1. Montrer que pour tout sous-groupe H de G on a :

PanaMaths [1 - 2] Janvier 2013

Soit ( ) ^{G, +} un groupe et :G ϕ → G ' un morphisme de groupes.

1. Montrer que pour tout sous-groupe H de G on a :

( )

1

H H ker

ϕ ϕ

^{− ⎛}_⎜ ^⎞_⎟

ϕ

⎝ ⎠

= +

2. Montrer que pour tout sous-groupe H ' de G ' on a :

( )

1

H ' H ' Im ϕ ϕ

^⎛_⎜ ^{− ⎞}_⎟

ϕ

⎝ ⎠

= ∩

Analyse

Un exercice simple fournissant deux résultats généraux classiques. On peut « tranquillement » procéder par double inclusion.

Résolution

Question 1.

Soit x un élément de H+kerϕ.

On peut donc l’écrire : x=x_H+x₀ avec x_H∈H et ϕ

( )

x0 =e' élément neutre de G ' . Il vient alors, ϕ étant un morphisme de groupes :

( )

x

(

xH x0

) ( ) ( )

xH x0

( )

xH e'

( )

xH

ϕ =ϕ + =ϕ +ϕ =ϕ + =ϕ

Comme x_H∈H, on a ϕ

( )

xH ∈ϕ

( )

H et donc ^ϕ

( )

^{x ∈ϕ}

( )

^{H .}

Comme ^ϕ

( )

^{x ∈ϕ}

( )

^H , on en tire immédiatement : ^{x∈ϕ ϕ−1}

( ( )

^H

)

^.

Ainsi : ^{H+kerϕ ϕ ϕ⊂ −1}

( ( )

^H

)

^.

Soit maintenant x un élément de ^{ϕ ϕ−1}

( ( )

^H

)

^.

Par définition de l’image réciproque d’une partie, on a : ^ϕ

( )

^{x ∈ϕ}

( )

^{H .}

Donc il existe x_H∈H tel que ϕ

( )

x =ϕ

( )

xH , ce qui équivaut à ϕ

(

x−xH

)

=e', soit

H ker

x−x ∈ ϕ.

On a donc : H

(

H

)

H ker

H ker

x x x x

ϕ

ϕ

∈ ∈

= + − ∈ + D’où : ^{ϕ ϕ−1}

( ( )

^H

)

^{⊂ +H kerϕ .}

PanaMaths [2 - 2] Janvier 2013 La double inclusion nous donne l’égalité cherchée.

( ( ) )

1 H H ker

ϕ ϕ⁻ = + ϕ

Question 2.

Soit y un élément de ^{ϕ ϕ}

(

⁻¹

( )

^{H '}

)

^.

Il existe donc x dans ϕ⁻¹

( )

^{H '} tel que ^y=ϕ

( )

^x . Ainsi, y appartient à Imϕ mais, par définition de l’image réciproque d’une partie, y appartient également à H ' .

Finalement, y∈Imϕ∩H ' et on a donc : ^{ϕ ϕ}

(

⁻¹

( )

^{H '}

)

^{⊂Imϕ∩H '.}

Soit maintenant y un élément de Imϕ∩H '.

Comme Imy∈ ϕ, il existe un élément x de G tel que : ^y=ϕ

( )

^{x .}

Mais comme ^y=ϕ

( )

^{x ∈H '}, on en déduit immédiatement que ^x∈ϕ−1

( )

^{H '} et donc que

( )

^{x y}

(

¹

( )

^{H '}

)

ϕ = ∈ϕ ϕ⁻ . Ainsi, ^{Imϕ∩H '⊂ϕ ϕ}

(

⁻¹

( )

^{H '}

)

^.

La double inclusion nous donne l’égalité cherchée.

(

¹

( )

^{H '}

)

^{Im H '}

ϕ ϕ⁻ = ϕ∩