I.Opérations Index Plan Rédactionincomplète.Version0.4 Structuresalgébriquesusuelles

Structures algébriques usuelles

Rédaction incomplète. Version 0.4

Plan

I. Opérations . . . . 1

1. Dénitions . . . . 1

2. Premiers résultats . . . . 2

3. Notation additive ou multiplicative. . . . 3

II. Groupes . . . . 4

1. Dénitions . . . . 4

2. Sous-groupe . . . . 5

3. Morphisme de groupe . . . . 5

4. Sous-groupes engendrés.. . . . 6

5. Sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs . . . . 6

III. Structure d'anneau et de corps. . . . . 6

1. Anneau. . . . 6

2. Corps . . . . 7

Index

élément inversible, 2 élément neutre, 2

élément neutre à droite, 2 élément neutre à gauche, 2 élément nilpotent, 7 anneau, 6

anneau des entiers de Gauss, 7 anneau fonctionnel, 6

associativité, 1 carré latin, 4 commutativité, 1 distributivité, 6 groupe, 4

groupe cyclique, 6

groupe des inversibles d'un anneau, 7 groupe des permutations d'un ensemble, 4 groupe monogène, 6

groupe produit, 4

inverse d'un élément, 2 monoïde, 2

notation additive ou multiplicative, 3 notation inxe, 1

noyau, 5

opération externe, 1 opération interne, 1

ordre d'un élément d'un groupe, 6 partie stable, 1

permutation, 4 produit de groupe, 4 sous-anneaux, 7 sous-corps, 7

sous-groupe engendré, 6

stabilité de l'ensemble des inversibles, 3 table d'une opération interne, 2

unicité de l'élément neutre, 2 unicité de l'inverse d'un inversible, 2 Cette section n'est qu'une simple introduction au vocabulaire des structures introduites.

I. Opérations

Le programme utilise le terme loi de composition interne ; on préfère ici le terme opération interne. On réservera loi de composition au contexte de la composition des fonctions (loi ◦ ).

1. Dénitions

Dénition (Notation inxe. Opération). Soit A , B , C trois ensembles et une fonction A × B −→ C

La notation inxe de l'image d'un couple par une fonction consiste à placer le nom de la fonction entre les

constituants du couple.

nom de la fonction de A × B dans C notation préxe d'une image notation inxe d'une image

T T ((a, b)) a T b

Noter la double parenthèse dans la notation fonctionnelle habituelle (préxe) ; la parentèse interne servant de constructeur du couple.

Dénition (opération). Une opération est une fonction dénie sur un produit cartésien et dont les images sont notées de manière inxe.

Une opération interne sur un ensemble A est une opération de A × A dans A . Une opération externe est une opération de A × B dans A ou dans B .

Exemples. Opérations internes : addition multiplication dans des ensembles de nombres.

Opérations externes : dans un R-espace vectoriel E , la multiplication externe est une opération de R × E dans E .

Une opération ni interne ni externe : la composition des fonctions. Soit A , B , C trois ensembles,

◦ :

( F(A, B) × F(B, C ) −→ F(A, C) (f, g) 7→ g ◦ f (noter le renversement)

Dénition (partie stable). Soit (E, ∗) un ensemble muni d'une opération interne et A un partie de E . On dit que A est stable pour ∗ si et seulement si :

∀(a, b) ∈ A

, a ∗ b ∈ A Exemple. Dans Z muni de la multiplication, N est stable.

Dénition (associativité, commutativité). Soit ∗ une opération interne dans un ensemble E . La loi ∗ est associative si et seulement si

∀(x, y, z) ∈ E

, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

On note alors x ∗ y ∗ z sans parenthèse.

La loi ∗ est commutative si et seulement si

∀(x, y) ∈ E

, x ∗ y = y ∗ x.

Remarque. La soustraction ou le produit vectoriel (dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 ) sont des opérations qui ne sont pas associatives. Pour une opération interne ∗ , si deux éléments particuliers a et b vérient a ∗ b = b ∗ a , on dit qu'ils commutent.

Dénition (élément neutre). Un élément e d'un ensemble E muni d'une opération interne ∗ est dit neutre (pour (E, ∗) ) si et seulement si :

∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x.

On dit que e est neutre à droite si et seulement si

∀x ∈ E, x ∗ e = x.

On dit que e est neutre à gauche si et seulement si

∀x ∈ E, e ∗ x = x.

Exemples. Pour ( N , +) , le nombre 0 est un élément neutre.

Pour ( N , ∗) , le nombre 1 est un élément neutre.

