UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 3 - Groupes
Exercice 1. SoitGun ensemble muni d’une loi de composition interne(x, y)7→xyassociative, avec élément neutre à gauche e (i.e. pour toutx∈G, on a ex =x) et telle que tout élément deGadmet un inverse à gauche (i.e. pour tout x∈G, il existe y∈Gtel que l’on aityx=e). Montrer queGest un groupe.
Exercice 2. SoitGun groupe, de neutree, tel que l’on aitg2=epour toutg∈G. Montrer queGest abélien.
Exercice 3. Montrer qu’un groupe fini d’ordre pair possède un élément d’ordre 2.
Exercice 4. SoitHun sous-ensemble non-vide d’un groupeG. Montrer queHest un sous-groupe deGsi et seulement si on a g−1h∈H pour tousg, h∈H.
Exercice 5. SoitGun groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes deGest un sous-groupe deG. Que dire de la réunion de deux tels sous-groupes ?
Exercice 6. Soient Gun groupe et H un sous-ensemble fini non-vide de Gstable pour la loi de composition deG.
Montrer queH est un sous-groupe deG. Donner un contre-exemple dans le cas où H n’est pas supposé fini.
Exercice 7. SoitGun groupe.
1) Montrer que l’applicationx7→x−1 est un morphisme de groupes si et seulement siGest abélien.
2) On supposeGfini. Soitϕun endomorphisme involutif deG, i.e. vérifiantϕ◦ϕ=idG, dont le seul point fixe est le neutree. Montrer que pour tout z∈G, il existet∈Gtel que l’on aitz=tϕ t−1
. En déduire l’expression de l’endomorphismeϕ, puis queGest abélien.
