4 Le groupe des inversibles ( Z /n Z )

(1)

UPMC 3M270 Algèbre 2018-2019

TD 2

1 Groupes quotients

Exercice 1. Le groupeSLn(R)est-il distingué dansGLn(R)? Qu’en est-il deOn(R)dansGLn(R), puis deSOn(R) dansOn(R)? Caractériser les groupes quotients associés lorsque cela fait sens.

Exercice 2. SoientGun groupe fini etH un sous-groupe distingué deGd’indicen. Montrer que l’on agⁿ∈H pour tout élément g deG. On peut en déduire que pour tout entier naturel nau moins égal à 3, le groupe alterné An est l’unique sous-groupe de S_n d’indice 2.

Exercice 3. SoitGun groupe tel que le groupe quotientG/Z(G)soit cyclique. Montrer queGest abélien.

Exercice 4. Soient Get H deux groupes. On considère un morphisme de groupes ϕ : G −→ H .

Montrer queϕinduit un morphisme de groupes injectif

ϕe : G/kerϕ −→ H . Que dire surϕesi le morphisme de groupesϕest surjectif ?

Exercice 5. Soientnetmdeux entiers naturels non nuls, avecmdivisantn. Montrer qu’il existe un morphisme de groupes additifs surjectif Z/nZ−→Z/mZ. Quel est son noyau ? En déduire qu’il existe un isomorphisme canonique de groupes additifs

(Z/nZ)/(mZ/nZ) ' Z/mZ .

Exercice 6. SoitGun groupe.

1) On définit le groupe dérivé deGcomme étant le sous-groupeD(G)engendré par les éléments qui s’écrivent sous la formexyx⁻¹y⁻¹. Montrer queD(G)est distingué dansG.

2) Déterminer le groupe dérivé du groupe des quaternionsH8. 3) Montrer que le groupeG/D(G)est abélien.

4) Montrer queD(G)est le plus petit sous-groupe distinguéH deGtel que le quotientG/H soit abélien.

Exercice 7. Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est dit maximal s’il est distinct de G (on parlera de sous-groupepropre) et si le seul sous-groupe deGcontenant strictementH est le groupeGlui-même.

1) Quels sont les sous-groupes maximaux deZ?

2) Donner la liste des sous-groupes deZ/28Zet, parmi eux, dire lesquels sont maximaux.

Exercice 8. Soient Gun groupe de neutre eetH un sous-groupe distingué deG.

1) Soit K un sous-groupe de G. Montrer queH est un sous-groupe distingué de KH, et déterminer le noyau du morphisme canonique K−→KH/H. En déduire qu’il existe un isomorphisme de groupes

K/(K∩H) ' KH/H .

2) On suppose queH etG/H soientsimples, c’est-à-dire qu’ils n’admettent pas de sous-groupe distingué non trivial (i.e.différent de{e}et deGtout entier). SoitK un sous-groupe distingué deGdifférent de{e},H, etG. En considérant le groupe quotientKH/H, montrer que l’on aKH = G.

3) En déduire que l’on aK∩H = {e}, puis queH etK sont respectivement isomorphes àG/K et àG/H.

4) Montrer que l’on a des isomorphismes

G ' (G/H)×(G/K) ' K×H .

(2)

Exercice 9. Soient H et Kdeux sous-groupes distingués d’un groupe finiGd’intersection triviale tels que l’on ait G = HK = KH .

Montrer queGest isomorphe au produit direct de H et deK.

2 Groupe symétrique

Exercice 10. 1) Décomposer en produit de cycles à supports disjoints les permutations suivantes a = 1 2 3 4 5 6 7

5 6 4 7 3 2 1

! ,

b = 1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 3 2 7 8 6 5

! ,

c = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 9 2 1 3 5 8 4 6

! .

Calculerb²⁰¹³.

2) Décomposer en produit de cyles à supports disjoints la permutation(1 2 3 8) (4 3 2) (1 5) (7 3 2 6) (1 7 4).

3) Quelle est la signature d’unp-cycle ? En déduire la signature de chacune des permutations ci-dessus.

Exercice 11. Soitτ un élément deSn. Montrer que l’on a τ α1 α2 . . . αr

τ⁻¹ = τ(α1) τ(α2) . . . τ(αr) .

En déduire que deux cycles de même longueur sont toujours conjugués. Que peut-on dire d’un sous-groupe distingué deSn contenant une transposition ?

Exercice 12. Montrer que le sous-ensembleK deS4 donné par

K = {id, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}

est un sous-groupe distingué de A₄ abélien. On l’appelle le groupe de Klein. Donner un sous-groupe de K qui soit distingué dansK mais pas dansA₄, et caractériserK en fonction de groupes connus.

