UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

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TD 3 - Groupes - Corrigé

Exercice 1. SoitGun ensemble muni d’une loi de composition interne(x, y)7→xyassociative, avec élément neutre à gauche e (i.e. pour toutx∈G, on a ex =x) et telle que tout élément deGadmet un inverse à gauche (i.e. pour tout x∈G, il existe y∈Gtel que l’on aityx=e). Montrer queGest un groupe.

Il s’agit ici de montrer qu’un inverse à gauche est aussi un inverse à droite, puis que le neutre à gauche est également un élément neutre à droite.

Soitx∈G. On se donne un inverse à gauchey∈Gdex, puis un inverse à gauchez∈Gdey. On a xy = e(xy) careest un neutre à gauche

= (zy) (xy) carz est un inverse à gauche dey

= z((yx)y) car la loi sur Gest associative

= z(ey) cary est un inverse à gauche dex

= zy careest un neutre à gauche

= e carz est un inverse à gauche dey. Ceci montre que tout inverse à gauche est aussi un inverse à droite.

Soitx∈G. On va montrer que l’on axe=x. On note y un inverse à gauche, qui est aussi un inverse à droite par ce qui précède, de x. On a

xe = x(yx) cary est un inverse à gauche dex

= (xy)x car la loi est associative

= ex cary est un inverse à droite dex

= x careest un neutre à gauche . On a donc bien montré que Gest un groupe.

Exercice 2. SoitGun groupe, de neutree, tel que l’on aitg²=epour toutg∈G. Montrer queGest abélien.

Soient get hdeux éléments deG. On a

gh = h²(gh)g² car on ag²=h²=e

= h(hg) (hg)g par associativité

= h(hg)²g

= heg carhg∈Gdonc(hg)²=e

= hg careest le neutre, doncGest bien un groupe abélien.

Exercice 3. Montrer qu’un groupe fini d’ordre pair possède un élément d’ordre 2.

On définit la relation binaire∼surGparx∼ysix=youx=y⁻¹. On commence par montrer que∼est une relation d’équivalence.

•Réfléxivité : pour toutx∈G, on a bienx∼xpar définition de∼.

•Symétrie : six, y∈Gsont tels que l’on aitx∼y, alors on ay=xouy=x⁻¹, ce qui donnex=y ou x=y⁻¹, d’oùy∼x.

•Transitivité : six, y, z∈Gvérifientx∼y ety∼z, on ay=xouy=x⁻¹ ainsi quez=youz=y⁻¹, ce qui donnez=xouz=x⁻¹.

Ceci montre bien que∼est une relation d’équivalence surG. On remarque alors que la classe d’équivalence d’un élémentx∈Gest de cardinal1six=x⁻¹, et de cardinal2sinon. On noteS l’ensemble des classes d’équivalence de cardinal 2 et E l’ensemble des classes d’équivalence de cardinal 1. Comme ces classes partitionnent G, i.e.

leur réunion est disjointe et recouvre toutG, on a

#G = 2·#S+ #E ,

donc #E est pair. Il suffit alors de remarquer que le neutree de G est dans E, donc #E est de cardinal au moins 2. On se donne alors un élément xdeE différent dee. On a x=x⁻¹, ce qui donnex² =e, avec x6=e.

Ceci montre quexest d’ordre exactement2.

Exercice 4. SoitHun sous-ensemble non-vide d’un groupeG. Montrer queHest un sous-groupe deGsi et seulement si on a g⁻¹h∈H pour tousg, h∈H.

On va raisonner par double implication.

• ⇒: On suppose queH soit un sous-groupe de G. Soient g et hdeux éléments deH. On ag⁻¹ ∈H carH est stable par passage à l’inverse, puisg⁻¹h∈H carH est stable par la loi de composition. Ceci montre le sens direct.

• ⇐: On suppose que l’on ag⁻¹h∈H pour tousg, h∈H, l’inversion degétant prise dansG. Il s’agit de montrer queH est stable par la loi de composition, par passage à l’inverse, et contient le neutreedeG.

On se donne h∈H, ce qui est possible carH est non vide. On ae=h⁻¹h∈H carh∈H. Soient à présentg et hdeux éléments deH. On ag⁻¹=g⁻¹e∈H car e∈H, et gh= g⁻¹−1

h∈H carg⁻¹∈H. Ceci montre bien que H est stable par passage à l’inverse et par la loi de composition, ce qui permet de conclure.

Ainsi, un sous-ensemble non vide H d’un groupe G en est un sous-groupe si et seulement si l’on a g⁻¹h∈ H pour tousg, h∈H.

Exercice 5. SoitGun groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes deGest un sous-groupe deG. Que dire de la réunion de deux tels sous-groupes ?

Soient H et Kdeux sous-groupes deG. On va montrer queH∩Kest un sous-groupe deG.

• On commence par remarquer queH∩K est non vide, car le neutreedeGest contenu dansH etK, ces derniers étant des sous-groupes deG.

• Soient à présentg, h∈H ∩K. On a g⁻¹h∈H, carH est un sous-groupe de G, etg⁻¹h∈K car K est un sous-groupe deG, ce qui donneg⁻¹h∈H∩K.