Pour F(E, E), ◦) , la fonction Id

est un élément neutre.

Dénition (élément inversible - inverse d'un élément). Soit (E, ∗) un ensemble muni d'une opération interne avec un élément neutre e et x un élément de E .

On dit que x est inversible si et seulement si il existe y ∈ E tel que x ∗ y = y ∗ x = e.

On dit alors que y est un inverse de x .

On peut caractériser une opération interne sur un ensemble ni en présentant les valeurs dans un tableau. Par exemple, la table de l'addition de Cro-Magnon sur E = {1, 2, B} où B désigne beaucoup est :

1 2 B

1 2 B B

2 B B B

B B B B

Une opération est commutative si et seulement si sa table est symétrique par rapport à la première bissectrice.

2. Premiers résultats

Proposition (unicité de l'élément neutre). Soit (E, ∗) un ensemble muni d'une opération interne. Il existe alors au plus un élément neutre dans E .

Preuve. Considérons des éléments neutres e et e

.

e neutre (à gauche) ⇒ e ∗ e

= e

e

neutre (à droite) ⇒ e ∗ e

= e

)

⇒ e = e

Proposition (unicité de l'inverse). Soit (E, ∗) un ensemble muni d'une opération interne associative et d'un élément neutre e (on dit alors que (E, ∗) est un monoïde. Tout élément inversible de E admet alors un seul inverse. On note

x

l'unique inverse de l'élément inversible x .

Preuve. Soit x un élément inversible de E et u , v deux éléments de E tels que u ∗ x = x∗ u = e et v ∗ x = x ∗ v = e . Alors, en exploitant l'associativité,

v = v ∗ e = v ∗ (x ∗ u) = (v ∗ x) ∗ u = e ∗ u = u.

Remarque. La preuve montre que l'on peut aaiblir les hypothèses. Si x admet un inverse u d'un côté ( x ∗ u = e ) et un inverse v de l'autre côté ( v ∗ x = e ), cela sut à assurer que u = v .

Proposition (stabilité de l'ensemble des inversibles). Soit (E, ∗) un ensemble muni d'une opération interne asso- ciative et d'un élément neutre e . Soient a et b deux éléments inversibles de E . Alors a ∗ b est inversible d'inverse b

∗ a

.

Preuve. Ici encore, l'associativité permet de vérier les égalités requises

(a ∗ b) ∗ (b

∗ a

) = a ∗ (b ∗ b

) ∗ a

= a ∗ a

= e (b

∗ a

) ∗ (a ∗ b) = b

∗ (a

) ∗ a) ∗ b = b

∗ b = e.

donc a ∗ b est inversible d'inverse b

∗ a

.

Remarque. On peut dénir l'inversibilité d'un seul côté. Soit a et b dans E ( ∗ associative, neutre e . Si a ∗ b = e , on dit que a est inverse à gauche de b et b est inverse à droite de a . Un élément qui admet un inverse à gauche est dit inversible à gauche. Un élément qui admet un inverse à droite est dit inversible à droite.

Exemple. Soit E l'ensemble des fonctions de N dans N muni de ◦ composition des fonctions qui est associative.

L'élément neutre est alors la fonction identité notée i . On considère des éléments s et p

dénis par

s : (

N → N

n 7→ n + 1 , ∀k ∈ N , p

:



 

  N → N

n 7→

( n − 1 si n > 0 k si n = 0

Alors p

◦ s = i pour tous les k . Donc s est inversible à gauche et admet une innité d'inverses à gauche.

1

sauf dans le cas d'une notation additive pour l'opération. On notera alors −x .

3. Notation additive ou multiplicative

Lorsque l'opération est notée avec un signe qui rappelle "+", on dit qu'elle est notée additivement. Lorsque l'opération est notée avec un signe qui rappelle "." on dit qu'elle est notée multiplicativement. Souvent on omet le signe d'une opération notée multiplicativement en écrivant ab pour le résultat de a "multiplié" (pour l'opération en jeu) par b .

Remarque. Pour mériter l'honneur d'être notée additivement, une loi doit être associative et commutative. Si on ne respecte pas cette convention, les erreurs dues à nos habitudes de calculs sont quasi-certaines.

Pour une notation multiplicative, on peut se contenter de l'associativité (mais elle est absolument indispensable).

Il faut commencer à s'habituer au fait que la commutativité n'est pas automatique et que ab 6= ba sauf si il y a une bonne raison assurant l'égalité.

Ces deux types de notation conduisent à d'autres conventions.

