UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 4
Exercice 1. Soient E et E0 deux ensembles, avec E de cardinal n et E0 inclus dans E. Montrer que l’ensemble des permutations de E qui fixent chaque élément de E0 est un sous-groupe de S(E). Montrer que l’ensemble des permutations de E qui laissentE0 invariant est un sous-groupe deS(E). À quoi ces groupes sont-ils isomorphes ?
Exercice 2. 1) Décomposer en produit de cycles à supports disjoints les permutations suivantes
a = 1 2 3 4 5 6 7
5 6 4 7 3 2 1
! ,
b = 1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 3 2 7 8 6 5
! ,
c = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 9 2 1 3 5 8 4 6
! .
Calculerb2013.
2) Décomposer en produit de cyles à supports disjoints la permutation(1 2 3 8) (4 3 2) (1 5) (7 3 2 6) (1 7 4).
3) Quelle est la signature d’unp-cycle ? En déduire la signature de chacune des permutations ci-dessus.
Exercice 3. Soitτ un élément deSn. Montrer que l’on a
τ α1 α2 . . . αr
τ−1 = τ(α1) τ(α2) . . . τ(αr) .
En déduire que deux cycles de même longueur sont toujours conjugués. Que peut-on dire d’un sous-groupe distingué deSn contenant une transposition ?
Exercice 4. Déterminer tous les sous-groupes deS3.
Exercice 5. Déterminer le cardinal deA4 et la liste de ses éléments. Montrer que l’ensemble des éléments deA4
d’ordre au plus2 forme un sous-groupe deA4. Donner la liste des sous-groupes deS4.
Exercice 6. 1) Montrer que les transpositions de la forme(1i), avecientre2 etn, engendrentSn. 2) Montrer que les transpositions de la forme(i−1i), avecientre2 etn, engendrentSn. 3) Montrer que la transposition(1 2)et le cycle(1 2 . . . n)engendrentSn.
Exercice 7. Montrer que, pour tout entier natureln≥3, le groupe alternéAn est engendré par les3-cycles. Quelle est l’image d’un 3-cycle par un automorphisme deSn? En déduire queAn est un sous-groupe caractéristique deSn.
Exercice 8. Montrer qu’il existe une injection deSn dansAn+2.
Exercice 9. Soientσetτdeux éléments deSn fixant au moins deux éléments. On suppose queσetτ sont conjugués dansSn. Montrer qu’ils le sont aussi dansAn.
Exercice 10. Montrer qu’une permutation d’ordre10dansS8 est toujours de signature−1.
Exercice 11. Soientpun nombre premier etH un sous-groupe deSpvérifiant
[Sp : H] < p .
1) Soitσ unp-cycle. On suppose queσ ne soit pas dansH. Montrer que les classes H, σH, . . . , σp−1H sont distinctes. En déduire queH contient tous lesp-cycles.
2) Montrer que tout3-cycle est produit de deuxp-cycles. En déduire que H est égal àApou à Sp. 3) Montrer queS5 n’a pas de sous-groupe d’ordre30ou40.