Exercice 13. Déterminer tous les sous-groupes deS₃.

Exercice 14. Combien A₄ possède-t-il d’éléments ? Combien de carrés contient-il ? En déduire qu’il n’a pas de sous-groupes d’ordre 6.

Exercice 15. 1) Montrer que les transpositions de la forme(1i), avecientre2et n, engendrentSn. 2) Montrer que les transpositions de la forme(i−1i), avecientre2 etn, engendrentS_n. 3) Montrer que la transposition(1 2)et le cycle(1 2 . . . n)engendrentSn.

Exercice 16. 1) Montrer que, pour tout entier natureln≥3, le groupe alternéAn est engendré par les3-cycles.

2) Quel est l’image d’un3-cycle par un automorphisme de groupe deSn? En déduire queAnest un sous-groupe caractéristique du groupe symétrique.

3) Montrer que le seul sous-groupe d’indice2 du groupe symétrique est le groupe alterné.

4) Calculer le commutateur[τ, σ] des permutationsτ etσdéfinies parτ = (a₁a₂)etσ = (a₁a₂a₃).

5) Déduire de la question précédente une caractérisation du groupe dérivé deSn.

(3)

Exercice 17. Montrer qu’il existe un morphisme de groupes injectif deSn dansAn+2.

Exercice 18. Soientσetτdeux éléments deSnfixant au moins deux éléments. On suppose queσetτsont conjugués dansSn. Montrer qu’ils le sont aussi dansAn.

Exercice 19. Soientpun nombre premier etH un sous-groupe deS_pvérifiant [S_p : H] < p .

1) Soitσ unp-cycle. On suppose queσ ne soit pas dansH. Montrer que les classes H, σH, . . . , σ^p−1H sont distinctes. En déduire queH contient tous lesp-cycles.

2) On supposepimpair. Montrer que tout3-cycle est produit de deuxp-cycles. En déduire queH est égal àAp

ou à S_p.

3) Montrer queS5 n’a pas de sous-groupe d’ordre30ou40.

Exercice 20. Déterminer les classes de conjugaison dansS_n.

Exercice 21. Calculer le commutateur d’unn-cycleσdeSn, c’est-à-dire Com(σ) = {τ ∈Sn, τ ◦σ=σ◦τ} .

3 Groupes abéliens finis

Exercice 22. Soit Gun groupe abélien fini d’ordren. Montrer que Gpossède un sous-groupe d’ordredpour tout diviseurdden.

Exercice 23. SoitGun groupe abélien fini. Montrer qu’il existe, dansG, un élément dont l’ordre estl’exposant du groupe G, c’est-à-dire le ppcm des ordres des éléments deG.

Exercice 24. Montrer qu’un groupe abélien fini non cyclique possède un sous-groupe isomorphe à(Z/pZ)² pour un certain nombre premier p.

Exercice 25. On noteG le groupe additifZ/p³Z, oùp est un nombre premier. Déterminer le nombre d’éléments d’ordrepⁱ pour ientre0et3.

Exercice 26. On noteGle groupe additifZ/p²Z×Z/p³Z.

1) Déterminer le nombre d’éléments d’ordrepⁱ pourientre0et 3.

2) Déterminer le nombre de sous-groupes deGisomorphes à(Z/pZ)². 3) Déterminer le nombre de sous-groupes deGisomorphes àZ/p²Z.

Exercice 27. Soient p et q deux nombre premiers distincts. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre p²q.

Exercice 28. Les groupes additifsZ/8Z,Z/2Z×Z/4Z, et(Z/2Z)³sont-ils isomorphes ?

Exercice 29. Montrer que les groupes additifsZ/12Z×Z/90Z×Z/25ZetZ/100Z×Z/30Z×Z/9Zsont isomorphes.

(4)

Exercice 30. On noteGle groupe additifZ/18Z×Z/14Z×Z/12Z. 1) Déterminer les composantes primaires deG.

2) Déterminer les éléments d’ordre3 deG.

Exercice 31. On noteGle groupe additifZ/20Z×Z/18Z×Z/12Z×Z/9Z×Z/4Z.

1) Pour tout nombre premier p, déterminer la composantep-primaire de G, c’est-à-dire le sous-groupe de G formé des éléments dont l’ordre est une puissance dep.

2) En déduire les facteurs invariants deG.

Exercice 32. Déterminer, à isomorphisme près, les groupes abéliens d’ordre8et72. Donner leurs facteurs invariants.

Exercice 33. Combien existe-t-il, à isomorphisme près, de groupes abéliens d’ordre106?

