UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
Devoir no2
Exercice 1. Questions de cours.
1) Rappeler la définition d’une action d’un groupeGsur un ensembleX, ainsi que la formule des classes.
2) SoitGun groupe fini d’ordrepαm, où pest un nombre premier ne divisant pas l’entier naturelm, etαest un entier naturel non nul. Rappeler les théorèmes de Sylow pour lesp-Sylow deG.
3) Rappeler la définition d’un groupe simple.
Exercice 2. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre180.
Exercice 3. 1) Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre200.
2) Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre132.
3) Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre150.
Exercice 4. Soit G un groupe d’ordre n, que l’on fait agir sur lui-même par conjugaison. On note N le nombre d’orbites de cette action, c’est-à-dire le nombre de classes de conjugaison.
1) On suppose queN soit égal à1. Montrer queGest trivial.
2) On suppose queN soit égal à2.
a) Déterminer le cardinal de chacune des deux orbites.
b) Montrer queGest d’ordre2.Indication : utiliser le théorème de Lagrange sur un stabilisateur.
3) On suppose dans cette question queN soit égal à3.
a) Montrer qu’il existe deux entiersa≥b >0divisantntels que l’on ait
1 = 1n+1a+1b .
Indication : utiliser la formule des classes.
b) Montrer que les seules solutions possibles pour le triplet(n, a, b)sont
(3,3,3), (4,4,2), (6,3, 2) .
Indication : on pourra commencer par montrer que best au plus égal à3, puis procéder au cas par cas.
c) Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes finis ayant exactement 3classes de conjugaison.
