UPMC 3M270 Algèbre 2019-2020
Devoir no2
Exercice 1. On noteGle groupe additifZ/40Z×Z/42Z×Z/120Z.
1) Déterminer les composantes primaires et les facteurs invariants deG.
2) Déterminer le nombre d’éléments d’ordre7 deG.
Exercice 2. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre7623.
Exercice 3. Lemme de Cauchy.SoientGun groupe fini etpun facteur premier de l’ordre deG. On va montrer que le groupe Gpossède au moins un élément d’ordrep.
1) Montrer que l’on fait agirZ/pZsur{(x0, . . . , xp−1)∈Gp, x0. . . xp−1= 1}en posant
m·(x0, . . . , xp−1) = (xm, . . . , xp−1+m) , les indices étant pris modulop.
2) Conclure en écrivant l’équation aux classes.
Exercice 4. Montrer qu’un groupe d’ordre200 n’est jamais simple.
Exercice 5. Montrer qu’un groupe d’ordre 160 n’est jamais simple.Indication : par l’absurde, on pourra supposer un tel groupe non simple et le faire agir sur l’ensemble de ses 2-Sylow.
