d´efinie sur R^∗ par : f :







R^∗ ⇒ R x 7−→

(f1(x) six >0 f₂(x) six <0 o`u f₁ est une solution de (E) sur R^∗+ et f₂ est une solution de (E) sur R^∗−. D´eterminer la fonction f pour que cette fonction soit prolongeable par conti- nuit´e en 0.

4. R´esoudre (E) surR.

- Exercice 27 :

On d´efinit une suite (Pn)_n∈Nde polynˆomes en posant :

Pn=

n

X

k=0

X^k

k! pour tout entier naturel n.

D´eterminer le nombre de racines r´eels dePn pour tout entier natureln.

- Exercice 28 :

Soientnun entier naturel non nul etP le polynˆomeX²ⁿ−1.

1. Lister les racines deP, trouver celles qui sont r´eelles et celles qui sont complexes non r´eelles.

2. FactoriserP dansC[X].

3. D´evelopper (X−z)(X −z) avec z un complexe non r´eel et montrer que l’on obtient un polynˆome irr´eductible dansR[X].

4. En d´eduire la factorisation deP dansR[X], i.e. sous forme de produit de po- lynˆomes irr´eductible `a cœfficients r´eels et dansR[X].

5. Faire de mˆeme pourX²ⁿ⁺¹−1.

- Exercice 29 :

R´esoudre l’´equation suivante d’inconnue xr´eel :p

cos(x) +p

sin(x) = 1.

Exercices bonus

M Exercice 30 :

Calculer cos(5x) et sin(5x) en fonction de sin(x) et cos(x) et en d´eduire la valeur de cosπ

10

.

M Exercice 31 :

R´esoudre les ´equations suivantes d’inconnuexr´eel puis pr´eciser les solutions comprises dans ]−π, π] :

1. sin(2x) = cosπ 3

2. sin(5x) = sinπ 3

3. tan(x) =√ 3 4. 1

2 = cosπ 3 +x

M Exercice 32 :

R´esoudre les in´equations suivantes d’inconnuexr´eel : 1. cos(x)>cosπ

3

2. sin(x)< π

_) Exercice 33 :

Simplifier, pour tout r´eel x, cos(arctan(x) et sin(arctan(x)). En d´eduire la valeur de arctan

1 2

+ arctan 1

3

. M Exercice 34 :

1. R´esoudre l’´equation suivante d’inconnuez complexe :z⁵= 1.

2. En d´eduire la r´esolution de l’´equation suivante d’inconnue zcomplexe : 1 +

z+ 3 iz−2

+

z+ 3 iz−2

² +

z+ 3 iz−2

³ +

z+ 3 iz−2

⁴

= 0.

_) Exercice 35 : On pose :a= exp

2iπ 5

, S=a+a⁴ et T =a²+a³. 1. CalculerS+T etS×T.

2. Montrer queS= 2 cos 2π

5

et T = 2 cos 4π

5

. 3. En d´eduire la valeur de cos

2π 5

. M Exercice 36 :

Soitf la fonction d´efinie par : f :x7→ exp(x) exp(2x) + 1 1. Tracer la courbe repr´esentative de f

2. Montrer qu’il existe un unique r´eel Ltel quef(L) =L.

3. D´emontrer que : 06L6 1 2. M Exercice 37 :

Etudier et repr´´ esenter graphiquement la fonction suivante : f :x7→

x²−4x+ 3 −

x²

2 −3x+ 4

−x² 2

M Exercice 38 :

D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation suivante d’inconnue x strictement positif :

ln(x) = 1 x.

M Exercice 39 :

1. Montrer que, pour tout ´el´ementxde [1,+∞[, on a : (x−2)×√

x−1>− 2 3^3/2.

2. Montrer que pour tout ´el´ement xde ]0,1[, on a : x^x(1−x)^(1−x)>1 2. 3. Soientaetb deux r´eels strictement positifs. Montrer que :

1

2(ln(a) + ln(b))6ln a+b

2

4. D´emontrer que, pour tout r´eel xstrictement positif, on a : ln(x)6x−1.

M Exercice 40 :

1. Soitgune fonction num´erique p´eriodique d´efinie surR. On suppose quegadmet une limite en +∞. Montrer queg est constante.

2. Montrer que cos n’admet pas de limite en−∞.

_) Exercice 41 :

D´eterminer toutes les fonctions num´eriques f continues sur Rv´erifiant la propri´et´e suivante :

∀x∈R, (f(x))²−f(x) = 0.

_) Exercice 42 :

Soit f une fonction num´erique d´efinie et continue sur [0,1]. On suppose que f(0) = f(1). Soitpun entier naturel non nul. Montrer qu’il existexun ´el´ement de

0,1−1

p

tel quef

x+1 p

=f(x).

M Exercice 43 :

Soitf une fonction continue sur [a;b] avecaetbdeux r´eels tels quea < b. On suppose quef([a;b]]⊂[a;b]. Montrer qu’il existe un ´el´ement cde [a;b] tel quef(c) =c.

_) Exercice 44 :

Soit f une fonction continue sur [0,1]. Pour tout tout entier naturel n, on pose :

I_n = Z 1

0

xⁿf(x)dx. Montrer que lim

n−→+∞(I_n) = 0.

M Exercice 45 :

Calculer les int´egrales suivantes :

1.

Z 2 1

2^tdt.

2.

Z e 1

pln(t) t dt.

3.

Z 2π 0

|cos(t)|dt.

4.

Z e 1

tln(t)dt

_) Exercice 46 :

Soitnun entier naturel non nul. D´evelopper (1 + 2X)ⁿet ((1 +X) +X)ⁿ et en d´eduire

que sipest un entier compris entre 0 et nalors :

p

X

k=0

n k

n−k p−k

= 2^p n

p

.

M Exercice 47 :

On d´efinit une suite (P_n)_n∈Nde polynˆomes en posant :

P₀= 1 etP_n+1= (2n+ 1)XP_n−(X²+ 1)P_n⁰ pour tout entier natureln.

Soitnun entier naturel non nul.

1. D´emontrer que pour tout entier natureln,Pn est `a coefficients entiers.

2. D´eterminer le degr´e, le coefficient dominant et la parit´e dePn.