UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

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UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018

Sous-corps d’un corps fini

L’objectif de ce document est de décrire précisément quels sont les sous-corps d’un corps finiFq, avecq = p^retpun nombre premier. SoitK un tel sous-corps, qui est donc en particulier fini de cardinaln. L’inclusion de groupes additifs

K ,−→ Fq

dit, par le théorème de Lagrange, quendivisep^r. On peut donc écrirensous la forme n = p^k ,

aveck compris entre1 etr. On a également une inclusion des groupes multiplicatifs K^× ,−→ F^×q ,

et l’on sait queK^× est de cardinaln−1 = p^k−1. Le théorème de Lagrange dit alors quep^k−1divisep^r−1. On va montrer quek divise alorsr. Pour cela, on considère le groupeG = Z/ p^k−1

Z^×

, dans lequelpest d’ordrek. En effet, simest un entier naturel compris entre1 etktel que l’on ait

p^m ≡ 1 modp^k−1 , alorsp^k−1 divisep^m−1. En particulier, ces deux entiers étant positifs, on a

p^k−1 ≤ p^m−1 . Commemest inférieur ou égal àk, on a aussi

p^m−1 ≤ p^k−1 ,

ce qui donne finalementp^k−1 = p^m−1, c’est-à-direk = m, ce qui montre bien quepest d’ordrekdansG. On a de plus p^r ≡ 1 modp^k−1

par ce qui précède, donc l’ordre depdansG, qui vautk, diviser. Le corpsKest donc de cardinalp^k aveckdivisantr. Par unicité, il est isomorphe àFp^k.

Réciproquement, on va montrer que pour tout diviseur positifkder, il existe un unique sous-corps deFq de cardinalp^k. On se donne donc un diviseur positifkder. On écrit r = nkavecnun entier naturel. On pose

K = n

x∈Fq, x^p^k = xo .

On peut alors vérifier queKest bien un sous-corps deFq. Il s’agit maintenant de montrer qu’il est de cardinalp^k. Pour cela, on commence par remarquer que le polynômeX^q−X est scindé à racines simples sur Fq. En effet, on sait qu’il possède au plusqracines dansFq, car il est de degréq etFq est un corps, et on sait que lesqéléments deFq en sont des racines.

On va donc montrer queX^p^k−X diviseX^q−X, ce qui montrera que le premier de ces deux polynômes est également scindé à racines simples surFq. On a

p^r−1 = p^nk−1 = p^kⁿ

−1 = p^k−1

p^k(n−1)+p^k(n−2)+· · ·+p^k+ 1 , ce qui donne alors

X^p^r−X = X X^p^r⁻¹−1

= X

X(^p^k⁻¹)(^p^k(n−1)^+p^k(n−2)^+···+p^k⁺¹)−1

= X

X^p^k⁻¹p^k(n−1)+p^k(n−2)+···+p^k+1

−1

= X

X^p^k⁻¹−1 X(^p^k−1)(^p^k(n−1)^+p^k(n−2)+···+p^k) +· · ·+X^p^k⁻¹+ 1

=

X^p^k−X X(^p^k⁻¹)(^p^k(n−1)^+p^k(n−2)^+···+p^k) +· · ·+X^p^k⁻¹+ 1 .

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Ceci montre queX^p^k−X diviseX^p^r−X dansFq[X]. Le polynômeX^p^k−X étant alors scindé à racines simples surFq, il admet exactementp^k racines distinctes dansFq, ce qui montre queKest de cardinalp^k.

Il reste enfin à montrer queKest l’unique sous-corps deFq de cardinalp^k. SoitK⁰ un sous-corps deFq de cardinalp^k. Soitxun élément de K⁰. Sixest nul, on ax^p^k = 0 = x, et sixest non nul, le théorème de Lagrange donnex^p^k⁻¹ = 1, ce qui donnex^p^k = x. Les éléments deK⁰ sont donc tous dansK. Par égalité des cardinaux, on a bien K = K⁰, ce qui donne l’unicité voulue.