Groupes et Espaces Vectoriels Jérôme Feret DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 17 février 2016

Groupes et Espaces Vectoriels

Jérôme Feret

DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 17 février 2016

1 Groupes

Définition 1.1. Un groupe est une paire (G,×) telle que G soit un ensemble, et × soit une loi interne associative surGqui admet un élément neutre, et telle que tout élément dexsoit inversible.

Propriété 1.1. Un groupe est non vide.

Preuve En effet, il possède un élément neutre.

2

Définition 1.2. Un groupe(G,+)est dit abélien, si la loi +est commutative.

Notation 1.1. Lorsque (G,+) est un groupe abélien, l’élément neutre est souvent noté0_G et l’inverse d’un élémentxest noté −x.

Exemple 1.1. Un ensemble à un élément,x, est un groupe abélien pour la loi+définie parx+x=^∆x.

Preuve

1. +est associative.

2. +est commutative.

3. xest un élément neutre car pour touty ∈ {x}, on a : y =x, puis y+x=x(par définition de+), d’oùy+x=x.

4. xest inversible et son inverse est x, carx+x=x(etxest l’élément neutre).

2

Exemple 1.2. Aucune des paires(N,+),(N,·),(Z,·),(Q,·), ou(R,·)n’est un groupe.

Exemple 1.3. Les paires(Z,+),(Q,+),(R,+) sont des groupes abéliens.

Exemple 1.4. Soitn ∈N^∗ un entier strictement positif. Soit (Z/nZ,+) l’ensemble des entiers entre 0 et n−1 muni de l’addition modulo n, est un groupe. L’élément neutre est 0. De plus, pour tout entier i∈N tel que0≤i < n, l’inverse dei estn−i.

Exemple 1.5. SiAest un ensemble avec un ou deux éléments. La paire(Bij(A),◦), où Bij(A)est l’ensemble des bijections deAdans A, est un groupe abélien.

Exemple 1.6. Si A est un ensemble avec au moins trois éléments. La paire (Bij(A),◦), où Bij(A) est l’ensemble des bijections de AdansA est un groupe non abélien.

Preuve (On prouve à la fois les énoncés de l’exemple 1.5 et de l’exemple 1.6) SoitAun ensemble non vide.

1. La composée de deux bijections est une bijection. Donc◦est bien une loi interne surBij(A).

2. La loi◦est associative, car pour toute f, g, h∈Big(A),[f◦g]◦het f◦[g◦h]sont deux fonctions de A dansA, et, de plus, pour toutx∈A.

[[f◦g]◦h](x) =f(g(h(x))) [[f◦g]◦h](x) = [f◦[g◦h]](x).

Ainsi[f◦g]◦h=f◦[g◦h].

3. La fonction identitéId_A est un élément neutre.

4. Soitf une bijection de AdansA.

La fonction g de A dans A qui ày ∈A associe l’unique antécédent de y parx est une bijection et g◦f =Id_A etf◦g=Id_A, doncf est inversible et son inverse est g.

5. Supposons queAsoit un singleton.

Alors l’ensembleBij(A)ne contient que la fonction identité. C’est donc un groupe abélien (Exemple 1.1).

6. Supposons queAsoit un ensemble à deux éléments distincts.

On les noteaet b.

Il y a deux bijections, la fonction identitéId_A et la fonctionσdéfinie parσ(a)=^∆bet σ(b)=^∆a.

Soientf etg deux bijections surA.

(a) sif =g, on a :f◦g=g◦f.

(b) sinon, on peut supposer quef =Id_Aet g=σ, puis

f◦g=IdA◦σ f◦g=σ f◦g=σ◦IdA

f◦g=g◦f

7. Supposons queAsoit un ensemble avec au moins trois éléments.

Notonsa,b,ctrois éléments distincts deA.

Nous notons :

f :









 A→A a 7→b b 7→a

x 7→x six6∈ {a, b}

g :









 A→A a 7→c c 7→a

x 7→x six6∈ {a, b}

f etg sont bien des bijections deAdansA.

De plus,

[f ◦g](a) =f(g(a)) [f ◦g](a) =f(c) [f ◦g](a) =c.

Et :

[g◦f](a) =g(f(a)) [g◦f](a) =g(b) [g◦f](a) =b.

Or,c6=b.

D’où,f ◦g6=g◦f.

Puis◦ n’est pas commutative surBij(A).

2

Proposition 1.1. Si(G,×)est un groupe d’élément neutreε_G et tel que pour toutx∈G,x×x=ε_G, alors (G,×)est abélien.

Preuve Si(G,×)est un groupe d’élément neutreε_G et tel que pour toutx∈G,x×x=ε_G. 1. Soitx∈G.

On ax×x=εG et x×x=εG. Doncx⁻¹=x.

