UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 7 - Corps finis
Exercice 1. On considère le corpsF4=F2[X]/ X2+X+ 1
. Montrer que pour toutx∈F×4, on ax3= 1.
Exercice 2. SoitK un corps fini de cardinalq. Montrer que pour toutx∈K, on axq =x.
Exercice 3. SoitKun corps fini de cardinalq=pd, oùpest un nombre premier impair. On dit quea∈K× est un carré s’il existeb ∈K× tel que l’on aita=b2. Le but de cet exercice est de montrer quea∈K× est un carré si et seulement si l’on aaq−12 = 1.
1) Déterminer le noyau et l’image du morphisme de groupesf :K×−→K× défini parf(x) =x2. 2) En déduire queK× possède q−12 carrés.
3) Montrer que sia∈K× est un carré, alors on aaq−12 = 1.Indication : utiliser le théorème de Lagrange.
4) Montrer que si a ∈ K× vérifie aq−12 = 1, alors il s’agit d’un carré. Indication : on pourra considérer le polynômeXq−12 −1 deK[X].
5) Montrer que sia∈K× n’est pas un carré, on aaq−12 =−1.
Exercice 4. Soitpun nombre premier. Montrer que le polynômeX2+ 1est irréductible dansFp[X]si et seulement sipest congru à3modulo4.
Exercice 5. Le but de cet exercice est de montrer le théorème des deux carrés, qui dit qu’un nombre premier est somme de deux carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 3modulo4. Soitpun nombre premier.
1) Écrire explicitementpcomme somme de deux carrés pourp∈ {2,5,13,17,29}.
2) Montrer que le carré d’un entier est congru à0ou à 1modulo4. En déduire qu’un nombre premier qui est la somme de deux carrés n’est pas congru à3 modulo4.
On suppose quepsoit congru à1modulo4. On fixe un entierwtel que l’on aitw2≡ −1 modp. On notenla partie entière de√
p, de sorte que l’on aitn < √
p < n+ 1. On poseS = J0, nK. On pose
f : S×S −→ Fp
(x, y) 7→ x+wy .
3) Montrer quef n’est pas injective.
4) Soient(x, y)et(u, v)deux éléments distincts deS×Stels que l’on aitf(x, y) = f(u, v). On posea=x−u et b=v−y. Montrer que l’on aa≡bw modp. En déduire quepdivisea2+b2.
5) Montrer que l’on a les inégalités0 < a2+b2 < 2p. Conclure.
Exercice 6. On noteK l’anneau quotientF7[X]/ X2−X−1
etα∈K la classe deX.
1) Montrer queX2−X−1est irréductible dansF7[X]. En déduire queKest un corps, de cardinal à préciser.
2) Montrer que l’on aα483 = 2α+ 1 dansK.
Exercice 7. Déterminer la factorisation de X7−1 dansF2[X].
Exercice 8. Soitpun nombre premier différent de3.
1) Montrer que le polynômeX2+X+ 1est irréductible dansFp[X]si et seulement sipn’est pas congru à1 modulo3.Indication : utiliser les théorèmes de Cauchy et de Lagrange.
2) En déduire que3est un carré dansFp si et seulement sipvaut2 ou est congru à±1modulo12.
Exercice 9. On considère les polynômes f(X) =X9−X+ 1etg(X) =X3−X−1 deF3[X].
1) Montrer quef n’a pas de racine dansF9. 2) Montrer queg est irréductible surF3. 3) Montrer queg divisef.
4) Déterminer toutes les racines def dansF27. 5) Factoriserf dansF3[X].
Exercice 10. Montrer que l’anneau K = F3[X]/ X3+ 2X+ 1
est un corps et que la classe x de X dans K engendre son groupe multiplicatif. Déterminer un entier naturelntel que l’on aitx(x+ 1) =xn.
Exercice 11. Soitpun nombre premier.
1) Montrer que le polynômeXp−X−1 est irréductible dans Fp[X]. Indication : utiliser le fait que si xest une racine d’un polynôme dans une extension de Fp, alors il en est de même de xp.
2) On note K le corps Fp[X]/(Xp−X−1) et α∈K la classe de X. Déterminer le cardinal deK. Montrer queαn’est pas un générateur deK∗ sipest impair.Indication : on pourra calculerαpp−1p−1 .
Exercice 12. On considère le polynômef(X) =X4+X3+X2+X+ 1∈F3[X].
1) Montrer quef n’a pas de racine dansF9.
2) En déduire quef est irréductible sur F3, et que le quotientK = F3[X]/(f)est un corps.
3) Soitx∈K. On posey=x9−x. Montrer que l’on ay9=−y. En déduire l’équivalence des assertions : (i) x6∈F9, oùF9 est l’unique sous-corps deK de cardinal9;
(ii) y6= 0;
(iii) y est d’ordre16.
4) On noteα∈Kla classe deX. Montrer queβ= 1−α2est un générateur deK∗.Indication : on utilisera le fait que l’on aβ =α α−1−α
.
5) Alice utilise le cryptosystème El Gamal avec la clé publique (K, β, α−1). Bob transmet le cryptogramme donné par 1 +α,1 +α3
. Calculerβ3 et en déduire la clé privée d’Alice, puis le message envoyé par Bob.
Exercice 13. Soitpun nombre premier. Montrer que le polynômeXp+1−1∈Fp[X]est scindé surFp2. En déduire que ses facteurs irréductibles surFpsont de degré au plus 2. FactoriserX6−1surF5.
