UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 1 - Révisions
Exercice 1. Montrer par récurrence les assertions suivantes.
1) Pour toutn∈N∗, on a1 + 2 +· · ·+n= n(n+1)2 .
2) Pour toutn∈N∗, on a12+ 22+· · ·+n2= n(n+1)(2n+1)
6 .
Exercice 2. Soient a, b, c∈Z. Montrer que les implications suivantes sont vraies.
1) Sic|aetc|b, alorsc|(a+b). 2) Sic|aetc|b, alorsc|(a−b).
3) Sia|c, alorsa|bc. 4) Sia|c etb|c, alorsab|c2.
Exercice 3. Soient a, b, c∈Z. Déterminer, en justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
1) Sia|b2, alorsa|b. 2) Sia|c etb|c, alorsab|c2. 3) Sia|beta|c, alorsa2|bc. 4) Sia|bc, alorsa|b oua|c.
5) Siaest premier eta|bc, alorsa|boua|c. 6)3divise0.
7)a|b si et seulement sia2|b2.
Exercice 4. Soitaun entier impair. Montrer par récurrence que2n+1 divisea2n−1.
Exercice 5. Montrer que l’entier 33n+3−26n−27est divisible par169 pour tout entier natureln.
Exercice 6. Déterminer tous les entiers naturelsndivisantn+ 8.
Exercice 7. Déterminer tous les entiers naturelsntels que n+ 1divisen2+ 1.
Exercice 8. Résoudre dansZ2 les équations suivantes.
1)x2+y2= 2. 2)x2+y2= 3. 3)x2−y2= 2.
Exercice 9. Montrer que√
2n’est pas un nombre rationnel.
