UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 1
Exercice 1. Les relations binaires suivantes sont-elles réflexives, symétriques, transitives ? 1) L’égalité surR.
2) L’ordre strict<surR. 3) L’ordre≤surR.
4) La relation « avoir le même carré » surR. 5) La relation « avoir le même sinus » surR.
6) Le parallélisme, sur l’ensemble des droites du plan.
7) L’orthogonalité, sur l’ensemble des droites du plan.
Exercice 2. Soient X un ensemble et R1,R2 deux relations d’équivalence sur X. On définit la relation binaireR0
parxR0ysi(xR1yetxR2y). Montrer queR0 est une relation d’équivalence.
Exercice 3. Soient X un ensemble et R une relation d’équivalence sur X. On rappelle que la classe d’équivalence dex∈X est définie par
[x] = {y∈X, xRy} . Montrer que, pour tout(x, y)∈X2, on a les équivalences suivantes
x∈[y] ⇐⇒ y∈[x] ⇐⇒ [x] = [y] ⇐⇒ [x]∩[y]6=∅ .
Exercice 4. On définit la relation binaireRsurCparzRz0si|z| = |z0|. Montrer queRest une relation d’équivalence, et déterminer ses classes d’équivalence.
Exercice 5. Relations d’équivalences et partitions. SoitX un ensemble. On rappelle qu’une partition de X est un ensembleΠ de sous-ensembles non vides de X deux à deux disjoints tel que pour toutx∈X, il existeA∈Π pour lequel on aitx∈A.
1) Donner des exemples de partitions d’ensembles.
2) SoitRune relation d’équivalence surX. Pour toutx∈X, on note[x]la classe d’équivalence de x. Montrer que l’ensembleΠ = {[x], x∈X} est une partition deX.
3) Soit Πune partition de X. Montrer que la relation binaireR sur X définie par xRy sixet y sont dans le même élément de Πest une relation d’équivalence surX.
4) En déduire qu’il existe une bijection entre l’ensemble des relations d’équivalence sur X et l’ensemble des partitions deX.
Exercice 6. Soient X, Y deux ensembles non vides et f : X −→ Y une application surjective. Pour tout y ∈ Y, on pose Xy = {x∈X, f(x) =y}. Montrer que l’ensemble des Xy forme une partition de X. Décrire la relation d’équivalence associée.
Exercice 7. Soitnun entier naturel non nul. On définit la relation d’équivalence≡n surZpara≡nbsia−b∈nZ. On parle d’égalité modulon, aussi notéea≡b modnoua≡b[n].
1) Montrer que≡n est une relation d’équivalence.
2) Donner le nombre d’éléments de l’ensemble quotientZ/≡n, ainsi qu’un système de représentants.
3) Montrer que≡n est compatible avec l’addition et la multiplication surZ.
4) On étend≡n en une relation surRen posanta≡nbsi l’on aa−b∈nZ. Montrer que cette relation binaire est encore une relation d’équivalence. Est-elle compatible avec l’addition et la multiplication sur les réels ?