Exercice 34. Soientmet ndeux entiers naturels non nuls. On pose G = {x∈Z/nZ, mx= 0} . 1) Montrer qu’il existe un isomorphisme de groupes

Hom(Z/mZ, Z/nZ) ' G .

2) On notedle pgcd de metn. Montrer que la classe modulo nd’un entier αest dans Gsi et seulement si ⁿ_d diviseα. En déduire que l’on a un isomorphisme de groupes

Hom(Z/mZ,Z/nZ) ' Z/dZ . 3) Décrire le groupe des automorphismes deZ/nZet donner son cardinal.

Exercice 35. Partiel Mars 2018.

1) Déterminer les facteurs invariants du groupe additifZ/63Z×Z/14Z×Z/6Z×Z/147Z.

2) Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre2205. Donner leurs facteurs invariants.

4 Le groupe des inversibles ( Z /n Z )

^×

Exercice 36. Soientset ndeux entiers relatifs. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (i) Les entierssetnsont premiers entre eux ;

(ii) La classesdesmodulonengendre le groupeadditif Z/nZ;

(iii) La classesdesmodulonest dans le groupemultiplicatif (Z/nZ)^×.

Exercice 37. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes

Aut(Z/nZ) ' (Z/nZ)^× ,

le groupe de gauche étant constitué des automorphismes du groupe additifZ/nZ. Donner l’ordre de ces groupes.

Exercice 38. 1) Rappeler la définition de la fonction indicatrice d’Euler.

2) Montrer que l’on aϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m)sinetmsont des entiers naturels premiers entre eux.

3) Donner l’expression deϕ(n)en fonction des valuations p-adiques den.

4) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a la formule de Möbius n = P

d|n

ϕ(d) .

5) En déduire que siKest un corps commutatif etGest un sous-groupe fini deK^∗, alorsGest cyclique.

(5)

Exercice 39. Soient K un corps commutatif et Gun sous-groupe fini d’ordren de K^∗. On va montrer que Gest cyclique en utilisant une méthode différente de celle de l’exercice précédent.

1) On posem = inf

k≥1, ∀x∈G, x^k= 1 . Combien de racines le polynôme X^m−1possède-t-il dansG? 2) En déduire que l’on am = n.

3) Exprimermen fonction des facteurs invariants de G.

4) Conclure, et en déduire une caractérisation du groupe(Z/pZ)^× pour un nombre premier pquelconque.

Exercice 40. 1) Déterminer le groupe(Z/4Z)^×.

Le but de la suite de l’exercice est de montrer que, pour α >2 entier, on a un isomorphisme de groupes (Z/2^αZ)^× ' Z/2Z×Z/2^α−2Z .

2) Soitkun entier naturel. Montrer que l’on a5²^k = 1 +λ2^k+2 avecλimpair.

3) En déduire l’ordre de5 dans le groupe(Z/2^αZ)^×.

4) Montrer que l’identité deZdans lui-même induit un morphisme de groupes Ψ : (Z/2^αZ)^× −→ (Z/4Z)^× .

5) Montrer que le noyauK deΨest engendré par la classe de5modulo2^α.

6) On noteH le sous-groupe à deux éléments de(Z/2^αZ)^× constitué de±1. Conclure.

Exercice 41. Soient pun nombre premier impair et α un entier au moins égal à1. Le but de cet exercice est de montrer que l’on a un isomorphisme de groupes

(Z/p^αZ)^× ' Z/p^α−1(p−1)Z .

1) Soit kun entier naturel non nul. Montrer que l’on a(1 +p)^p^k = 1 +λp^k+1 pour un certain entier naturel impair λpremier avecp.

2) En déduire l’ordre de1 +pdans(Z/p^αZ)^×.

3) Montrer que l’identité deZdans lui-même induit un morphisme de groupes Ψ : (Z/p^αZ)^× −→ (Z/pZ)^× .

4) Montrer que le noyau deΨest engendré par la classe de1 +pmodulop^α. 5) Montrer qu’il existe un élément de(Z/p^αZ)^× d’ordrep−1. Conclure.

Exercice 42. Caractériser le groupe(Z/nZ)^× pour un entier naturel non nuln, puis appliquer à(Z/464600Z)^×.

Exercice 43. Déterminer les entiers naturels non nulsntels que le groupe(Z/nZ)^× soit cyclique.

Exercice 44. Partiel 2015.

1) On noteGle groupe additifZ/12Z×Z/25Z×Z/45Z. a) Déterminer les facteurs invariants de G.

b) Déterminer le nombre d’éléments d’ordre 5deG.

2) On noteGle groupe multiplicatif(Z/55Z)^×. a) Déterminer l’ordre de G.

b) Déterminer les facteurs invariants de G.