Feuille 7,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 19.03.2018 Correction le 27.03.2018
Exercice 1 (2×15 = 30 points) Soit Aun anneau et mun idéal maximal deA. SoientM et N deuxA-modules.
1. Montrer l’implication (f :M →N isomorphisme)⇒(f⊗Id :M⊗AA/m→ N⊗AA/misomorphisme).
2. Montrer l’implication (Am'An ⇒m=n).
Exercice 2 (7×10 = 70 Points) SoitAun anneau intègre et soit M unA- module. Un élémentm∈M est dit de torsion s’il existea∈A\ {0} tel que am= 0.
1. Montrer que l’ensembleT(M)de tous les éléments de torsion deM est un sous-module. Ce sous-module s’appellesous-module de torsion.
2. Montrer queM/T(M)est sans torsioni.e.T(M/T(M)) = 0.
3. Soitf :M →N un morphisme. Montrer quef(T(M))⊂T(N).
4. Montrer queM 7→T(M)est exact à gauche (i.e.si0→M0→M →M00 est une suite exacte, alors0→T(M0)→T(M)→T(M00)est exacte).
5. Donner un exemple de morphisme surjectiff :M →N tel quef(T(M))( T(N).
6. SoitS⊂Aune partie multiplicative. Montrer queT(S−1M) =S−1T(M).
7. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : a.T(M) = 0;
b.T(Mp) = 0pour tout idéal premier pdeA;
c.T(Mm) = 0 pour tout idéal maximalmdeA.
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