UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

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TD complémentaire n^o2 - Groupes

Exercice 1. Parmi les ensembles (munis de lois de composition) suivants, dire lesquels sont des groupes : 1)(N,+). 2)(Z,+). 3)(Z,×). 4)(Z\ {0},×).

5)(R,+). 6)(R\ {0},×). 7)(R\ {0},+).

Exercice 2. 1) Montrer que {z∈C, |z|= 1}est un sous-groupe de(C^∗,×).

2) Montrer que{z∈C, zⁿ= 1} est un sous-groupe de(C^∗,×).

Exercice 3. Montrer que exp :C −→C^∗ est un morphisme de groupes de (C,+) vers (C^∗,×). En déterminer le noyau et l’image.

Exercice 4. Déterminer tous les endomorphismes du groupe(R,+)qui sont des fonctions continues.

Exercice 5. Un sous-groupe H d’un groupe Gest ditdistingué dansGsi on agHg⁻¹=H pour toutg∈G.

1) Soient Gun groupe et H un sous-groupe distingué deG. Montrer que l’ensemble quotient G/H est muni d’une structure de groupe.

2) On considère deux groupes Get G⁰, ainsi qu’un morphisme de groupesf :G−→G⁰. Montrer que l’image réciproque d’un sous-groupe distingué deG⁰ est un sous-groupe distingué deG.

Exercice 6. Premier théorème d’isomorphisme.Soient Get G⁰ deux groupes, ainsi que f :G7→G⁰ un morphisme de groupes. Montrer que f induit un isomorphisme de groupes _ker^G_f 'imf.

Exercice 7. Deuxième théorème d’isomorphisme.SoientH etKdeux sous-groupes d’un groupeG, avecKdistingué dansG. Montrer queK∩H est un sous-groupe distingué deH et que l’on a un isomorphisme de groupes _K∩H^H '^HK_K .

Exercice 8. Troisième théorème d’isomorphisme.SoientH et Kdeux sous-groupes distingués d’un groupe G, avec K inclus dansH. Montrer que ^H_K est un sous-groupe distingué de _K^G, et que l’on a un isomorphisme de groupes :

G/K

H/K ' G

H .

Exercice 9. Sous-groupes de(R,+).SoitGun sous-groupe de (R,+) non réduit à{0}. On se propose de montrer queGest soit dense, soit de la formeaZaveca >0. On poseA=G∩R^∗+.

1) Montrer queAadmet une borne inférieure, et que cette dernière est positive. On la notea.

2) On suppose queaest dansA.

a) Soitx∈G. Montrer que sixn’est pas dansaZ, alors on ax−_x

a

a∈G∩]0, a[.

b) En déduire que l’on aG=aZ.

3) On suppose maintenant quean’est pas dansA. Soient xet ydeux réels, avec x < y. On poseα=y−x.

a) Montrer qu’il existeb etc dansAtels que l’on aita < b < c < a+α.

b) En déduire qu’il existe g∈Gtel que l’on ait0< g < α.

c) Montrer qu’il existe n ∈Z tel que l’on ait ng ∈ ]x, y[. En déduire que G∩]x, y[ est non vide. Ceci signifie queGest dense dansR, i.e. qu’entre deux éléments distincts deR, on peut toujours trouver un élément deG.