UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 5 - Arithmétique modulaire
Exercice 1. La comèteA passe tous les5ans et a été observée l’année dernière. La comète B passe tous les8 ans et a été observée il y a deux ans. Quelle est la prochaine fois où les deux comètes seront visibles la même année ?
Exercice 2. Déterminer tous les multiples de7congrus à1modulo2,3,4,5, et6. Donner à chaque fois le plus petit en valeur absolue.
Exercice 3. Montrer que l’entier 270+ 370 est divisible par13.
Exercice 4. Trouver le reste de la division euclidienne de1001000 par13.
Exercice 5. On noteGle groupe(Z/12Z)× des éléments inversibles de l’anneauZ/12Z. 1) Donner l’ordre deG.
2) Donner la liste des éléments deGet, pour chacun d’entre eux, leur ordre.
3) Le groupeGest-il cyclique ?
Exercice 6. Soient a∈N∗et n∈Ndeux entiers, aveca≥2. Montrer queϕ(an−1)est divisible parn.
Exercice 7. Soient netmdeux entiers strictement positifs, dont on noteN le ppcm.
1) Montrer que pour toutx∈Z/nZ ×Z/mZ, on aN x= 0.
2) En déduire que sinetmne sont pas premiers entre eux, les anneauxZ/nZ×Z/mZetZ/nmZne sont pas isomorphes.
Exercice 8. Montrer que pour toutn∈N∗, l’entier226n+2+ 3est divisible par19.
Exercice 9. On rappelle qu’un élément ad’un anneauAest ditnilpotent s’il existe un entier natureln >0 tel que l’on ait an= 0. L’anneauA est dit réduit s’il ne possède pas d’élément nilpotent non nul.
1) Montrer que l’anneauZ/nZest réduit si et seulement sinest sans facteur carré.
2) Donner la liste de tous les éléments nilpotents deZ/40Z.
Exercice 10. Afin de communiquer en utilisant le protocole RSA, Alice choisit la clé publique(e, n) = (37,65).
1) Déterminer la clé secrète d’Alice.
2) Bob transmet le cryptogramme3. Quel était le message initial ?
Exercice 11. Lors d’un protocole RSA, un messageM (considéré comme un entier positif) est chiffré en utilisant les trois clés publiques distinctes(3, a),(3, b), et(3, c), aveca, b, csont des entiers deux à deux premiers entre eux. On a en particulier l’inégalité M <min (a, b, c). On noteA,B, etC les cryptogrammes correspondants, qui vérifient les inégalités0< A < a, 0< B < b, et0< C < c.
1) Montrer qu’il est possible de déterminerM en ne connaissant queA,B, etC.
2) DéterminerM, sachant que(a, b, c) = (35,38,39)et (A, B, C) = (1,1,5).
