UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018 TD complémentaire n

(1)

UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

TD complémentaire n^o1 - Arithmétique sur Z - Corrigé

Exercice 1. Résoudre dansZ² les équations suivantes.

1)xy= 3x+ 2y.

On va procéder par analyse-synthèse.

•Analyse : Soit(x, y)∈Z²tels que l’on aitxy= 3x+ 2y. On a alors 6 = xy−3x−2y+ 6 = (x−2) (y−3) ,

i.e.x−2et y−3sont des diviseurs de6, qui sont±1,±2,±3,±6, dont le produit vaut6. Ceci donne (x−2, y−3) ∈ {(−6,−1), (−3,−2), (−2,−3), (−1,−6), (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)} , c’est-à-dire

(x, y) ∈ {(−4,2), (−1,1), (0,0), (1,−3), (3,9), (4,6), (5,5), (8,4)} .

•Synthèse : Il s’agit de déterminer, parmi les solutions possibles trouvées ci-dessus, lesquelles conviennent effectivement. On a

(−4) × 2 − 3 × (−4) − 2 × 2 = 0

(−1) × 1 − 3 × (−1) − 2 × 1 = 0

0 × 0 − 3 × 0 − 2 × 0 = 0

1 × (−3) − 3 × 1 − 2 × (−3) = 0

3 × 9 − 3 × 3 − 2 × 9 = 0

4 × 6 − 3 × 4 − 2 × 6 = 0

5 × 5 − 3 × 5 − 2 × 5 = 0

8 × 4 − 3 × 8 − 2 × 4 = 0

Ceci permet de conclure.

L’ensemble des solutions dans Z²de l’équationxy= 3x+ 2yest donc

{(−4,2), (−1,1), (0,0), (1,−3), (3,9), (4,6), (5,5), (8,4)}.

Il est bon de noter que l’on aurait pu raisonner directement par équivalence pour s’éviter la vérification.

2)x²−y²−4x−2y= 5.

•Analyse : Soit(x, y)∈Z²tels que l’on aitx²−y²−4x−2y= 5. On a alors 8 = (x−2)²−(y+ 1)² = ((x−2)−(y+ 1))·((x−2) + (y+ 1))

= (x−y−3) (x+y−1) ,

i.e.x−y−3et x+y−1sont des diviseurs de8, qui sont±1,±2,±4, ±8, dont le produit vaut8. Ceci donne (x−y−3, x+y−1) ∈ {(−8,−1), (−4,−2), (−2,−4), (−1,−8), (1,8), (2,4), (4,2), (8,1)} . En remarquant que l’on a 2x−4 = (x−y−3) + (x+y−1) et2y+ 2 = (x+y−1)−(x−y−3), on obtient

(2x−4,2y+ 2) ∈ {(−9,7), (−6,2), (−6,−2), (−9,−7), (9,7), (6,2), (6,−2), (9,−7)} ,

(2)

c’est-à-dire

(2x,2y) ∈ {(−5,5), (−2,0), (−2,−4), (−5,−9), (13,5), (10,0), (10,−4), (13,−9)} . On rappelle quexet y sont entiers, donc2xet 2y sont des entiers pairs, ce qui donne

(x, y) ∈ {(−1,0), (−1,−2), (5,0), (5,−2)} .

(−1)² − 0² − 4 × (−1) − 2 × 0 = 5

(−1)² − (−2)² − 4 × (−1) − 2 × (−2) = 5

5² − 0² − 4 × 5 − 2 × 0 = 5

5² − (−2)² − 4 × 5 − 2 × (−2) = 5

Ceci permet de conclure.

L’ensemble des solutions dans Z²de l’équationx²−y²−4x−2y= 5est donc {(−1,0), (−1,−2), (5,0), (5,−2)} .

3)x²−y²−x+ 3y= 30.

•Analyse : Soit(x, y)∈Z²tels que l’on aitx²−y²−x+ 3y= 30. On a alors 112 = 4x²−4y²−4x+ 12y−8 = (2x−1)²−(2y−3)²

= ((2x−1)−(2y−3))·((2x−1) + (2y−3))

= (2x−2y+ 2) (2x+ 2y−4)

donc2x−2y+ 2et 2x+ 2y−4sont des diviseurs de112, qui sont ±1,±2, ±4,±7,±8,±14, ±16, ±28, ±56, et ±112, dont le produit vaut128. Ceci donne

(2x−2y+ 2, 2x+ 2y−4) ∈ {(−112,−1), (−56,−2), (−28,−4), (−16,−7), (−14,−8), (−8,−14), (−7,−16), (−4,−28), (−2,−56),(−1,−112), (1,112), (2,56), (4,28),

(7,16), (8,14), (14,8), (16,7), (28,4), (56,2), (112,1)} .

En remarquant que l’on a 4x−2 = (2x−2y+ 2) + (2x+ 2y−4)et 4y−6 = (2x+ 2y−4)−(2x−2y+ 2), on obtient

(4x−2, 4y−6) ∈ {(−113,111), (−58,54), (−32,24), (−23,9), (−22,6),(−22,−6),(−23,−9), (−32,−24), (−58,−54), (−113,−111), (113,111), (58,54), (32,24),(23,9),

(22,6), (22,−6), (23,−9), (32,−24), (58,−54), (113,−111)} . c’est-à-dire

(4x,4y) ∈ {(−111,117), (−56,60), (−30,30), (−21,15), (−20,12),(−20,0), (−21,−3), (−30,−16), (−56,−48), (−111,−105), (115,117), (60,60), (34,30),(25,15),

(24,12), (24,0), (25,−3), (34,−18), (60,−48), (115,−105)} . On rappelle quexet y sont des entiers, donc4xet 4y sont des entiers divisibles par4, ce qui donne

(x, y) ∈ {(−14,15), (−5,3), (−5,0),(−14,−12), (15,15), (6,3), (6,0), (15,−12)} .

(3)

(−14)² − 15² − (−14) + 3 × 15 = 30

(−5)² − 3² − (−5) + 3 × 3 = 30

(−5)² − 0² − (−5) + 3 × 0 = 30

(−14)² − (−12)² − (−14) + 3 × (−12) = 30

15² − 15² − 15 + 3 × 15 = 30

6² − 3² − 6 + 3 × 3 = 30

6² − 0² − 6 + 3 × 0 = 30

15² − (−12)² − 15 + 3 × (−12) = 30 Ceci permet de conclure.

L’ensemble des solutions dans Z²de l’équationx²−y²−x+ 3y= 30est donc

{(−14,15), (−5,3), (−5,0),(−14,−12), (15,15), (6,3), (6,0), (15,−12)} .