Algèbre et géométrie, feuille 0
N. Perrin
Exercice 1 Dans quels cas(E, ?)est-il un groupe ? 1.E=R,x ? y=x+y−xy.
2.E=R×R+,(x1, y1)?(x2, y2) = (x1x2, y1).
3.E=R2,(x1, y1)?(x2, y2) = (x1x2, y1+y2).
4.E=P(M)avecM un ensemble non-vide,A?B=A∆B= (A∪B)\A∩B).
5.E={(x, y)∈R2 |x2+y2= 1},(x1, y1)?(x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+ x2y1).
Exercice 2 Soit G un groupe. On rappelle la notation S(G) qui désigne l’ensemble des bijections de G. On rappele également que (S(G),◦) est un groupe d’élément neutreIdG.
1. Montrer que, pour tout g ∈ G, la translation à gauche τg : G → G, h7→τg(h) =ghest dans S(G).
2. Montrer que l’application τ :G→S(G), g 7→τg est un morphisme de groupe injectif. En déduire queGest isomorphe à un sous-groupe deS(G).
3. Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe deSn pour unnbien choisi.
Exercice 3 SoitG un groupe. Pour toutx∈G, on définit l’aplicationIntx: G→G, g7→Intx(g) =xgx−1.
1. Montrer queIntxest un automorphisme de G.
2. Montrer queInt :G→Aut(G),x7→Intxest un morphisme de groupes.
3. Déterminer le noyau deInt.
Exercice 4 SoitEun ensemble non vide muni d’une loi de composition interne associative et qui admet un élément neutree.
1. Supposons qu’un élémentaadmette un inverse à gaucheb (i.e.ba=e) et queb lui-même admette un inverse à gauche. Montrer queaest inversible.
2. En déduire que si tout élément deE admet un inverse à gauche alorsE est un groupe.
Exercice 5 On définit l’ensembleDdes décimaux par D=n a
10n ∈Q| a∈Zetn∈N o
.
Montrer que(D,+)est un sous-groupe de(Q,+)mais que, si on noteD∗=D\{0}, alors(D∗,×)n’est pas un sous-groupe de(Q∗,×).
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