Pour une opération notée multiplicativement (par exemple " ∗ " avec un neutre e ), on parle d'élément inversible et d'inverse d'un élément a . Il sera noté a

. De plus

∀n ∈ Z , a

=



 

 

 

 

 

 

a ∗ a ∗ · · · ∗ a

| {z }

nfois

si n > 0

e si n = 0

a

∗ a

∗ · · · ∗ a

| {z }

−nfois

si n < 0

Dans le cas d'une opération notée additivement (par exemple " + " avec un neutre " ¯ 0 "), ces notions se traduisent en élément symétrisable et symétrique d'un élément a . Il est noté −a , de plus

∀n ∈ Z , na =



 

 

 

 

 

 

a + a + · · · ∗ a

| {z }

nfois

si n > 0

¯ 0 si n = 0

(−a) + (−a) + · · · + (−a)

| {z }

−nfois

si n < 0

Remarque. Comme les additions usuelles sont commutatives, il est d'usage de n'utiliser une notation additive que pour certaines opérations commutatives. Dans toute la suite, les propositions générales valables pour tous les groupes seront donc formulées pour des opérations notées multiplicativement. Elles commenceront donc en général par Soit (G, ∗) un groupe ... .

II. Groupes

1. Dénitions

Dénition. Un groupe est un ensemble muni d'une opération associative, avec un élément neutre et pour lequel chaque élément est inversible.

Exemples. U

avec la multiplication complexe. Soit ∗ une opération interne dans un ensemble E associative avec un élément neutre ; l'ensemble des inversibles est un groupe pour la restriction de ∗ .

Dénition. Groupe des permutations d'un ensemble

Soit X un ensemble, on note S

l'ensemble des bijections de X dans lui même. Dans ce contexte, une bijection de X dans lui même est appelée permutation . L'ensemble S

muni de la composition des fonctions ◦ forme un groupe.

Remarque. Le neutre est l'identité, l'inverse d'une permutation est sa bijection réciproque.

Plusieurs notations sont possibles pour les permutations lorsque X = J 1, n K. On peut par exemple utiliser une notation matricielle à deux lignes. La première ligne contient les entiers de 1 à n et la deuxième contient les images de ces entiers. Par exemple, avec n = 7 ,

1 2 3 4 5 6 7 3 7 1 2 6 4 5

◦

1 2 3 4 5 6 7 6 4 1 3 2 7 5

=

1 2 3 4 5 6 7

4 2 1 2 7 3 6

Proposition. Soit (G, ∗) un groupe. Pour tout a ∈ G , les applications de multiplication par a à droite ou à gauche

γ

:

( G → G

x 7→ a ∗ x δ

:

( G → G x 7→ x ∗ a

sont des bijections. Pour un groupe ni, la table de l'opération est un carré latin (chaque élément se retrouve une seule fois dans chaque ligne et colonne).

Preuve. Soit G un groupe ni avec une opération ∗ . La propriété

chaque élément se retrouvent une seule fois dans chaque ligne se traduit par

∀a ∈ E (caractéristique de la ligne) , ∀x ∈ E (élément quelconque) , il existe un unique b ∈ E tq x = a ∗ b De même, la propriété

chaque élément se retrouvent une seule fois dans chaque colonne se traduit par

∀a ∈ E (caractéristique de la colonne) , ∀x ∈ E (élément quelconque) , il existe un unique b ∈ E tq x = b ∗ a La propriété pour la table d'être un carré latin est donc bien une traduction dans le cas ni des bijectivités de γ

et δ

. Ces bijections découlent des relations

γ

◦ γ

= γ

◦ γ

= Id

G

, δ

◦ δ

= δ

◦ δ

= Id

G

qui assurent de plus que γ

= γ

et δ

= δ

.

Exercice traité en classe. Former la table du groupe des permutations d'un ensemble à trois éléments en calculant des compositions puis en complétant façon sudoku. Former la table de U

.

Proposition. Soit (G, ∗) un groupe dont l`élément neutre est noté e .

∀(a, b) ∈ G

, (a ∗ b)

= b

∗ a

. Preuve. On calcule les produits en utilisant l'associativité.

Proposition - Dénition. Soit (G, ∗) et (H, | ) deux groupes. On dénit une opération ⊥ sur G × H par :

∀((g, h), (g

, h

)) ∈ (G × H )

, (g, h) ⊥ (g

, h

) = (g ∗ g

, h | h

) Pour cette opération, (G × H, ⊥) est un groupe appelé produit des deux groupes.

Ceci est utilisé en particulier en prenant plusieurs fois le même groupe : addition sur R

, sur R

.

