UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 2 - Arithmétique des entiers
Exercice 1. Décomposer les entiers2015,2016, et2017en produit de facteurs premiers.
Exercice 2. Déterminer tous les diviseurs positifs de 12et de28.
Exercice 3. Soitn≥2un entier.
1) Montrer que les entiersn! + 2, n! + 3, . . .,n! +nne sont pas premiers.
2) Donner un exemple de10entiers consécutifs non premiers.
Exercice 4. On considère une école, dont l’effectif est compris entre 100 et 200 élèves. Si l’on range les élèves par groupes de 3, de5, ou de7, il reste toujours2élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans cette école ?
Exercice 5. Déterminer le plus grand entier naturel dont le cube divise 24×36×7.
Exercice 6. Déterminer tous les nombres premierspdivisant2p+ 1.
Exercice 7. Calculer le pgcd et le ppcm de195et 143.
Exercice 8. Résoudre dansZ2 les équations suivantes.
1)4x+ 9y= 1. 2)18x+ 7y= 2.
Exercice 9. Soienta, b,x, ety des entiers tels queax+bysoit strictement positif et soit un diviseur commun àa et b. Montrer qu’il s’agit du pgcd deaet b.
Exercice 10. Soienta,b,c, etddes entiers. Montrer que les implications suivantes sont vraies.
1)pgcd (a, b) =d =⇒ pgcd (ac, bc) =dc.
2)pgcd (a, b) = 1et pgcd (a, c) = 1 =⇒ pgcd (a, bc) = 1.
3)pgcd (a, b) = 1 =⇒ ∀m, n≥2, pgcd (am, bn) = 1.
4)pgcd (a, b) =d =⇒ ∀m≥2, pgcd (am, bm) =dm.
Exercice 11. Soient a et b deux entiers strictement positifs, dont on note m le ppcm. Montrer qu’il existe des diviseursa0 deaet b0 deb premiers entre eux tels que l’on aitm=a0b0.
Exercice 12. Soientaet bdeux entiers. Montrer que l’on apgcd (a, b)·ppcm (a, b) =|ab|.
