UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

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TD 1 - Révisions - Corrigé

Exercice 1. Montrer par récurrence les assertions suivantes.

1) Pour toutn∈N^∗, on a1 + 2 +· · ·+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ .

Pour toutn∈N^∗, on noteP(n)la propriété « on a1 + 2 +· · ·+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ » . On va montrer queP(n)est vraie pour tout entier naturel non nulnen raisonnant par récurrence.

•Casn= 1: On a bien1 = ^1×2₂ , doncP(1)est vraie.

•Soit à présentn∈N^∗. On suppose la propriétéP(n)vraie. On va montrerP(n+ 1). On a 1 + 2 +· · ·+ (n+ 1) = (1 + 2 +· · ·+n) + (n+ 1)

= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ +n+ 1 en utilisant P(n)

= (n+ 1)· ⁿ₂ + 1

= ^(n+1)(n+2)₂ . Ceci montre queP(n+ 1)est vraie, et achève la récurrence.

2) Pour toutn∈N^∗, on a1²+ 2²+· · ·+n²= n(n+1)(2n+1)

6 .

Pour tout n∈N^∗, on noteP(n)la propriété « on a1²+ 2²+· · ·+n²= n(n+1)(2n+1)

6 » . On va montrer que la propriétéP(n)est vraie pour tout entier naturel non nulnen raisonnant par récurrence.

•Casn= 1: On a bien1²= 1 = ^1×2×3₆ , doncP(1)est vraie.

•Soit à présentn∈N^∗. On suppose la propriétéP(n)vraie. On va montrerP(n+ 1). On a 1²+ 2²+· · ·+ (n+ 1)² = 1²+ 2²+· · ·+n²

+ (n+ 1)²

= n(n+1)(2n+1)

6 + (n+ 1)² en utilisant P(n)

= ⁿ⁺¹₆ ·(n(2n+ 1) + 6 (n+ 1))

= ⁿ⁺¹₆ · 2n²+ 7n+ 6

= (n+1)(n+2)(2n+3)

6 .

Ceci montre queP(n+ 1)est vraie, et achève la récurrence.

Exercice 2. Soient a, b, c∈Z. Montrer que les implications suivantes sont vraies.

1) Sic|aetc|b, alorsc|(a+b).

Commec divisea, il existe un entier k∈Z tel que l’on aita=ck. De même, il existe un entier k⁰ ∈Z tel que l’on ait b=k⁰c. On a alorsa+b= (k+k⁰)c. Commek+k⁰ est un entier, cela signifie quecdivisea+b.

2) Sic|aetc|b, alorsc|(a−b).

Commec divisea, il existe un entier k∈Z tel que l’on aita=ck. De même, il existe un entier k⁰ ∈Z tel que l’on ait b=k⁰c. On a alorsa−b= (k−k⁰)c. Commek−k⁰ est un entier, cela signifie quecdivisea−b.

3) Sia|c, alorsa|bc.

Commeadivisec, il existe un entierk∈Ztel que l’on aitc=ak. On a alorsbc=abk. Commebkest un entier, cela signifie queadivisebc.

4) Sia|cetb|c, alorsab|c².

Commea|c, il existe un entierk∈Ztel que l’on aitc=ak. Comme b|c, il existe de même un entierk⁰ ∈Ztel que l’on ait c=bk⁰. On a alorsc²= (ak) (bk⁰) =abkk⁰. Commekk⁰ est un entier, cela signifie queabdivisec².

Exercice 3. Soient a, b, c∈Z. Déterminer, en justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.

1) Sia|b², alorsa|b.

Cette assertion est fausse. En effet, sia= 4et b= 2, on a biena|b², sans pour autant avoira|b.

2) Sia|cetb|c, alorsab|c².

Cette assertion est vraie. En effet, si l’on suppose que adivise c et queb divisec, il existe des entierk, k⁰ ∈Z tels que l’on aitc=ak etc=bk⁰. On a alors c²=abkk⁰, doncab divise bienc².

3) Sia|beta|c, alorsa²|bc.

Cette assertion est vraie. En effet, si l’on suppose que adivisebet c, il existe des entiersk, k⁰∈Ztels que l’on ait b=aket c=ak⁰. On a alors bc=a²kk⁰, donca² divise bien bc.

4) Sia|bc, alorsa|b oua|c.

Cette assertion est fausse. En effet, sia= 4et b=c= 2, on a biena|bc, sans pour autant avoira|b oua|c.

5) Siaest premier eta|bc, alorsa|boua|c.

Cette assertion est vraie. Il s’agit de la conclusion du lemme d’Euclide.

6)3 divise0.

Cette assertion est vraie. En effet, on a0 = 0×3, ce qui dit bien que3 divise0.

7)a|b si et seulement sia²|b².

Cette assertion est vraie. On noteP l’ensemble des nombres premiers. On a a|b ⇐⇒ ∀p∈ P, vp(a)≤vp(b) ⇐⇒ ∀p∈ P, vp a²

= 2vp(a)≤2vp(b) =vp b²

⇐⇒ a²|b².

Exercice 4. Soitaun entier impair. Montrer par récurrence que2ⁿ⁺¹ divisea²ⁿ−1.

Pour tout n∈N, on noteP(n)la propriété «2ⁿ⁺¹ divisea²ⁿ−1» .On va montrer que la propriétéP(n)est vraie pour tout entier naturelnen raisonnant par récurrence.