L’exercice précédent permet alors d’affirmer queH∩Kest un sous-groupe deG.

On va maintenant montrer queH∪Kest un sous-groupe deGsi et seulement si l’on aH ⊂KouK⊂H. On commence par remarquer que si l’une des deux inclusions ci-dessus est vraie, alorsH∪K est un sous-groupe deG, car il s’agit alors deK si la première inclusion est vérifiée, et deH si la seconde l’est.

Il reste à montrer la réciproque. On suppose queH ∪K soit un sous-groupe de G, et que l’on ait H 6⊂K. On fixe alors un élémenthdeH ⊂H∪Kqui ne soit pas dansK. Pour toutg∈K⊂H∪K, on agh∈H∪K. On ne peut cependant pas avoirgh∈K, sans quoi on auraith=g⁻¹(gh)∈K, ce qui serait contraire à l’hypothèse faite surh. On a doncgh∈H, ce qui donneg= (gh)h⁻¹∈H, d’où l’inclusionK⊂H.

Exercice 6. Soient Gun groupe et H un sous-ensemble fini non-vide de Gstable pour la loi de composition deG.

Montrer queH est un sous-groupe deG. Donner un contre-exemple dans le cas où H n’est pas supposé fini.

Il s’agit de montrer queH est stable par passage à l’inverse et contient le neutree. Soith∈H. L’ensemble E = {hⁿ, n∈N^∗} =

h, h², h³, . . .

est inclus dansH, car ce dernier est stable par la loi de composition. On insiste ici sur le fait queh⁰=e, ainsi que lesh^k aveck <0entier, ne sont pas inclus dans l’ensemble E, car on ne sait pas encore que H contient les inverses et le neutre.

CommeH est un ensemble fini, tous ses sous-ensembles sont finis, ce qui est donc le cas deE. Par principe des tiroirs, il existe alors deux entiers naturelsn, mavec n > mtels que l’on aithⁿ=h^m. En inversanthdans G, on a alorsh^n−m=e. Commen−mest un entier strictement positif, la stabilité deH par la loi de composition donnee=h^n−m∈H. Ceci montre queH contient le neutre deG.

Il reste à montrer queH contient l’inverse h⁻¹. On a

e = hh^n−m−1 = h^n−m−1h .

L’entier n−m−1 étant positif, on ah^n−m−1∈H, car élément est le neutre sin−m= 1, et par stabilité deH par la loi de composition si n−m >1. Ceci achève la preuve.

Le sous-ensembleH deGen est alors bien un sous-groupe. Il s’agit à présent de trouver un contre-exemple dans le cas où H n’est pas fini. On peut prendre G= (Z,+)et H=N^∗. Ce dernier ne contenant pas le neutre deG, qui est0, il ne saurait en être un sous-groupe.

Exercice 7. SoitGun groupe.

1) Montrer que l’applicationx7→x⁻¹ est un morphisme de groupes si et seulement siGest abélien.

On noteψ l’application ci-dessus. On va raisonner par équivalence. On a

ψest un morphisme de groupes ⇐⇒ ∀x, y∈G, ψ(xy) =ψ(x)ψ(y)

⇐⇒ ∀x, y∈G, (xy)⁻¹=x⁻¹y⁻¹

⇐⇒ ∀x, y∈G, (xy)⁻¹= (yx)⁻¹

⇐⇒ ∀x, y∈G, xy=yx

⇐⇒ Gest abélien.

Ceci montre bien l’équivalence souhaitée.

2) On supposeGfini. Soitϕun endomorphisme involutif deG, i.e. vérifiantϕ◦ϕ=id_G, dont le seul point fixe est le neutree. Montrer que pour tout z∈G, il existet∈Gtel que l’on aitz=tϕ t⁻¹

. En déduire l’expression de l’endomorphismeϕ, puis queGest abélien.

On commence par noterψl’application définie par

ψ : G −→ G

t 7→ tϕ t⁻¹ .

On va montrer que cette application est injective. Soientt1, t2 ∈H tels que l’on aitt1ϕ t⁻¹₁

=t2ϕ t⁻¹₂ . On a alors t1t⁻¹₂ =ϕ t1t⁻¹₂

, ce qui donnet1t⁻¹₂ =e, car e est le seul point fixe deϕ, d’où t1 =t2. Ceci montre l’injectivité de ψ. Cette application étant entre deux ensembles de même cardinal, elle est aussi surjective, ce qui est la propriété souhaitée.

Soit à présentz∈G. On fixet∈Gtel que l’on aitz=tϕ t⁻¹

par ce qui précède. On a alors zϕ(z) = tϕ t⁻¹

ϕ(t)ϕ² t⁻¹

= tϕ t⁻¹t

t⁻¹ = tϕ(e)t⁻¹ = tt⁻¹ = e .

Ceci montre que l’on aϕ(z) =z⁻¹ pour toutz∈G. Commeϕest par hypothèse un morphisme de groupes, la question 1dit queGest abélien.