UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 4 - Anneaux
Exercice 1. Montrer qu’un sous-ensemble non videad’un anneau commutatifAest un idéal si et seulement si pour tous a, b∈aet toutc∈A, on a a+bc∈a.
Exercice 2. Soient aetbdeux idéaux d’un anneau commutatifA. On pose
( a+b = {c∈A, ∃a∈a et b∈b, c=a+b}
a·b = {c∈A, ∃n∈N, ∃a1, . . . , an∈a et b1, . . . , bn ∈b, c=a1b1+· · ·+anbn} .
1) Montrer que les inclusionsa·b ⊂ a∩b ⊂ a∪b ⊂ a+bsont vérifiées.
2) Montrer que l’ensemblea∪best un idéal deAsi et seulement si on aa ⊂ boub ⊂ a.
3) Montrer quea+best un idéal deAet qu’il s’agit du plus petit idéal deAcontenanta∪b.
4) Montrer quea∩beta·bsont des idéaux deAet quea∩best le plus grand idéal deAcontenu dansaet b.
5) On dit que a et b sont premiers entre eux si l’on a a+b= A. Montrer que l’on a, sous cette hypothèse, l’égalitéa·b=a∩b. Donner un contre-exemple dans le cas oùaet bne sont pas premiers entre eux.
Exercice 3. Pour tout anneau A, on noteA× le groupe de ses éléments inversibles.
1) DéterminerZ× etQ×.
2) Montrer que siAet B sont deux anneaux, on a(A×B)×=A××B×.
3) Montrer que sif :A−→Best un morphisme d’anneaux, on af(A×)⊂B×. A-t-on égalité sif est surjectif ?
Exercice 4. Un élémentad’un anneauA est ditnilpotent s’il existen∈N∗ tel que l’on aitan= 0.
1) On suppose dans cette questionA commutatif. Montrer que l’ensemble a des éléments nilpotents deA est un idéal et que le quotient A/a ne possède pas d’éléments nilpotents non nuls.
2) Montrer que siaest nilpotent, alors1 +aest inversible.
Exercice 5. Montrer qu’un anneau commutatif Aest un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont l’idéal nul0 et A.
Exercice 6. Montrer qu’un anneau commutatif intègre qui ne possède qu’un nombre fini d’idéaux est un corps.
Exercice 7. Montrer qu’un anneau fini intègre est un corps.
Exercice 8. Le but de cet exercice est de montrer que tout automorphisme de corpsσ:R−→Rest l’identité, i.e.
que l’on a σ(x) =xpour toutx∈R.
1) Montrer que l’on aσ(x) =xpour toutx∈Q. 2) Montrer que l’on aσ(R+) ⊂ R+.
3) En déduire queσest une application croissante, puis qu’elle est continue.
4) Conclure.
Exercice 9. Un idéal ad’un anneauA est ditpremier si pour tousa, b∈Aavecab∈a, on aa∈a oub∈a.
1) Montrer qu’un idéalad’un anneauAest premier si et seulement si le quotientA/a est intègre.
2) Soitf :A−→B un morphisme d’anneaux. Montrer que sia est un idéal premier deB, l’idéalf−1(a)deA est premier.
Exercice 10. Un idéaladeAest ditmaximal sia6=Aet pour tout idéalbdeAtel quea⊂b, on ab=aoub=A.
Soitaun idéal deA. Montrer queaest maximal si et seulement si le quotientA/aest un corps. En déduire que tout idéal maximal est premier.