•Casn= 0: Commeaest impair, l’entiera−1est pair, et est donc divisible par2, doncP(0)est vraie.

•Soit à présentn∈N. On suppose la propriétéP(n)vraie. On va montrerP(n+ 1). On a a²ⁿ⁺¹−1 = a²ⁿ+ 1

· a²ⁿ−1 .

L’hypothèse de récurrence dit que2ⁿ divisea²ⁿ−1, tandis que2 divisea²ⁿ+ 1, caraest impair, donca²ⁿ est impair, eta²ⁿ+ 1est pair. Ceci montre queP(n+ 1) est vraie, et achève la récurrence.

Exercice 5. Montrer que l’entier 3³ⁿ⁺³−26n−27est divisible par169 pour tout entier natureln.

Pour tout n∈N, on note P(n)la propriété «169 divise 3³ⁿ⁺³−26n−27» .On va montrer que la propriété P(n)est vraie pour tout entier naturelnen raisonnant par récurrence.

•Casn= 0: On a3⁰⁺³−26×0−27 = 0, qui est bien divisible par 169, doncP(0)est vraie.

•Soit à présentn∈N. On suppose la propriétéP(n)vraie. On va montrerP(n+ 1). On a 3^3(n+1)+3−26 (n+ 1)−27 = 3³ⁿ⁺⁶−26n−53

= 3³ 3³ⁿ⁺³−26n−27

+ 3³−1

×26n+ 3³×27−53

= 3³ 3³ⁿ⁺³−26n−27

+ 676 (n+ 1)

= 3³ 3³ⁿ⁺³−26n−27

+ 169×4 (n+ 1) . L’hypothèseP(n)montre alors queP(n+ 1)est vraie. Ceci achève la récurrence.

Exercice 6. Déterminer tous les entiers naturelsndivisantn+ 8.

On va raisonner par équivalence. Soitnun entier naturel. On a

n|n+ 8 ⇐⇒ n| (n+ 8)−n ⇐⇒ n|8 ⇐⇒ n∈ {1,2,4,8} . L’ensemble des entiers naturelsndivisantn+ 8 est donc{1,2,4,8}.

Exercice 7. Déterminer tous les entiers naturelsntels que n+ 1divisen²+ 1.

On va raisonner par équivalence. Soitnun entier naturel. On a n+ 1|n²+ 1 ⇐⇒ n+ 1| n²+ 1

−(n−1) (n+ 1) ⇐⇒ n+ 1| n²+ 1

− n²−1

⇐⇒ n+ 1|2

⇐⇒ n+ 1∈ {1,2}

⇐⇒ n∈ {0,1} . L’ensemble des entiers naturelsntels que n+ 1divisen²+ 1 est donc{0,1}.

Exercice 8. Résoudre dansZ² les équations suivantes.

1)x²+y²= 2.

On va raisonner par analyse-synthèse.

• Analyse : Soit (x, y) ∈Z² une solution de l’équation considérée. On a alors 2−y² =x² ≥0, ce qui donney²≤2, i.e.|y| ≤1. Commey est entier, cela se traduit pary∈ {−1,0,1}. En revenant àx, on a alors

x² = 2−y² ∈ {1,2} .

Comme2 n’est pas le carré d’un entier, on a(x, y)∈ {(−1,−1), (−1,1), (1,−1), (1,1)}.

• Synthèse : Il s’agit ici de déterminer, parmi les solutions éventuelles trouvées ci-dessus, celles qui conviennent effectivement. Un calcul rapide montre que toutes fonctionnent ici.

L’ensemble des solutions dans Z²de l’équationx²+y²= 2est donc{(−1,−1), (−1,1), (1,−1), (1,1)}.

2)x²+y²= 3.

On va raisonner par l’absurde. Soit(x, y)∈Z²une solution de l’équation considérée. On a alors3−y²=x²≥0, ce qui donne y²≤3, i.e.|y| ≤1. Comme y est entier, cela se traduit pary ∈ {−1,0,1}. En revenant àx, on a alors

x² = 3−y² ∈ {2,3} . Comme ni 2ni3 ne sont des carrés d’entiers, on aboutit à une contradiction.

L’équationx²+y²= 3n’admet donc pas de solution dansZ².

3)x²−y²= 2.

On va raisonner par l’absurde. Soit (x, y)∈Z² une solution de l’équation considérée. Quitte à changer le signe dexet dey, on peut les supposer tous les deux positifs. On a alors

2 = x²−y² = (x−y) (x+y) , ce qui donnex−y≥0 carx+y≥0, et

x−y = 1

x+y = 2 ou bien

x−y = 2

x+y = 1 . On obtient dans les deux cas2x= 3, ce qui est impossible carxest entier.

L’équationx²−y²= 2n’admet donc pas de solution dansZ².

Exercice 9. Montrer que√

2n’est pas un nombre rationnel.

On va raisonner par l’absurde. On suppose que √

2 soit rationnel. On peut alors trouver deux entiers pet q premiers entre eux, avec qnon nul, tels que l’on ait

√2 = ^p_q .

En passant au carré cette égalité, on trouve 2q² =p², doncq divise p. Comme pet qsont premiers entre eux, cela donneq∈ {−1,1}, d’oùp²= 2q²= 2. Ceci est absurde, car 2n’est pas le carré d’un entier.

Ceci montre que√

2est un nombre irrationnel.