UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 5
Exercice 1. Soient netmdeux entiers naturels non nuls, avecmdivisantn.
1) Montrer qu’il existe un morphisme de groupes additifs surjectifZ/nZ−→Z/mZ. Quel est son noyau ? En déduire qu’il existe un isomorphisme canonique de groupes additifs
(Z/nZ)/(mZ/nZ) ' Z/mZ .
2) Rappeler comment sont caractérisés les sous-groupes d’un groupe quotient. Montrer qu’il existe une bijection entre les diviseurs positifs denet les sous-groupes deZ/nZ.
3) Quels sont les entiersmtels que [m]n engendre le groupe additifZ/nZ?
Exercice 2. Soitpun nombre premier. On appelle p-groupe un groupe dans lequel l’ordre de tout élément est une puissance dep. Soit(A,+)unp-groupe abélien fini.
1) Soientk un entier non multiple depet aun élément deA. Montrer queaet kaont même ordre dansA.
2) On notea0un élément deAd’ordre maximalpn0. On noteA0le quotientA/ha0ietπla projection canonique
π : A −→ A0 . a) Montrer que A0 est encore unp-groupe abélien fini.
Soita0un élément deA0, dont on notepn0 l’ordre. Le but est de montrer qu’il existeadansAd’ordrepn0 tel que l’on ait π(a) = a0. Soitb∈A tel que l’on aitπ(b) = a0.
b) Montrer qu’il existe deux entiers naturels k et n, où k n’est pas un multiple de p, tels que l’on ait l’égalitépn0b = pnka0dansA.
c) Si pn0best nul (dans A), montrer que a = b répond au problème. Sinon, montrer que l’on an≥n0. Indication : raisonner par l’absurde, et montrer que l’ordre de bvaut alors n0+n0−n.
d) Montrer que, dans le second cas de la question précénte, l’élément a = b−pn−n0ka0convient.
3) On se propose maintenant de montrer qu’il existe des entiers naturels non nulsn1, . . . , nr tels que l’on ait
A ' (Z/pn0Z)×(Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ) ,
en tant que groupes additifs, oùn0est comme dans la question2. On va procéder par récurrence sur le cardinal deA.
a) Traiter le cas oùA est trivial.
b) SiAn’est pas le groupe trivial, montrer que l’on a#A0 < #A. Par hypothèse de récurrence, on peut donc fixer des entiersn1, . . . , nr tels que l’on ait
A0 ' (Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ)
comme groupes additifs. Pour touti ∈J1, rK, on note a0i l’élément deA0 dont toutes les coordonnées dans l’écriture ci-dessus sont nulles, sauf lai-ème, qui vaut1. Montrer que, pour touti∈J1, rK, il existe un élémentaideAde même ordre quea0i, tel que l’on aitπ(ai) = a0i.
c) Montrer que l’application
ϕ : (Z/pn0Z)×(Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ) −→ A qui envoie chaque ei suraiest un isomorphisme de groupes additifs.
Exercice 3. Soient Gun groupe de neutre eetH un sous-groupe distingué deG.
1) Soit K un sous-groupe de G. Montrer queH est un sous-groupe distingué de KH, et déterminer le noyau du morphisme canonique K−→KH/H. En déduire qu’il existe un isomorphisme de groupes
K/(K∩H) ' KH/H .
2) On suppose queH etG/H soientsimples, c’est-à-dire qu’ils n’admettent pas de sous-groupe distingué non trivial (i.e.différent de{e}et deGtout entier). SoitK un sous-groupe distingué deGdifférent de{e},H, etG. En considérant le groupe quotientKH/H, montrer que l’on aKH = G.
3) En déduire que l’on aK∩H = {e}, puis queH etK sont respectivement isomorphes àG/K et àG/H.
4) Montrer que l’on a des isomorphismes
G ' (G/H)×(G/K) ' K×H .
Exercice 4. 1) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le groupe quotientQ/Z contient exactement un sous-groupe cyclique d’ordren.
2) Soitαun élément deQ/Z. Quels sont les sous-groupes cycliques de Q/Zqui contiennentα? 3) Déterminer les morphismes de groupes deZ/nZdansQ/Z.
4) Déterminer les morphismes de groupes deZ/nZdansZ.
Exercice 5. On suppose que le groupeG/Z(G)soit cyclique. Montrer queGest abélien.
Exercice 6. Soient metndeux entiers naturels. On définit l’applicationf par
f : Z −→ Z/nZ×Z/mZ x 7→ (x+mZ, x+nZ)
.
1) Montrer quef est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau.
2) Montrer quef est surjective si et seulement sinet msont premiers entre eux.
3) En déduire que sinetmsont premiers entre eux, les groupesZ/nmZetZ/nZ×Z/mZsont isomorphes.
Exercice 7. SoitG un groupe abélien fini engendré par néléments x1, . . . , xn. Pour touti∈ J1, nK, on noteGi le sous-groupe deGengendré parxi. Soitpun diviseur premier de l’ordre deG.
1) Montrer qu’il existeitel quepdivise l’ordre deGi. 2) En déduire queGpossède un élément d’ordrep.
3) Montrer queGest cyclique si son ordre est sans facteur carré.
