Groupes et géométrie, feuille 7
N. Perrin
À rendre le mercredi 25.03.2020 Correction le jeudi 26.03.2020
Exercice 1 (3×10 = 30 Points) On rappelle la définition des matrices élé- mentaires de types I, II et III.
Type I. Soient1≤p, q≤n avec p6=qeta∈R. On définitTp,q(a) = (ti,j)∈ Mn(R)par
ti,j=
1 sii=j,
a si(i, j) = (p, q), 0 sinon.
Type II. Soit1≤p≤net soitb∈R×. On définitDp(b) = (di,j)∈Mn(R)par
di,j=
1 sii=j6=p, a sii=j=p, 0 sinon.
Type III. Soient1≤p, q≤n. On définitEp,q = (ei,j)∈Mn(R)par
ei,j=
1 siq6=i=j6=j, 1 si(i, j) = (p, q), 1 si(i, j) = (q, p), 0 sinon.
On note G le sous-groupe de GLn(R) engendré par toutes les matrices élé- mentaires etH le sous-groupe deGengendré par les matrices élémentaires de type I et de type III :G=hM |M matrice élémentaire de type I, II ou IIIiet H=hM |M matrice élémentaire de type I ou IIIi.
(i) Montrer queG= GLn(R). [On pourra appliquer l’algorithme de Gauß].
(ii) Montrer que pour tout élémentA∈H, on adet(A)∈ {±1}.
(iii) Montrer que l’on a une bijection entre G/Het R∗+.
Exercice 2 (5×10 + 20 = 70 Points) SoitG=A5⊂S5 le groupe alterné.
(i) Décrire tous les éléments d’ordre2deG.
(ii) Montrer que deux éléments d’ordre2deGsont conjugués dansG.
1
(iii) Soit xun5-cycle. Montrer quex∈Get décrire les éléments dehxi (iv) Montrer que tout5-cycle est conjugué à un élément dehxi.
(v) Montrer que les3-cycles sont tous conjugués dansG.
(vi) SoitH / GavecH 6={1}. Montrer queH =G.
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