TD sur: Alg` ebre lin´ eaire niveau 2A
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={P ∈R[X] tel que P0(5) = 2}.
2. F ={λ(1,2) + (0,1), λ∈R}.
3. F d´esigne ici l’ensemble des matrices inversibles d’ordre 3.
4. F d´esigne ici l’ensemble des matrices sym´etriques d’ordre 3.
5. F d´esigne ici l’ensemble des suites `a valeur r´eelles de limite nulle.
. Exercice 2 :
A-t-on F ⊂G(resp. F =G, resp F ⊃G) avec : F = Vect 1 + 2X+X2,1−3X+ 2X2
et G= Vect 5X−X2,3 +X+ 4X2 .
. Exercice 3 :
Soient A etB les ensembles suivants :
A={P ∈R3[X] tel que P(4) = 0} et B ={P ∈R3[X] tel que P0(4) = 0}.
D´emontrer queAetB sont des espaces vectoriels puis d´eterminer une base deA, deB puis deA∩B.
. Exercice 4 :
Donner la dimension des espaces vectoriels suivants : 1. Vect ((1,1,0),(1,−1,1),(0,1,−1)).
2. {(x1,· · · , xn)∈Rn tel que x1+· · ·+xn = 0} avecn un entier naturel non nul.
3. L’ensemble des matrices sym´etriques d’ordre 3 dont la somme de la premi`ere ligne est nulle.
4. {(un)n∈N tel que ∀ n∈N, un+2 =−6un+ 5un+1}.
5.
( (
R - R
x - P(x) cos(x) +Q(x) sin(x), (P, Q)∈R1[X]
) .
. Exercice 5 :
1. Soit F la famille (X3 +X2+X+ 1,2X3+ 2X2−2X−2, X3+ 1). F est-elle libre ? 2. Mˆeme question avec :
F = (
R - R
x - 1 ,
(
R - R x - exp(x),
(
R - R
x - exp(−x)
! .
. Exercice 6 :
Soient e1, e2, e3, e4 des ´el´ements quelconques d’un espace vectoriel E. On pose f1 =e1+e2 , f2 =e2+e3 , f3 =e3+e4 , f4 =e4−e1 . 1. Peut-on exprimer e1 en fonction de f1, f2, f3, f4?
2. Mˆeme question avece2, puis avec e3 et enfin avec e4. 3. L’´egalit´e suivante est-elle vraie :
Vect (f1, f2, f3, f4) = Vect (e1, e2, e3, e4).
. Exercice 7 :
Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f1 :
(
R3 →R[X]
(x, y, z) 7→(x+y)X4−zX
2. f2 : (
R9[X] →R9[X]
P 7→P0
3. f3 :
C1(R) →R
f 7→
Z 5 0
f(t)dt
4. f4 : (
R1[X] →R3
x+yX 7→(x+y, y,0) Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.
. Exercice 8 : On appelle B la matrice
−1 1 1
0 0 0
0 1 3
. On note B1 la base canonique de R2[X] et B2 la base de R2[X] suivante : (1, X, X +X2). Expliciter les endomorphismesf1, f2 et f3 de R2[X] d´efinies par :
1. MatB1(f1) =B. 2. MatB1,B2(f2) = B. 3. MatB2,B1(f3) = B.
Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.
. Exercice 9 :
Apr`es avoir prouv´e son existence, expliciter l’ application lin´eaire f de R2 dans M2(R) telle que : f(3,0) =
1 0 0 0
et f(2,4) =
1 1 1 1
.
Expliciter noyau et image de l’ application lin´eaire de cet exercice.
. Exercice 10 :
Expliciterf et d´eterminer une base de l’image et du noyau de l’applicationf de Rn[X] dansRm[X]
(netmdeux entiers naturels non nuls `a d´eterminer) canoniquement associ´ee `aA avecAd´efinie par :
A=
1 2 2 2 2 0
puis A=
0 0 0 1 0 0 1 0 0
. Exercice 11 :
Soit E un espace vectoriel et (e1, e2, e3) une base deE.
1. Apr`es avoir prouv´e son existence, d´eterminer le noyau et l’image de l’ endomorphismef deE telle que :
f(e1) = e1+e2+e3 f(e2) = e2+e3 f(e3) = 2e1
2. Expliciter, lorsque cela a un sens, une base de Ker(f −aIdE) avec a un r´eel.
. Exercice 12 :
Soit ϕl’application d´efinie par : ϕ:
(C2(R) → C0(R)
f 7→f00−3f0+ 2f .
Montrer que ϕest une application lin´eaire puis donner une base de son noyau.
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 13 :
Montrer que la famille suivante de RR est une famille libre : (x7→ |x−k|)(16k650).
-) Exercice 14 :
Soit A le sous-espace vectoriel de M2(R) engendr´e parI2 et J la matrice
1 1 0 1
. 1. Trouver une base et la dimension de A.
2. Montrer queA est stable par produit et inverse.
3. R´esoudre l’ ´equation suivante d’inconnues X ∈A : X2 =I2.
4. Soient n un entier naturel et X un ´el´ement de A. ´Evaluer Xn. -) Exercice 15 :
Soient n sup´erieur `a 2, A un espace vectoriel de dimension n et Eet F deux sous-espaces vectoriels deA. L’ensemble E+F, appel´ee somme de E et de F, est l’ensemble suivant :
E+F={e+f,(e, f)∈E×F}. 1. Montrer queE+F est un espace vectoriel.
