UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 7
Exercice 1. 1) Déterminer les orbites pour l’action naturelle de GLn(R), deSLn(R), et deOn(R)surRn.
2) Dans chacun des cas suivants, montrer qu’on obtient une action de groupe, déterminer les stabilisateurs, les orbites, et écrire l’équation aux classes.
a) L’action d’un groupe finiGsur lui-même par translation à gaucheg·x = gx.
b) L’action d’un groupe finiGsur lui-même par conjugaisong·x = gxg−1.
c) L’action deGsurG/H parg0·(gH) = g0gH, oùH est un sous-groupe d’indice fini d’un groupeG.
d) L’action de Gpar conjugaison sur l’ensemble des conjugués deH.
Exercice 2. 1) Montrer que le groupe des isométries d’un triangle équilatéral est isomorphe àS3. 2) Soitn∈N∗. Décrire le groupe diédralDn des isométries d’un polygone régulier àncôtés.
3) Décrire le groupe des isométries d’un cube.
Exercice 3. SoientGun groupe etX un ensemble. On suppose donnée une action deGsurX. Montrer qu’il existe alors un morphisme de groupesG−→S(X). Réciproquement, montrer que tout morphisme de groupesG−→S(X) induit une action deGsurX.
Exercice 4. SoitGun groupe fini agissant sur un ensemble finiX. Pour tout élémentgdeG, on noteχ(g)le nombre de points fixes de g.
1) Montrer que le nombre d’orbites est donné par
1
#G
P
g∈G
χ(g) .
Indication : on pourra dénombrer l’ensemble S = {(g, x)∈G×X, g·x=x}de deux manières différentes.
2) Application : combien de colliers distincts de huit perles bleues, rouges, ou vertes peut-on réaliser ?Indication : on pourra compter les orbites des coloriages d’un octogone sous l’action du groupe diédral associé.
Exercice 5. SoitGun groupe d’ordrenagissant transitivement sur un ensembleX de cardinal l.
1) Montrer que tous les stabilisateurs d’éléments sont conjugués.
2) Montrer quel divisen.
3) Montrer que l’union
S = S
x∈X
Stab(x)
est de cardinal au plusn−l+ 1.
4) On suppose que l’on aitl≥2. Montrer qu’il existe au moinsl−1éléments deGsans point fixe.
5) Application : montrer qu’un groupe fini n’est jamais la réunion des conjugués d’un sous-groupe propre.
Montrer que ceci est toutefois possible pour un groupe infini.
Exercice 6. Montrer que tout groupeGs’injecte dans le groupe des bijections de son ensemble sous-jacent.Indication : on pourra faire agirGsur lui-même par translation à gauche.
Exercice 7. On rappelle que les automorphismes d’un groupe Gforment un groupe, noté Aut(G).
1) En faisant agirGsur lui-même par conjugaison, montrer qu’il existe un morphisme deGvers Aut(G). En déduire queG/Z(G)s’injecte dans Aut(G).
2) Généralisation : siAest une partie non-vide deG, montrer queNG(A)/CG(A)s’injecte dans Aut(hAi).
Exercice 8. Soientketndeux entiers naturels, aveck < n. On noteCnk le nombre de parties deJ1, nKàkéléments.
1) En faisant agirSn sur l’ensemble des parties deJ1, nKàk éléments, montrer que l’on a
Cnk = k!(n−k)!n! . 2) On supposeket npremiers entre eux.
a) Montrer que l’on fait agir Z/nZsur l’ensemble des parties àkéléments deJ0, n−1Ken posant
m· {a1, . . . , ak} = {a1+m, . . . , ak+m} . b) Montrer que chaque stabilisateur pour l’action ci-dessus est trivial.
c) En déduire quendiviseCnk.
Exercice 9. SoientGun groupe fini etpun facteur premier de l’ordre deG. On va montrer queGpossède au moins un élément d’ordre p.
1) Montrer que l’on fait agirZ/pZsur{(x0, . . . , xp−1)∈Gp, x0. . . xp−1= 1}en posant
m·(x0, . . . , xp−1) = (xm, . . . , xp−1+m) , les indices étant pris modulop.
2) Conclure en écrivant l’équation aux classes.
Exercice 10. Soitpun nombre premier. On appellep-groupe tout groupe dont l’ordre est une puissance dep.
1) SoitGunp-groupe agissant sur un ensemble finiX. On pose
XG = {x∈X, ∀g∈G, g·x=x} . Montrer que l’on a#X ≡#XG modp.
2) En déduire que le centre d’unp-groupe n’est jamais trivial.
Exercice 11. 1) Soientnun entier naturel non nul etGun groupe ayant un sous-groupe d’indicen. Montrer queG a un sous-groupe distingué d’indice divisantn!.Indication : on pourra considérer un morphisme deGdansSn.
2) On supposeGfini, et on noteple plus petit diviseur premier de l’ordre deG. Montrer qu’un sous-groupeH deGd’indicepest nécessairement distingué (dansG).