2. Soientxety deux éléments deG.

— Par le point précédent,(x×y)⁻¹=x×y.

— De plus, (x×y)⁻¹=y⁻¹×x⁻¹.

Or par le point précédent,x⁻¹=xety⁻¹=y.

Ainsi,(x×y)⁻¹=y×x.

D’où,x×y=y×x.

2

2 Espaces vectoriels

Dans la suite,Kest soit l’ensembleQ, soit l’ensembleR, soit l’ensembleC.

2.1 Dénition

Définition 2.1. UnK-espace vectoriel est un triplet(E,+,•)tel que : 1. (E,+) soit un groupe abélien, dont on note l’élément neutre0_E; 2. • soit une loi externe deK×E dansE;

3. pour tout λ, µ∈K,u, v∈E on ait : (a) (λ+µ)•u= (λ•u) + (µ•u); (b) λ•(u+v) = (λ•u) + (λ•v); (c) λ•(µ•u) = (λ·µ)•u; (d) 1•u=u.

Exemple 2.1. (K,+,·)est unK-espace vectoriel.

Preuve

1. (K,+)est un groupe abélien ; 2. ·est une loi deK×KdansK; 3. pour toutλ, µ, u, u∈K, on a :

(a) (λ+µ)·u= (λ·u) + (µ·u); (b) λ·(u+v) = (λ·u) + (λ·v);

(c) λ·(µ·u) = (λ·µ)·u; (d) 1·u=u.

2

Exemple 2.2. Soitnun entier et(E,+,•)unK-espace vectoriel. Le triplet(Eⁿ,+,^. •)^. où+^. applique la loi +composante par composante et•^. applique la loi• composante par composante, est un K-espace vectoriel.

Preuve

1. Montrons que(Eⁿ,+)^. est un groupe abélien :

Soient (u_i)_1≤i≤n,(v_i)_1≤i≤n, et (w_i)_1≤i≤n trois familles à valeur dansE indexées par l’ensemble des entiers qui sont compris entre1etn.

(a) Montrons que+^. est bien une loi interne.

Pour 1≤i≤n, on a :u_i+v_i ∈E (car+est une loi interne surE), ainsi(u_i)_1≤i≤n + (v^. _i)_1≤i≤n est une famille à valeur dansE indexée par l’ensemble des entiers qui sont compris entre1et n.

Puis+^. est bien une loi interne.

(b) Montrons que+^. est associative.

Pour 1≤i≤n, on a :

(((u_i)_1≤i≤n+ (v^. _i)_1≤i≤n)+ (w^. _i)_1≤i≤n)_i= ((u_i)_1≤i≤n + (v^. _i)_1≤i≤n)_i+w_i (par définition de+)^. (((u_i)_1≤i≤n+ (v^. _i)_1≤i≤n)+ (w^. _i)_1≤i≤n)_i= (u_i+v_i) +w_i (par définition de+)^.

(((ui)_1≤i≤n+ (v^. i)_1≤i≤n)+ (w^. i)_1≤i≤n)_i=ui+ (vi+wi) (car+est associative dansE) (((ui)_1≤i≤n+ (v^. i)_1≤i≤n)+ (w^. i)_1≤i≤n)_i=ui+ ((vi)_1≤i≤n+ (w^. i)_1≤i≤n)_i (par définition de+)^.

(((ui)1≤i≤n .

+ (vi)1≤i≤n)+ (w^. i)1≤i≤n)_i= ((ui)1≤i≤n .

+ ((vi)1≤i≤n .

+ (wi)1≤i≤n))_i (par définition de+)^. Puis, ((ui)1≤i≤n

.

+ (vi)1≤i≤n) + (w^. i)1≤i≤n = (ui)1≤i≤n .

+ ((vi)1≤i≤n .

+ (wi)1≤i≤n) et +^. est associative.

(c) Montrons que+^. est commutative.

Pour 1≤i≤n, on a :

((ui)_1≤i≤n + (v^. i)_1≤i≤n)_i=ui+vi (par définition de+)^. ((ui)1≤i≤n

.

+ (vi)1≤i≤n)_i=vi+ui (car+est commutative dansE) ((u_i)_1≤i≤n + (v^. _i)_1≤i≤n)_i= ((v_i)_1≤i≤n + (u^. _i)_1≤i≤n)_i (par définition de+)^.

Puis,(u_i)_1≤i≤n+ (v^. _i)_1≤i≤n= (v_i)_1≤i≤n + (u^. _i)_1≤i≤n et+^. est commutative.

(d) Montrons que(0_E)_1≤i≤n est un élément neutre :

— On a :0E∈E, puis,(0E)1≤i≤n∈Eⁿ.

— Pour1≤i≤n, on a :

((ui)_1≤i≤n + (0^. E)_1≤i≤n)_i=ui+ 0E (par définition de+)^.

