UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 2
Exercice 1. SoitGun groupe.
1) SoientH etK deux sous-groupes deG. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que H∪K soit un sous-groupe de G.
2) On se donne, pour tout entier natureln, un sous-groupeHn deG. On suppose que l’on aHn ⊂Hn+1 pour tout n. Montrer que∪n∈NHn est un sous-groupe deG.
Exercice 2. Soit Gun groupe dont tous les éléments sont d’ordre au plus 2. Montrer que Gest abélien. Si Gest fini, on peut même montrer que son cardinal est une puissance de 2.
Exercice 3. SoitGun ensemble muni d’une opération associative, ayant un élément neutre, et tel que tout élément possède un inverse à droite. Montrer que Gest un groupe.
Exercice 4. Décrire le groupe D3 des isométries d’un triangle équilatéral. Montrer qu’il est engendré par deux éléments. De même, décrire le groupeD4des isométries d’un carré, et montrer qu’il est engendré par deux éléments.
Exercice 5. SoitGun groupe. On définit soncentre comme étant l’ensemble
Z(G) = {g∈G, ∀h∈G, hg=gh} . 1) Montrer queZ(G)est un sous-groupe deG.
2) On suppose queGadmette un unique élément d’ordre2. Montrer que cet élément est dansZ(G).
3) Déterminer le centre deGLn(R).
4) Quel est le centre deD4? celui deD3?
Exercice 6. SoitGun groupe. On noteo(a)∈N∪ {+∞} l’ordre d’un élémentadeG. On se donneaetb dansG.
1) Montrer que l’on ao a−1
= o(a).
2) Montrer que l’on ao(ab) = o(ba).
On suppose désormais aet btous deux d’ordre fini.
3) On suppose dans cette question queaet b commutent. Montrer que l’ordre deab diviseppcm (o(a), o(b)).
Montrer que ces deux quantités ne sont pas forcément égales.
4) On note hai et hbi les sous-groupes de G respectivement engendrés par a et b. On suppose o(a) et o(b) premiers entre eux. Montrer que l’on ahai ∩ hbi = {e}.
5) On suppose dans cette question queaet bcommutent, et que leurs ordres sont premiers entre eux. Montrer que l’on a o(ab) = o(a)o(b).
6) Donner un contre-exemple aux questions3 et5 siaetb ne commutent pas. Donner un contre-exemple à la question 5si les ordres deaetb ne sont pas premiers entre eux.
Exercice 7. SoitGun groupe dont l’ensemble des sous-groupes propres est fini. Montrer queGest fini.
Exercice 8. SoientGun groupe etH un sous-groupe deG. On définit surGla relation binaireRparaRbsia−1b est dans H.
1) Montrer queRest une relation d’équivalence. Quelle est la classeR(g)d’un élémentg deG? DécrireG/R.
2) L’ensembleG/Rest notéG/H, et la classeR(g)est notéegH. Montrer queG/Hn’est pas un groupe pour la loi définie par (gH) (g0H) = (gg0)H.
3) Montrer queG/H est un groupe pour la loi ci-dessus quandH est distingué dans G.
Exercice 9. SoitGun groupe fini de cardinal2n, où nest un entier naturel au moins égal à2. On suppose queG contient deux sous-groupes H et H0 de cardinal ntels que l’on aitH∩H0 = {e}, oùeest le neutre deG.
1) Montrer queG \ (H∪H0)est un singleton, noté{a}.
2) Soith∈H \ {e}. Montrer que l’on ahH0 = {h, a}, puis que l’on an = 2.
3) On écritG = {a, e, h, h0}. Donner la table deG, puis un exemple d’un tel groupe.
Exercice 10. 1) Rappeler le théorème de Lagrange.
2) Soientpun nombre premier etH un groupe d’ordrep. Quels sont les sous-groupes deH?
Exercice 11. SoientGun groupe de neutreeet xun élément deG. Montrer que l’on a les propriétés suivantes.
1) L’ordre dexest fini.
2) Les élémentse, x, x2, . . . , xo(x)−1 sont distincts, et sont exactement les éléments dehxi.
3) L’ordre dexest égal au cardinal dehxi.
4) L’ordre dexdivise celui deG.
5) On ax#G = e.
6) Sik∈Zvérifiexk = e, alorskest un multiple de l’ordre dex.
7) On aZ/o(x)Z ' hxien tant que groupes.
8) Pour toutk∈Z, l’ordre de xk vaut pgcd(o(x), k)o(x) .
Exercice 12. Soient Gun groupe, dont on notee le neutre, etg un élément deG vérifiantga = e pour un entier naturel non nulafixé. Montrer que l’ordrendegdivisea. En déduire que l’ensemble{a≥1, ga=e}est l’ensemble des multiples positifs den.
Exercice 13. 1) Donner des exemples d’entiers n et d, avec ddivisant n, et de groupes d’ordren n’ayant pas de sous-groupes d’ordre d.
2) SoitGun groupe. On suppose queGpossède deux sous-groupesH et K vérifiantpgcd (#H,#K) = 1.
a) Montrer que l’on aH∩K = {e}.
b) En déduire que l’on a# (HK) = #H×#K.
3) Soitpun nombre premier. Montrer que tout groupe d’ordrepest cyclique.
Exercice 14. SoientGun groupe fini etnun entier premier avec#G. Montrer que l’application
G −→ G g 7→ gn est une bijection de Gsur lui-même.
