Groupes et géométrie, feuille 6
N. Perrin
À rendre le mercredi 18.03.2020 Correction le jeudi 20.03.2020
Exercice 1 (7×5 = 35 Points) SoitAun anneau commutatif etnun entier.
(i) On noteA× l’ensemble des éléments inversibles deA. Montrer que(A×,×) est un groupe commutatif. PourA=Z/nZ, on noteU(n)le groupeA× et on noteϕ(n)son ordre.
(ii) Montrer queU(n) ={[d]∈Z/nZ|dest premier avecn}.
(iii) Montrer queU(n) est cyclique pourn∈ {2,3,5,7} mais queU(8) n’est pas cyclique.
(iv) Montrer que simetnsont premiers entre eux, alorsU(mn)'U(m)×U(n).
(v) Montrer que simetnsont premiers entre eux, alors ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n).
(vi) Le groupeU(15)est-il cyclique ?
(vii) Montrer queU(18)est cyclique et donner tous ses générateurs.
Exercice 2 (3×5 = 15 Points) Soitσ= (3 7 1 4 2 6 9 8 5 10)∈S10. (i) Écrireσcomme composée de cycles à supports disjoints.
(ii) Donner l’ordre deσainsi queε(σ)sa signature.
(iii) Calculerσ2019.
Exercice 3 (2×10 = 20 Points) SoitG=S4. (i) CalculerD(G).
(ii) CalculerD(A4).
Exercice 4 (3×10 = 30 Points) Soitnun entier
(i) Montrer que tout3-cycle est un carré, c’est-à-dire de la formeσ2 pour un σ∈Sn.
(ii) Montrer queAn=hσ2|σ∈Sni.
(iii) Montrer queAn est le seul sous-groupe d’indice2 deSn.
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