UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 6
Exercice 1. Les groupes additifsZ/8Z,Z/2Z×Z/4Z, et(Z/2Z)3 sont-ils isomorphes ?
Exercice 2. On noteGle groupe additifZ/20Z×Z/18Z×Z/12Z×Z/9Z×Z/4Z.
1) Pour tout nombre premier p, déterminer la composantep-primaire de G, c’est-à-dire le sous-groupe de G formé des éléments dont l’ordre est une puissance dep.
2) En déduire les facteurs invariants deG.
Exercice 3. Déterminer, à isomorphisme près, les groupes abéliens d’ordre8et72. Donner leurs facteurs invariants.
Exercice 4. Combien existe-t-il, à isomorphisme près, de groupes abéliens d’ordre106?
Exercice 5. SoitK un corps (commutatif) fini de cardinaln.
1) On pose m = inf{p∈N∗, ∀x∈K∗, xp= 1}. Combien de racines distinctes sur K le polynôme Xm−1 possède-t-il ? En déduire que l’on am = n−1.
2) Montrer que le groupe abélienK∗ est cyclique.
Exercice 6. Soient metndeux entiers naturels non nuls. On pose G = {x∈Z/nZ, mx= 0} . 1) Montrer qu’il existe un isomorphisme de groupes
Hom(Z/mZ, Z/nZ) ' G .
2) On notedle pgcd de metn. Montrer que la classe modulo nd’un entier αest dans Gsi et seulement si nd diviseα. En déduire que l’on a un isomorphisme de groupes
Hom(Z/mZ,Z/nZ) ' Z/dZ . 3) Décrire le groupe des automorphismes deZ/nZet donner son cardinal.
Exercice 7. Soient p un nombre premier et G un groupe dont les facteurs invariants sont p3 et p2. Combien G possède-t-il de sous-groupes d’ordrep2?
