UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

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UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

TD complémentaire n^o4 - Arithmétique surZ/nZ

Exercice 1. Quels sont les deux derniers chiffres dans l’écriture décimale de 2017²⁰¹⁷?

Exercice 2. Soient netmdansN^∗. Déterminer tous les morphismes de groupes additifs deZ/nZversZ/mZ.

Exercice 3. Soitn∈N^∗.

1) Montrer que pour tout diviseurdden, le groupeZ/nZadmet un unique sous-groupe d’ordre d.

2) En déduire la formule de Möbiusn=P

d|n

ϕ(d), oùϕest l’indicatrice d’Euler.

3) SoientK un corps etGun sous-groupe fini de(K^∗,×)d’ordren.

a) Montrer que pour tout diviseurdden, le groupeGadmet au plus un sous-groupe cyclique d’ordred.

b) En déduire queGest cyclique.

Exercice 4. Nombre de carrés. Soitn∈N^∗. On dit quex∈Z est uncarré modulo ns’il existe un entiery tel que l’on ait x=y² dansZ/nZ.

1) Soitpun nombre premier. Déterminer le nombre de carrés dans (Z/pZ)^×.

2) Soientpun nombre premier et α∈N^∗. Comment adapter la méthode utilisée dans la question précédente pour obtenir le nombre de carrés dans (Z/p^αZ)^×?

3) En déduire le nombre de carrés de(Z/nZ)^×.

Exercice 5. Symboles de Legendre et de Jacobi.Pour tous entiers aet pavec aau moins égal à3 et ppremier, on définit le symbole de Legendre par

a p

=







1 siaest un carré non nul modulop

−1 sian’est pas un carré modulop 0 sia= 0

.

Bien que cette notation puisse laisser penser le contraire, il ne s’agit pas d’une division. Si N = p^α₁¹. . . p^α_r^r est composé, on définit le symbole de Jacobi par

a N

= a

p1

α1

. . . a

pr

αr

. 1) Siaet N sont premiers entre eux, montrer que l’on a _N^a

= 1si et seulement siaest un carré moduloN.

2) Soitpun nombre premier impair. Montrer que l’on aa^p−1² ≡

a p

modp.

Exercice 6. Structure des inversibles deZ/nZ.Le but de cet exercice est de donner, pour tout entier naturel nnon nul, un isomorphisme de groupes entre le groupe multiplicatif (Z/nZ)^× et un produit direct de groupes additifs de la formeZ/mZ.

1) Soitpun nombre premier impair. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes

(Z/pZ)^×,×

' (Z/(p−1)Z,+) . 2) Soientpun nombre premier impair etαun entier naturel non nul.

a) Montrer que pour tout entier naturel k, on a(1 +p)^p^k ≡1 +p^k+1 modp^k+2. b) En déduire que1 +pest d’ordrep^α−1dansZ/p^αZ.

c) Montrer qu’il existe un élément d’ordrep−1dansZ/p^αZ. d) En déduire qu’il existe un isomorphisme de groupes

(Z/p^αZ)^×,×

' Z/ (p−1)p^α−1 Z,+

. 3) Soientαun entier naturel au moins égal à3.

(2)

a) Montrer que pour tout entier naturel k, on a5²^k≡1 + 2^k+2 mod 2^k+3. b) En déduire que5est d’ordre2^α−2dansZ/2^αZ.

c) En déduire que l’on a un isomorphisme de groupes

(Z/2^αZ)^×,×

' Z/2Z×Z/2^α−2Z,+ . 4) Montrer que l’on a des isomorphismes de groupes

(Z/2Z)^×,×

' ({1},×)

(Z/4Z)^×,×

' (Z/2Z,+) 5) Conclure en utilisant le théorème chinois.

