UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
Devoir maison no1
Exercice 1. Résoudre dansZ2 les équations suivantes.
1)37x−27y= 1. 2)544x−944y= 160. 3)2520x−3960y= 6480.
Exercice 2. Soitnun entier naturel non nul. Montrer que{z∈C, zn= 1}est un sous-groupe de(C∗,×).
Exercice 3. Résoudre les systèmes de congruence suivants.
1)
3x≡2 mod 5
5x≡1 mod 6 . 2)
x≡2 mod 10
x≡5 mod 13 .
Exercice 4. On noteA l’anneauZ/20Z.
1) Combien d’éléments inversibles l’anneauApossède-t-il ?
2) Expliciter les éléments deA× et donner l’ordre de chacun d’entre eux.
3) Montrer que le groupe(A×,×)est isomorphe à (Z/2Z×Z/4Z,+).
Exercice 5. On rappelle qu’un morphisme de corps est un morphisme d’anneaux entre deux corps. Montrer que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 6. Anneaux principaux.Un anneau commutatif intègreAest ditprincipalsi tous ses idéaux sont principaux, i.e.engendrés par un élément.
1) Montrer que Z est un anneau principal, mais que Z[X] ne l’est pas. Indication : pour Z[X], on pourra montrer que l’idéal(2, X) = 2Z[X] +XZ[X] n’est pas principal.
2) Montrer que tout idéal deZ2 est principal. L’anneauZ2 est-il principal ?
3) SoitAun anneau principal. Montrer que tout idéal premier non nul deAest maximal.
Exercice 7. Anneaux euclidiens.Un anneau commutatif intègreA est diteuclidiens’il est muni d’une application, appeléestathme euclidien,ν:A\ {0} −→Ntelle que pour touta∈Aet toutb∈A\ {0}, il existeq, r∈A vérifiant l’égalitéa=bq+retr= 0ouν(r)< ν(b). Dans cet exerciceAdésigne un anneau euclidien.
1) Montrer que la valeur absolue fait deZun anneau euclidien.
2) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.Indication : pour montrer qu’un idéal est principal, on pourra considérer un de ses éléments minimisantν.
3) Montrer qu’il existe x ∈ A non inversible tel que la projection π : A×∪ {0} −→ A/(x) soit surjective.
Montrer queA/(x)est un corps.Indication : on cherche encore à minimiserν, cette fois surA\A×.