2. Repr´esenter Vect ((0,0,1)) + Vect ((1,0,0)).
3. Montrer que dim(E+F)6dim(E) + dim(F).
4. Montrer que si E∩F={0A}, alors dim(E+F) = dim(E) + dim(F).
- Exercice 16 :
E d´esigne ici l’espace des fonctions de R dansR de classe C∞. On consid`ere les fonctions suivantes : f1 :x7→sin(x), f2 :x7→cos(x), f3 :x7→xsin(x) et f4 :x7→xcos(x).
On note F l’espace vectoriel engendr´e par ces fonctions et u l’application de F dans F qui `a tout
´el´ement f deF associe f00−f.
1. Montrer queB = (f1, f2, f3, f4) est une base de F.
2. Montrer queu est un endomorphisme de F et expliciter sa matrice A dans la base B.
3. Donner le noyau de u.
- Exercice 17 :
On consid`ere f l’application suivante : f :
(
R[X] →R[X]
P 7→ −4P +XP0+ (X2 −1)P00(X) 1. D´etermine le noyau de f.
2. Soit n un entier naturel et ϕn, la restriction de f `a Rn[X]. Montrer que ϕn est un endomor- phisme de Rn[X].
3. ϕn est-elle bijective ?
4. D´eterminer les r´eels a tels queϕn−aidRn[X] soit un isomorphisme.
- Exercice 18 :
Soient E un espace vectoriel de dimension 4 et f un endomorphisme de E tels que : f2 = 0 et f 6= 0.
1. Montrer que Im (f)⊂Ker(f) et en d´eduire que le rang de f vaut 1 ou 2.
2. Montrer que si rang(f) = 1 alors il existe une baseB de E tel que :
MatB(f) =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
3. Montrer que si rang(f) = 2 alors il existe une baseB de E tel que :
MatB(f) =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
.
4. Conclure.
Exercices bonus
M Exercice 19 :
D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={P ∈R[X] tel que P(5) +P0(3) = 0}.
2. F ={(x, y, z)∈R3 ; x2+y = 0}.
3. F ={(x, y, z)∈R3 ; x+ 4z = 0 et x+y+z = 0}.
4. F ={λX+µ(X2−1), (λ, µ)∈R2}.
5. F ={(un)n∈N tel que un+1 = 3un+ 5}.
6. F d´esigne ici l’union de l’ensemble des polynˆomes de degr´e sup´erieur `a 10 et de l’ensemble contenant uniquement le polynˆome nul.
7. F d´esigne ici l’union des points du cercle trigonom´etrique et de l’origine.
8. F d´esigne ici l’ensemble des matrices inversibles d’ordre 4.
9. F d´esigne ici l’ensemble des matrices diagonales d’ordre 3.
10. F d´esigne ici l’ensemble des matrices d’ordre 4 dont la somme des ´el´ements vaut 0.
11. F d´esigne ici l’ensemble des matrices d’ordre 3 dont la somme des ´el´ements de la diagonales vaut 2.
_) Exercice 20 :
Pour tout entier natureln, on consid`ere les fonctions de Rdans R d´efinies par :
∀x∈R, an(x) = (cos(x))n, bn(x) = cos(nx) et sn(x) = sin(nx).
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Vect (a0, . . . , an) = Vect (b0, . . . , bn).
2. On consid`ere maintenant, pour tout entier naturel n, an, sn et bn comme des fonctions de R dans C, i.e. des ´el´ements duC-espace vectoriel CR.
(a) La fonctionx7→exp (i100x) appartient-elle `a Vect (a0, a1,· · · , a200) ?
(b) La fonctionx7→exp (i100x) appartient-elle `a Vect (b0, b1,· · · , b200, s0, s1,· · · , s200) ? _) Exercice 21 :
SoientAetB deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE tels que A∪B soit un sous-espace vectoriel deE. Montrer que A⊂B ou B ⊂A.
M Exercice 22 :
Soient E unK espace vectoriel et (e1, e2, e3) une base deE. On d´efinit :
f1 =e1+e2, f2 =e3, f3 =e1 −e2, f4 =e3−e1 et f5 =e3+ 2e2. (f1, f2, f3) (resp. (f1, f4, f5), resp. (f1, f2, f3, f4)) ) est-elle une famille libre ?
M Exercice 23 :
Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires :
1. f1 : (
R3 →R3 (x;y;z) 7→(z;y; 0) 2. f2 :
(
R2[X] →R3 x+yX+zX2 7→(x, z, x)
3. f3 : (
R3 →R3
(x;y;z) 7→(x−y;y; 0) 4. f4 :
(
RN →R3 (un)n∈
N 7→(u1, u2−2u3, u4) _) Exercice 24 :
Soient n un entier naturel et A etB deux matrices d’ordre n. On veut prouver que : rang (A×B)>rang (A) + rang (B)−n.
On note f et g les endomorphismes canoniquement associ´ees `a A et B et h la restriction de f `a Im (g).
1. Expliciter le noyau et l’image de h en fonction de f et g.
2. Montrer que rang (A×B) = rang(g)−dim (ker(h)). 3. Conclure.
_) Exercice 25 :
Soient E un espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que : idE =f ◦g.
1. On suppose dans cette question que E est de dimension finie.
(a) Prouver quef est un automorphisme.
(b) Que peut-on en d´eduire sur g? 2. Peut-on dire que g est f−1?
