UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 3
Exercice 1. Soient Get H deux groupes. On noteeG eteH les neutres respectifs deGet de H.
1) Rappeler la définition d’un morphisme de groupes.
Soitf :G−→H un morphisme de groupes 2) Montrer que l’on af(eG) = eH. 3) Montrer que l’on af g−1
= f(g)−1 pour toutg∈G.
4) Montrer que le noyau def est un sous-groupe deG, et que l’image def est un sous-groupe deH. 5) Montrer que l’on akerf = {eG} si et seulement sif est un morphisme injectif.
Exercice 2. Traduire en termes de morphismes les propriétés suivantes.
1) Pour tousx, y∈R∗+, on aln (xy) = lnx+ lny.
2) Pour tousM, M0∈GLn(R), on a det (M M0) = (detM) (detM0).
3) Pour tousz, z0∈C, on a|zz0| = |z| |z0|.
4) Pour tousx, y∈R∗+, on a√
xy = √ x√
y.
5) Pour tousz, z0∈C, on aez+z0 = ezez0. 6) Pour tousz, z0∈C, on az+z0 = z+z0.
Exercice 3. Déterminer tous les endomorphismes de groupes deZ. Parmi ceux-ci, déterminer ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.
Exercice 4. Montrer que les groupes multiplicatifsR∗ etC∗ ne sont pas isomorphes.
Exercice 5. 1) Montrer que les groupes (R,+)et R∗+,×
sont isomorphes.
2) Qu’en est-il des groupes(Q,+)et Q∗+,×
?
Exercice 6. SoitGun groupe.
1) Montrer que l’ensemble des automorphismes deGest un groupe pour la loi de composition, noté Aut(G).
2) Montrer que l’application
Φ : G −→ Aut(G)
g 7→ [Φ (g) : h 7→ ghg−1 est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau.
3) Déterminer les groupes Aut(Z)et Aut(Q).
Exercice 7. Soient Gun groupe et H un sous-groupe d’indice 2deG. Montrer queH est distingué dans G.
Exercice 8. Soient Get H deux groupes, ainsi que f :G−→H un morphisme de groupes.
1) Montrer que le noyau def est un sous-groupe distingué deG.
2) L’image d’un sous-groupe distingué de Gest-elle un sous-groupe distingué deH? L’image réciproque d’un sous-groupe distingué deH est-elle un sous-groupe distingué deG?
3) Le groupe SLn(R) est-il distingué dans GLn(R)? Qu’en est-il de On(R) dans GLn(R), puis de SOn(R) dansOn(R)?
Exercice 9. Soient X et Y deux sous-ensembles d’un groupeG. On pose
X·Y = {xy, x∈X, y∈Y} . Soient H et Kdeux sous-groupes deG.
1) On suppose dans cette question queH etK sont finis. Calculer le cardinal de l’ensembleH·K.
2) Montrer queH·Kest un sous-groupe deGsi et seulement si l’on aH·K = K·H.
3) En déduire que siH ouK est distingué dansG, alorsH·K est un sous-groupe deG.
Exercice 10. SoitGun groupe.
1) On définit lecentre deGpar
Z(G) = {g∈G, ∀h∈G, gh=hg} . Montrer queZ(G)est un sous-groupe distingué deG.
2) On définit le groupe dérivé deGcomme étant le sous-groupeD(G)engendré par les éléments qui s’écrivent sous la formexyx−1y−1. Montrer queD(G)est distingué dansG.
3) Déterminer le centre et le groupe dérivé du groupe des quaternionsH8.
4) Même question pourGLn(R), pourSLn(R), pour le groupeBn(R)des matrices triangulaires supérieures inversibles, et pour le groupeUn(R)des matrices triangulaires supérieures avec des1 sur la diagonale.
Exercice 11. SoitH un sous-groupe d’un groupeG. On définit lesconjugués deH comme étant les sous-ensembles de G de la forme xHx−1, pour x ∈ G. Montrer que les conjugués de H sont des sous-groupes de G, et que leur intersection est un sous-groupe distingué deG.
Exercice 12. Déterminer un groupeG, un sous-groupeH deG, et un sous-groupeKdeG, tels queKsoit distingué dansH etH soit distingué dansG, mais tel queK ne soit pas distingué dansG.
Exercice 13. Sous-groupes caractéristiques. Un sous-groupe H d’un groupe G est dit caractéristique si pour tout élément αde Aut(G), on a α(H) = H.
1) Montrer que le centre et le groupe dérivé d’un groupeGsont tous deux caractéristiques.
2) Montrer que siH est un sous-groupe caractéristique deG, alors il s’agit d’un sous-groupe distingué deG.
Donner un contre-exemple à la réciproque.
3) Montrer que la relation binaire définie parH est un sous-groupe caractéristique deGest transitive.
4) SoientGun groupe, ainsi que H un sous-groupe distingué deGet K un sous-groupe caractéristique deH.
Montrer queK est un sous-groupe distingué deG. S’agit-il d’un sous-groupe caractéristique deG?
Exercice 14. SoientGun groupe etA une partie non vide deG. On appellenormalisateur deAla partie
NG(A) =
g∈G, gAg−1=A , deG, et on définit lecentralisateur deApar
CG(A) =
g∈G, ∀a∈A, gag−1=a .
Montrer queNG(A)etCG(A)sont des sous-groupes deG, et queCG(A)est distingué dansNG(A).
Exercice 15. Soient G un groupe fini, ainsi que g un élément de G et f : G −→ H un morphisme de groupes.
Montrer que l’ordre de f(g)dansH divise l’ordre deg dansG.
