Groupes et géométrie, feuille 10
N. Perrin
À rendre le mercredi 22.04.2020 Correction le jeudi 23.04.2020
Exercice 1 (2×10 = 20 Points) Soit G un groupe fini, soit p un facteur premier de|G|et soitH ⊂Gun sous-groupe deG. On suppose qu’il existe un p-sous-groupe de SylowS deGtel queNG(S)⊂H.
(i) Montrer queS⊂H et queS est unp-sous-groupe de Sylow deH. (ii) Montrer queNG(H) =H.
Exercice 2 (20 Points) Soit G un groupe fini, soit N / G un sous-groupe distingué deGet soitpun facteur premier deN. Montrer que siSest unp-sous- groupe de Sylow deN, alorsG=N·NG(S) ={ng| n∈N et g∈NG(S)}.
Exercice 3 (2×10 = 20 Points) Soientp,qetrtrois nombres premiers tels quep < q < r et soitGun groupe d’ordre pqr. On notenp, nq etnr le nombre dep-sous-groupes de Sylow, le nombre etq-sous-groupes de Sylow et le nombre der-sous-groupes de Sylow deG.
(i) Montrer que l’on doit avoirpqr≥np(p−1) +nq(q−1) +nr(r−1).
(ii) Montrer que le groupeGn’est pas simple.
Exercice 4 (10 Points) Montrer qu’un groupe d’ordre200n’est pas simple.
Exercice 5 (30 Points) Montrer qu’un groupeGd’ordre300n’est pas simple (on pourra faire agirGsur l’ensemble de ses 5-sous-groupes de Sylow).
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