2. Sous-groupe

Dénition. Soit (G, ∗) un groupe et H une partie de G . On dit que (H, ∗) est un sous-groupe de (G, ∗) si et seulement si H est non vide et stable pour ∗ et l'inversion.

∀(a, b) ∈ H

, a ∗ b ∈ H, A

∈ H.

Proposition. Si H est un sous-groupe de G alors l'élément neutre de G est un élément de H .

Preuve. Comme H n'est pas vide, il contient un élément h , donc son inverse h

ainsi que le produit des deux h ∗ h

= e .

Remarques. Le singleton réduit à l'élément neutre est un sous-groupe de G . Si G est un groupe, alors G est aussi un sous-groupe de lui même.

Lorsque H est un sous-groupe, les conditions de stabilité imposées entraînent que la restriction de l'opération

à H × H dénit une structure de groupe sur H (avec le même élément neutre).

On peut caractériser le fait que H soit un sous-groupe par

∀(h, h

) ∈ H

h ∗ h

∈ H.

Cette condition n'est pas très utile. Elle combine articiellement les deux conditions de stabilité qui souvent découlent de propriétés diérentes.

Proposition. L'intersection d'une famille de sous-groupes d'un même groupe (G, ∗) est un sous-groupe de (G, ∗) . Preuve. Soit (H

)

une famille de sous-groupes d'un groupe (G, ∗) et H = T

i∈I

H

. On ne fait aucune hypothèse sur I , la famille peut être innie. Comme n'importe quel sous-groupe H

contient le neutre H n'est pas vide car il contient le neutre. Il reste à vérier les deux stabilités. Pour tout h et h

dans H , on doit montrer que h ∗ h

et h

sont dans H .

∀i ∈ I, h ∈ H

h

∈ H

)

⇒ h ∗ h ∈ H

!

⇒ h ∗ h

∈ (H

)

= H

∀i ∈ I, h ∈ H

⇒ h

∈ H

⇒ h

∈ (H

)

= H

Remarque. En revanche l'union de deux sous-groupes n'est pas en général un sous groupe. Cela est vrai si et seulement si l'un des sous-groupes est inclus dans l'autre.

Dénition (Notations Hx et xH .). Soit H un sous-groupe d'un groupe (G, ∗) et x ∈ G , on dénit les parties notées Hx et xH de G par :

Hx = {hx, h ∈ H } xH = {xh, h ∈ H}

3. Morphisme de groupe

Dénition. Soit (E, ∗) et (F, >) deux groupes, une application f de E dans F est un morphisme de groupe si et seulement si :

∀(g, g

) ∈ G

: f (g ∗ g

) = f (g)>f (g

) Proposition. Soit f un morphisme de groupe de G dans F alors :

f (e

) = e

∀g ∈ G :f (g

) = (f (g))

.

Exemple. Soit (G, ∗) un groupe quelconque et g un élément xé de G , l'application e

:

( Z → G n → g

est un morphisme de groupe de ( Z , +) dans (G, ∗) .

Dénition (noyau d'un morphisme de groupe). Soit f un morphisme de groupe de G dans F , le noyau de f est l'ensemble des éléments de G dont l'image est le neutre de F . Il est noté ker f .

Remarque. On peut utiliser les notions d'images directes et réciproques pour caractériser le noyau et l'image.

ker f = f

({e

}), Im f = f (E).

Proposition. Soit f un morphisme de groupe de G dans F , le noyau ker f de f est un sous-groupe de G , l'image Im f est un sous-groupe de F .

4. Sous-groupes engendrés.

Dénition. Dans un groupe (G, ∗) , le sous-groupe engendré par une partie A est l'intersection de la famille des sous-groupes contenant A .

Cette dénition est justiée par le fait que l'intersection de n'importe quelle famille de sous-groupe est un sous-groupe. Il existe des sous-groupes contenant une partie A quelconque : au moins le groupe G tout entier.

Le sous groupe engendré par A se note < A > . C'est aussi le plus petit (au sens de l'inclusion) des sous-groupes contenant A . Dans le cas particulier d'un sous-groupe engendré par un élément a , on notera < a > le sous-groupe engendré. On peut vérier que

< a >= {a

, n ∈ Z }

Lorsque ce sous-groupe est ni d'ordre (de cardinal) m , ce nombre m est aussi appelé l'ordre de a Un groupe G

est dit monogène si est seulement si il existe a ∈ G tel que G =< a > . Un groupe est dit cyclique si et seulement

si il est monogène et ni.

5. Sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs

Proposition. Pour tout sous-groupe H de ( Z , +) , il existe un unique élément m de N tel que H = Z m.