Exercice 7. Tests de Solovay-Strassen et de Miller-Rabin.SoitN ∈N^∗un entier impair, que l’on écrit sous la forme N = 1 + 2^sM, avecM impair. On poseG0= (Z/NZ)^∗, et on définit les quatre partiesG1,G2,G3 etS deG0 par

G₁ =

a∈G₀, a^N⁻¹= 1

G2 = n

a∈G0, a^N−1² =±1o

G₃ = n

a∈G₀, a^N−1² = _N^ao

S =

a∈G0, a^M = 1ou∃r∈J0, s−1K, a²^r^M =−1

1) Montrer que l’on a les inclusionsS ⊂ G3 ⊂ G2 ⊂ G1 ⊂ G0, et qu’il s’agit d’égalités si et seulement siN est premier. Montrer de plus queG1,G2, etG3sont des sous-groupes deG0.

Letest de Solovay-Strassen permet de savoir de manière probabiliste si un nombreNest premier. Pour cela, on choisit un élément a∈ G₀ de manière aléatoire. Si cet élément n’est pas dansG₃, l’entier N n’est pas premier. S’il est au contraire dansG₃, alors on a au plus1chance sur2queN soit premier, car on a alors(G₃:G₀)≥2siNest composé.

Il suffit de faire un nombre k de tests indépendants pour savoir siN est premier, avec probabilité d’erreur majorée par2^−k.

2) On écritN =p^α₁¹ . . . p^α_k^k, etpi= 1 + 2^sⁱMi pour touti, avecMiimpair. Soittun entier naturel. Pour tout entieri, on poses⁰_i= min (t, si)etti= pgcd (M, Mi). On veut calculer le cardinal des ensembles suivants

E_t⁺ = n

a∈G0, a²^t^M = 1o

E_t⁻ = n

a∈G0, a²^t^M =−1o .

a) Soit aun entier. Montrer que l’on a a²^t^M ≡1 modN si et seulement si l’on a a²^t^M ≡1 modp^α_iⁱ pour tout entierientre1et k. En utilisant le caractère cyclique de chaque(Z/p^α_iⁱZ)^×, montrer que l’on a

#E_t⁺ = 2^s⁰¹^+···+s⁰^kt₁. . . t_k .

b) Montrer que siE⁻_t est non vide, son cardinal est égal à celui deE_t⁺.

c) Montrer qu’il existe un entieravérifianta²^t^M ≡ −1 modp^α_iⁱsi et seulement si2^t+1divise(pi−1)p^α_iⁱ⁻¹, et que ceci est le cas si et seulement si l’on at <minsi.

3) Dans cette question, on va montrer que l’on a4 #S ≤ #G₀ siN est différent de 9. Quitte à permuter les nombre premiers p_i, on suppose que l’on a

s₁ ≤ s₂ ≤ . . . ≤ s_k .

a) Montrer que S est la réunion disjointe deE₀⁺ et desE_j⁻ pour j∈J0, s1−1K. b) En déduire le cardinal deS, puis montrer que l’on a

#S

#G0 = _M^t¹^...t^k

1...Mk · ²⁻⁽^s^{1 +}^···+^sk⁾

p^α₁¹⁻¹...p^αk_k ⁻¹ ·²^ks¹₂_k⁺²₋₁^k⁻² .

c) Montrer que cette quantité vaut ¹₃ siN = 9, et qu’elle est majorée par ¹₅ sik= 1.

d) On suppose k≥2. Montrer le résultat si l’un desα_i vaut au moins2.

(3)

e) On suppose que tous les αi valent1.

i) Montrer que l’on a

2^−(s¹^+···+s^k⁾·²^ks₂¹_k⁺²₋₁^k⁻² ≤ 2^1−k ii) En déduire le résultat pourk≥3.

iii) Montrer le résultat pourk= 2selon qu’il existei∈ {1,2} tel que l’on aitti=Mi ou non.

Letest de Miller-Rabin est une amélioration du test de Solovay-Strassen. Le principe de ce nouveau test probabiliste est semblable, en remplaçant G3 parG4, l’avantage étant que pour le même nombre de tests, la probabilité d’erreur est majorée par4^−k.