TD sur: R´ evision d’alg` ebre lin´ eaire
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 : On poseA=
4 −10 1 −3
. ExprimerA2 en fonction de Aet de I2 et en d´eduire queA est inversible.
. Exercice 2 :
D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={(x+y, y+ 1, x) avec (x, y)∈R2}.
2. F ={(x2, y+x, y) avec (x, y)∈R2}.
3. F ={(x, y, z)∈R3 tel que x+ 4z−y=x= 0}.
4. F ={(x, y, z)∈R3 tel que xy+ 4z = 0}.
. Exercice 3 :
A-t-on F ⊂G(resp. F =G, resp F ⊃G) avec :
F = Vect ((1,2,1),(1,−3,2)) et G= Vect ((0,5,−1),(3,1,4)).
. Exercice 4 :
Soient A etB les ensembles suivants : A={(x, y, z, t)∈R4 tel que x+ 3y+ 2z = 0} et : B =
(a+b−c, b−c, b, b+ 2a) avec (a, b, c)∈R3 .
D´emontrer queAetB sont des espaces vectoriels puis d´eterminer une base deA, deB puis deA∩B.
. Exercice 5 :
Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f1 :
(
R2 →R2 (x, y) 7→(x2,0) 2. f2 :
(
R2 →R2
(x, y) 7→(x+ 1, y)
3. f3 : (
R3 →R (x, y, z) 7→xy+z 4. f4 :
(
R2 →R3
(x, y) 7→(x+y, y,0) Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.
. Exercice 6 :
Apr`es avoir prouv´e son existence, expliciter l’ application lin´eaire f de R2 dans R3 telle que : f(3,0) = (0,0,0) et f(2,4) = (1,0,0).
Expliciter noyau et image de l’ application lin´eaire de cet exercice.
. Exercice 7 : On appelle B la matrice
0 1 1 0 0 0 4 0 0 2 1 0 3 0 0 0
. On note B1 la base canonique de R4 et B2 la base de R4 suivante : ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,1)). Expliciter les endomorphismes f1, f2 et f3 de M2(R) d´efinies par :
1. MatB1(f1) =B. 2. MatB1,B2(f2) = B. 3. MatB2,B1(f3) = B.
3 Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 8 :
Soit A le sous-espace vectoriel de C4 engendr´e par les vecteurs :
(1,−2,5,−3),(2,3,1,−4),(3,1,6,−7) et (3,8,−3,−5).
1. Trouver une base et la dimension de A.
2. Compl´eter cette base de A en une base de C4.
