UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
Devoir no1
Exercice 1. On noteσ la permutation de l’ensembleJ1,8Kdonnée par
σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 4 8 7 6 2 1
! .
Décomposer σen produit de cycles à supports disjoints, calculer sa signature, et calculerσ2018.
Exercice 2. Donner les facteurs invariants et les diviseurs élémentaires du groupe G = Z/54Z×Z/360Z .
Exercice 3. Pour tout entier naturel nnon nul, on pose
Un = {z∈C, zn = 1} .
1) Montrer que chaqueUn est un sous-groupe cyclique multiplicatif deC∗ de cardinaln.
2) Montrer que sinet msont deux entiers naturels non nuls avecndivisantm, alorsUn est inclus dansUm. 3) Soitpun nombre premier. On pose
Gp = n
z∈C, ∃k∈N, zpk = 1o .
a) Montre que Gpest un sous-groupe multiplicatif de C∗.
b) Montrer que tout sous-groupeH deGp distinct deGp tout entier est égal à unUpk, pour un certain entier naturelk.Indication : on considérera, après en avoir montré l’existence, le plus grandk∈NvérifiantUpk⊆H.
c) Montrer que Gpn’est pas engendré par un nombre fini d’éléments.
Exercice 4. Soit G un groupe. On définit legroupe dérivé de G, noté D(G), comme étant le sous-groupe de G engendré par les éléments de la formexyx−1y−1, avecxety dansG.
1) Montrer queD(G)est un sous-groupe distingué deG, et que le quotientG/D(G)est un groupe abélien.
2) Montrer queD(G)est le plus petit sous-groupe distinguéH deGtel que le quotientG/H soit abélien.
3) On se donne dans cette question un entier naturelnau moins égal à 5.
a) Montrer que le groupe alterné An est engendré par les3-cycles.
b) Montrer que deux 3-cycles quelconques sont toujours conjugués dansAn.
c) Soit H un sous-groupe distingué de An tel que le quotient An/H soit abélien. Montrer que l’on a
H = An .
Indication : que dire des images de deux 3-cycles dans un tel quotientAn/H? d) Déduire de la question précédente que l’on aD(An) = An.