((ui)_1≤i≤n + (0^. E)_1≤i≤n)_i=ui (car0E est neutre pour+^. dansE) Puis,(ui)_1≤i≤n + (0^. E)_1≤i≤n = (ui)_1≤i≤n.

Donc(0_E)_1≤i≤n est un élément neutre pour la loi +.^. (e) Montrons que(−u_i)_1≤i≤n est l’inverse de(u_i)_1≤i≤n :

— Pour1≤i≤n, on a : −ui∈E (car(E,+) est un groupe etu∈E), puis(−ui)1≤i≤n ∈Eⁿ.

— Pour1≤i≤n, on a :

((ui)_1≤i≤n+ (−u^. i)_1≤i≤n)_i =ui+ (−ui) (par définition de+)^. ((ui)_1≤i≤n+ (−u^. i)_1≤i≤n)_i = (0E)_1≤i≤ni (car−ui est l’inverse deui) Puis,(ui)_1≤i≤n + (−u^. i)_1≤i≤n= (0E)_1≤i≤n.

Donc(−ui)1≤i≤n est l’inverse de(ui)1≤i≤n pour la loi+.^. Donc(Eⁿ,+)^. est un groupe abélien.

2. Montrons que•^. est bien une loi externe.

Pour 1≤i≤n, on a : λ•u_i ∈E (car • est une loi deK×E dans E), ainsi λ•^. (u_i)_1≤i≤n est une famille à valeur dansE indexée par l’ensemble des entiers qui sont compris entre1et n.

Puis•^. est bien une loi externe.

3. (a) Montrons que(λ+µ)•^. (u_i)_1≤i≤n= (λ•^.(u_i)_1≤i≤n)+ (µ^. •^. (u_i)_1≤i≤n): Pour 1≤i≤n, on a :

((λ+µ)•^. (ui)1≤i≤n)_i= (λ+µ)•ui (par définition de•)^. ((λ+µ)•^. (ui)1≤i≤n)_i= (λ•ui) + (µ•ui)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a)

((λ+µ)•^. (u_i)_1≤i≤n)_i= (λ•^. (u_i)_1≤i≤n)_i+ (µ•^. (u_i)_1≤i≤n)_i (par définition de•)^. ((λ+µ)•^. (ui)_1≤i≤n)_i= ((λ•^. (ui)_1≤i≤n)+ (µ^. •^.(vi)_1≤i≤n))_i (par définition de+)^. Donc(λ+µ)•^.(ui)1≤i≤n = (λ•^. (ui)1≤i≤n)+ (µ^. •^.(ui)1≤i≤n).

(b) Montrons queλ•^. ((ui)_1≤i≤n+ (v^. i)_1≤i≤n) = (λ•^. (ui)_1≤i≤n)+ (λ^. •^. (vi)_1≤i≤n): Pour 1≤i≤n, on a :

(λ•^.((ui)_1≤i≤n + (v^. i)_1≤i≤n))_i=λ•((ui)_1≤i≤n + (v^. i)_1≤i≤n)_i (par définition de•)^. (λ•^.((ui)1≤i≤n

.

+ (vi)1≤i≤n))_i=λ•(ui+vi) (par définition de+)^. (λ•^.((ui)1≤i≤n

.

+ (vi)1≤i≤n))_i= (λ•ui) + (λ•vi)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b)

(λ•^.((u_i)_1≤i≤n + (v^. _i)_1≤i≤n))_i= (λ•^. (u_i)_1≤i≤n)_i+ (λ•^. (v_i)_1≤i≤n)_i (par définition de•)^. (λ•^.((ui)_1≤i≤n + (v^. i)_1≤i≤n))_i= ((λ•^. (ui)_1≤i≤n)+ (λ^. •^. (vi)_1≤i≤n))_i (par définition de+)^.

Doncλ•^. ((ui)1≤i≤n .

+ (vi)1≤i≤n) = (λ•^.(ui)1≤i≤n)+ (λ^. •^.(vi)1≤i≤n).

(c) Montrons queλ•^. (µ•^.(ui)1≤i≤n) = (λ·µ)•^.(ui)1≤i≤n : Pour 1≤i≤n, on a :

(λ•^. (µ•^. ((ui)_1≤i≤n)))_i=λ•(µ•^.((ui)_1≤i≤n))_i (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^. ((ui)1≤i≤n)))_i=λ•(µ•ui) (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^. ((ui)_1≤i≤n)))_i= (λ·µ)•ui

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c)

(λ•^. (µ•^. ((u_i)_1≤i≤n)))_i= ((λ·µ)•^. (u_i)_1≤i≤n)_i (par définition de•)^. Doncλ•^. (µ•^. (ui)_1≤i≤n) = (λ·µ)•^. (ui)_1≤i≤n.

