UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD complémentaire no1 - Arithmétique sur Z
Exercice 1. Résoudre dansZ2 les équations suivantes.
1)xy= 3x+ 2y. 2)x2−y2−4x−2y= 5. 3)x2−y2−x+ 3y= 30.
Exercice 2. Résoudre dansZ2 l’équation x1+1y = 15.
Exercice 3. Résoudre dansZ2 les équations suivantes.
1)4x+ 9y= 7. 2)5x−18y= 4. 3)6x+ 15y= 28. 4)7x+ 12y= 5.
5)56x+ 35y= 7. 6)37x−27y= 1. 7)544x−944y= 160. 8)2520x−3960y= 6480.
Exercice 4. Résoudre dansZ3 le système d’équations diophantiennes suivant : ( 2x+ 5y−11z = 1
x−12y+ 7z = 2 .
Exercice 5. Soient a0, . . . , an−1 des entiers. Montrer que les solutions de l’équation xn + an−1xn−1 + . . . + a0 = 0 sont entières ou irrationnelles.
Exercice 6. Soitn∈N∗, dont on noteN le nombre de diviseurs positifs, et P le produit de ces diviseurs. Donner une relation liantn,N, etP.
Exercice 7. Soient a,b,dtrois entiers.
1) Montrer qu’il existe deux entiersuet v tels que l’on aitau+bv=dsi et seulement si on apgcd (a, b)|d.
2) Soitnun entier naturel. Montrer que le PGCD de2n+ 4 et de3n+ 3ne peut être que1,2,3, ou6.
Exercice 8. Résoudre dansN2 l’équationpgcd (x, y) + ppcm (x, y) =x+y.
Exercice 9. Petit théorème de Fermat.Soitpun nombre premier. Montrer que pour tout entierk entre1et p−1, on a p| pk
. En déduire quepdiviseap−apour tout entier relatifa.
Exercice 10. Nombres de Mersenne.On définit les nombres de MersenneMn comme étant donnés parMn = 2n−1.
1) Montrer qu’une condition nécessaire pour queMn soit premier est que nsoit lui-même premier.
2) Montrer queM2,M3,M5, etM7 sont premiers, mais queM11 est composé.
Exercice 11. Nombres de Fermat.
1) Soitmun entier naturel tel que2m+ 1soit premier. Montrer qu’il existen∈N∗ tel que l’on aitm= 2n. 2) Pour toutn∈N∗, on poseFn= 22n+ 1.
a) Montrer que pour tous entiers naturelsmetndistincts, les entiersFn etFmsont premiers entre eux.
b) En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers qui sont facteurs de nombres de Fermat.
Exercice 12. Soientnun entier naturel et pun nombre premier.
1) Rappeler la définition de la valutationp-adique den, notéevp(n).
2) Calculerv2(60),v3(60),v5(60), v7(60),v2(1024),v3(30720).
Exercice 13. On cherche ici à calculer des valuationsp-adiques de factorielles.
1) Montrer que l’on av2(1000!) = 994.
2) On rappelle que l’on ajbpxc
p
k=bxcpour tout réelxet tout nombre premierp. Calculer vp(n!).
Exercice 14. Nombres de Carmichael. Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe des nombres vérifiant la conclusion du petit théorème de Fermat sans être premiers. Soit nun entier naturel au moins égal à2.
1) On suppose que pour tout diviseur premierpden, on ap26 |n. Comment traduire cela sur la décomposition en facteurs premiers de l’entiern? Cette hypothèse est faite dans la suite de l’exercice.
2) On suppose de plus que pour tout facteur premierpden, on a(p−1)|(n−1). Soita∈Z. a) Soitpun facteur premier den. Montrer que pdivisean−a.
b) Montrer que561 vérifie la conclusion du petit théorème de Fermat. Est-il premier ?
Exercice 15. Descente infinie. La méthode dite de la descente infinie permet de montrer que certaines équations diophantiennes n’admettent pas de solutions entières non évidentes.
Le principe général est de supposer par l’absurde qu’il existe une telle solution, et de construire à partir de celle-ci une suite strictement décroissante (en un sens à préciser) de solutions non triviales. On aboutit alors le plus souvent à une suite strictement décroissante d’entiers positifs, ce qui donne l’absurdité.
On considère par exemple l’équation diophantienne y2= 2x2. On remarque que l’irrationnalité de√
2 est équivalente au fait que cette équation n’admette pas de solution non triviale. On suppose par l’absurde qu’il existe un couple d’entiers naturels non nuls(x0, y0)tel que l’on aity20= 2x20. Les entiersy0etx0sont alors pairs, et le couple d’entiers naturels non nuls (x1, y1) = x20,y20
est encore une solution de l’équation considérée, ce qui permet de répéter ce raisonnement. On construit ainsi deux suites (xn)n∈
N et (yn)n∈
N strictement décroissantes d’entiers naturels, ce qui est absurde.
1) Reprendre le raisonnement ci-dessus en justifiant précisément chaque point.
2) Appliquer cette méthode aux équations suivantes a) x3+ 2y3= 4z3.
b)x3+ 3y3= 9z3.
c) x2+y2+z2 = 2xyz. Indication : la méthode diffère légèrement ici, puisqu’il s’agit pour toutn∈N∗ de construire une solution de x2+y2+z2= 2nxyz en regardant une divisibilité par2.
Exercice 16. Triplets pythagoriciens.Il s’agit ici de résoudre dansZ3 l’équationx2+y2=z2. 1) Soit(x, y, z)∈Z3 une solution de l’équation proposée, avecxyz6= 0.
a) Montrer que l’on peut se ramener au cas oùx,y, etzsont positifs et deux à deux premiers entre eux.
On fait cette hypothèse jusqu’à la fin de cette question.
b) Montrer que lepgcddez−xet de z+xest égal à2.
c) Montrer qu’il existe des entiersuetv premiers entre eux tels que l’on ait z+x = 2u2
z−x = 2v2 . d) Exprimer le triplet(x, y, z)en fonction deuet v.
2) Réciproquement, vérifier que tout triplet de cette forme donne une solution de l’équation étudiée.
Exercice 17. Équation de Fermat pourn= 4.Le but de cet exercice est de montrer que l’équation de Fermat (dans le casn= 4), donnée par x4+y4=z4 n’a pas de solution entière non triviale, i.e. vérifiantxyz 6= 0.
1) Montrer qu’il suffit de prouver le même résultat pour l’équationx4+y4=z2. 2) Soit(x, y, z)une solution de l’équation proposée dans la question précédente.
a) Montrer que l’on peut se ramener au cas oùx,y, etzsont positifs et deux à deux premiers entre eux.
b) Donner une expression de x2, y2, z
en fonction de deux entiersuetv.
c) Montrer queuetvsont de parité opposée. Quitte à les échanger, montrer que l’on au=z12etv= 2a2. d) Donner une expression de (x, v, u)en fonction de deux entiersbet c.
e) Montrer que l’on a b=x21 et c=y12. Vérifier que(x1, y1, z1)est une solution de l’équation proposée vérifiantx1y1z16= 0, avecx1, y1, etz1 deux à deux premiers entre eux.
f) Conclure en utilisant la méthode de la descente infinie.
