UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD complémentaire no3 - Anneaux et corps
Exercice 1. Montrer que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 2. Théorème chinois.Soient Aun anneau et I, J deux idéaux de Aque l’on suppose premiers entre eux, c’est-à-dire vérifiantI+J =A.
1) Montrer que l’on aI·J =I∩J.
2) En déduire que les anneauxA/(I∩J)et A/I×A/J sont isomorphes.
3) Quelle forme prend l’énoncé dans le cas oùA=Z?
Exercice 3. Anneaux principaux.Un anneau commutatif intègreAest ditprincipalsi tous ses idéaux sont principaux, i.e. engendrés par un élément.
1) Montrer queZest un anneau principal, mais queZ[X]ne l’est pas.
2) Montrer que tout idéal deZ2 est principal. L’anneauZ2 est-il principal ?
3) SoitAun anneau principal. Montrer que tout idéal premier non nul deAest maximal.
Exercice 4. Anneaux euclidiens.Un anneau commutatif intègreA est diteuclidiens’il est muni d’une application, appeléestathme euclidien,ν:A\ {0} −→Ntelle que pour touta∈Aet toutb∈A\ {0}, il existeq, r∈A vérifiant l’égalitéa=bq+retr= 0ouν(r)< ν(b).
1) Montrer que la valeur absolue fait deZun anneau euclidien.
2) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.
3) Montrer qu’il existe x ∈ A non inversible tel que la projection π : A×∪ {0} −→ A/(x) soit surjective.
Montrer queA/(x)est un corps.
Cette dernière sert à trouver des contre-exemples à la réciproque de la question2.
Exercice 5. Anneau des entiers de Gauss.On poseZ[i] ={a+ib, a, b∈Z}.
1) Montrer queZ[i], muni des opérations+et ×induites par celles surC, est un anneau.
2) On définit lanorme d’un élémentzdeZ[i]parN(z) =|z|2. Montrer que l’on aN(zz0) =N(z)N(z0)pour tous z, z0∈Z[i], et queN est à valeurs dans les entiers naturels. En déduire la liste des éléments inversibles deZ[i].
3) Montrer que l’applicationN fait deZ[i]un anneau euclidien.
Exercice 6. Un anneau principal non euclidien. On poseα= 1+i
√19
2 et on noteAl’ensemble
Z[α] = {a+bα, a, b∈Z}
1) Montrer que l’on aα2−α+ 5 = 0. En déduire queAest un sous-anneau deCpour les opérations usuelles.
2) On définit lanorme d’un élémentz deA parN(z) =|z|2. Montrer que l’on aN(zz0) =N(z)N(z0)pour tous z, z0∈A, et que N est à valeurs dans les entiers naturels. En déduire la liste des éléments inversibles deA.
3) On va montrer dans cette question queAn’est pas euclidien. On raisonne par l’absurde, et on suppose donc queAest euclidien, de stathmeν. On fixe un élémentxdeAcomme dans la question3de l’exercice4.
a) Montrer que le corps A/(x)ne peut être égal qu’àZ/2Zou à Z/3Z. b) Dans chacun de ces cas, donner l’équation polynomiale vérifiée parπ(α).
c) Montrer que chacune de ces équations n’a pas de solution dans le corps considéré. Conclure.
4) On va maintenant montrer que Aest tout de même muni d’une pseudo division euclidienne, i.e. que pour tous a, b∈A non nuls, il existeq, r∈A tels que l’on aitr= 0 ouN(r)< N(b), eta=bq+rou2a=bq+r. On se donnea, b deux éléments non nuls deA. On écritx= ab =u+vαavecu, v∈Q, et on noten=bvcla partie entière dev. On a doncv∈[n, n+ 1].
a) On suppose dans cette question que l’on a v 6∈
n+13, n+23
. En considérant les entiers les plus proches deuetv respectivement, montrer qu’il existeq, r∈Atels que l’on aita=bq+retr= 0ouN(r)< N(b).
b) On suppose maintenant que l’on av∈
n+13, n+23
. En considérant2xet m=b2vc, montrer qu’il existe montrer qu’il existeq, r∈Atels que l’on ait2a=bq+ret r= 0ouN(r)< N(b).
c) Conclure.
5) On peut maintenant montrer queAest un anneau principal.
a) Montrer que Aest isomorphe à l’anneau quotientZ[T]/ T2−T + 5 . b) Montrer que(2) est un idéal maximal deA.
c) En raisonnant de façon similaire à la question 2 de l’exercice 4, montrer que tout idéal de A est principal. Conclure.