Preuve. Montrons d'abord l'unicité.

Si p et p

sont deux entiers naturels tels que p Z = p

Z alors p ∈ p

Z et p

∈ p Z donc il existe q et q

dans N tels que (p = qp

et p

= q

p) ⇒ p = qq

p ⇒ 1 = qq

⇒ q = q

= 1 (dans Z) ⇒ p = p

Montrons ensuite l'existence.

Si H se réduit à 0 alors p = 0 convient.

Si H n'est pas réduit à 0 . Il contient un élément non nul h ainsi que son opposé −h . On en déduit que H ∩ N

6= ∅ . On note p le plus petit élément de cet ensemble. Par dénition p ∈ H . A cause des stabilités d'un sous-groupe, Z p ⊂ H .

Réciproquement, pour tout h ∈ H , considérons la division euclidienne de h par p . Il existe m ∈ Z et r ∈ J 0, p − 1 K tels que

h = mp + r ⇒ r = h

|{z}

∈H

+ (−m)r

| {z }

∈H

∈ H (stabilités d'un sous-groupe)

Comme r ∈ N ∩ H et r < p = min( N

∩ H) il doit être nul donc h = mp ∈ p Z.

III. Structure d'anneau et de corps.

1. Anneau

Dénition. Un anneau est un triplet (A, +, .) constitué de un ensemble non vide A

une opération interne additive + telle que (A, +) soit un groupe commutatif. Son neutre est noté 0

. une opération interne multiplicative . associative, avec un élément neutre noté 1

.

l'opération multiplicative doit être distributive sur l'opération additive c'est à dire :

∀(a, b, c) ∈ A

:

( a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a

Dénition. Un anneau est dit commutatif si et seulement si son opération multiplicative est commutative.

Exemples : Z, Q, R, C. Si A est un anneau et Ω un ensemble quelconque, on peut dénir une structure d'anneau fonctionnel sur F (Ω, A) .

Remarques. La distributivité est la propriété qui permet le développement et la factorisation.

Dans un anneau A , si a ∈ A et n ∈ Z, sont dénis aussi : 0

, 1

, −a, na a

avec n ∈ N ainsi que pour n ∈ Z si a est inversible.

Proposition. Soit A un anneau.

∀a ∈ A, 0

a = a0

= 0

si A contient au moins deux éléments distincts : 0

6= 1

∀(a, b) ∈ A

, (−a)b = a(−b) = −(ab), (−1

)a = −a, (−a)(−b) = ab (−1

)(−1

) = 1

∀(a, b) ∈ A

, ∀n ∈ Z , (na)b = a(nb) = n(ab)

Preuve. Considérer a(1

+ 0

) . Considérer (a + (−a))b . Considérer (−1

)(−1

) + 1(−1

) = 0

(−1

) = 0 donc

−1

= −(−1

) = 1

.

Si a commute avec b et n ∈ N : formule du binôme, expression de a

− b

.

(a + b)

=

n

X

k=0

k n

a

b

, a

− b

= (a − b)

n−1

X

k=0

a

b

Proposition. L'ensemble des inversibles d'un anneau muni de la restriction de l'opération multiplicative forme un groupe appelé groupe des inversibles de l'anneau.

Dénition. Dans un anneau A , un élément a est dit nilpotent si et seulement si il existe n ∈ N tel que a

= 0

. Dénition (sous-anneau). Dans un anneau A , une partie B est un sous-anneau si et seulement si elle contient le neutre multiplicatif et elle est stable pour l'addition, la symétrisation et la multiplication.

Remarques. Un sous-anneau est en particulier un sous-groupe additif.

La restriction des deux opérations à un sous-anneau dénit une structure d'anneau sur celui-ci.

Exemple. L'ensemble

Z [i] =

a + ib, (a, b) ∈ Z

est appelé l'anneau des entiers de Gauss, c'est un sous-anneau de ( C , +, .) .

2. Corps

Dénition. Un corps est un anneau commutatif contenant au moins deux éléments et pour lequel tout élément autre que le neutre additif est inversible.

Dénition. Une partie k d'un corps K est un sous-corps si et seulement si k est un sous-anneau de K tel que

∀x ∈ kx 6= 0

⇒ x

∈ k

Remarque. Les restrictions des opérations une structure de corps dénissent sur un sous-corps.

Exemples. Q sous-corps de R, R sous-corps de C. Mais il existe bien d'autres sous-corps.

Q (i) =

x + iy, (x, y) ∈ Q

sous-corps de C.

Q ( √ 2) =

x + √

2y, (x, y) ∈ Q

sous-corps de R.