(d) Montrons que1•^. (ui)_1≤i≤n= (ui)_1≤i≤n : Pour 1≤i≤n, on a :

(1•^.(ui)_1≤i≤n)_i= 1•ui (par définition de•)^. (1•^.(u_i)_1≤i≤n)_i= ((u_i)_1≤i≤n)_i

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

Puis,1•^. (u_i)_1≤i≤n= (u_i)_1≤i≤n. Ainsi(Eⁿ,+,^. •)^. est unK-espace vectoriel.

2

Exemple 2.3. SoitAun ensemble et(E,+,•)un K-espace vectoriel. Alors (F(A, E),+,^. •)^. oùF(A, E)est l’ensemble des fonctions deA dansE,+^. applique la loi+point à point, et •^. applique la loi • point à point est unK-espace vectoriel.

Preuve

1. Montrons que(E^A,+)^. est un groupe abélien : Soientf,g, ethtrois fonctions deAdansE.

(a) Montrons que+^. est bien une loi interne.

Pour a∈A, on a :f(a) +g(a)∈E (car+est une loi interne surE), ainsif +^. g est une fonction deAdansE.

Puis+^. est bien une loi interne.

(b) Montrons que+^. est associative.

Pour a∈A, on a :

((f +^. g)+^. h)(a) = (f +^. g)(a) +h(a) (par définition de+)^. ((f +^. g)+^. h)(a) = (f(a) +g(a)) +h(a) (par définition de+)^.

((f +^. g)+^. h)(a) =f(a) + (g(a) +h(a)) (car+est associative dansE) ((f +^. g)+^. h)(a) =f(a) + (g+^. h)(a) (par définition de+)^.

((f +^. g)+^. h)(a) = (f + (g^. +^. h))(a) (par définition de+)^. Puis,(f +^. g)+^. h=f + (g^. +^. h)et +^. est associative.

(c) Montrons que+^. est commutative.

Pour a∈A, on a :

(f +^. g)(a) =f(a) +g(a) (par définition de+)^.

(f +^. g)(a) =g(a) +f(a) (car+est commutative dansE) (f +^. g)(a) = (g+^. f)(a) (par définition de+)^.

Puis,f +^. g=g+^. f et+^. est commutative.

(d) Montrons que[a∈A7→0E∈E]est un élément neutre :

— On a :0E∈E, puis,[a∈A7→0E∈E]∈E^A.

— Poura∈A, on a :

(f + [a^. ∈A7→0_E∈E])(a) =f(a) + [a∈A7→0_E∈E](a) (par définition de+)^. (f + [a^. ∈A7→0E∈E])(a) =f(a) + 0E

(f + [a^. ∈A7→0E∈E])(a) =f(a) (car0E est neutre pour+^. dansE) Puis,f + [a^. ∈A7→0E ∈E] =f.

Donc[a∈A7→0E ∈E]est un élément neutre pour la loi+.^. (e) Montrons que(−^. f)est l’inverse def :

— Poura∈A, on a : on a(−^. f)(a) =−f(a)et−f(a)∈E(car(E,+)est un groupe etf(a)∈E), puis−^. f ∈E^A.

— Poura∈A, on a :

(f + (^. −^. f))(a) =f(a) + ((−^. f)(a)) (par définition de+)^. (f + (^. −^. f))(a) =f(a) + (−f(a)) (par définition de−)^.

(f + (^. −^. f))(a) = 0E (car−f(a)est l’inverse def(a)) (f + (^. −^. f))(a) = [a∈A7→0E∈E](a)

Puis,f + (^. −^. f) = [a∈A7→0E∈E].

Donc(−^. f)est l’inverse def pour la loi+.^. Donc(E^A,+)^. est un groupe abélien.

2. Montrons que•^. est bien une loi externe.

Poura∈A, on a :λ•f(a) =∈E(car•est une loi deK×E dansE), ainsiλ•^. f est une fonction de AdansE.

Puis•^. est bien une loi externe.

3. (a) Montrons que(λ+µ)•^. f = (λ•^. f)+ (µ^. •^.f): Pour a∈A, on a :

((λ+µ)•^.f)(a) = (λ+µ)•f(a) (par définition de•)^. ((λ+µ)•^.f)(a) = (λ•f(a)) + (µ•f(a))

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a)

((λ+µ)•^.f)(a) = (λ•^. f)(a) + (µ•^. f)(a) (par définition de•)^. ((λ+µ)•^.f)(a) = ((λ•^. f)+ (µ^. •^. g))(a) (par définition de+)^. Donc(λ+µ)•^.f = (λ•^. f)+ (µ^. •^. f).

(b) Montrons queλ•^. (f +^. g) = (λ•^.f)+ (λ^. •^.g): Pour a∈A, on a :

(λ•^. (f +^. g))(a) =λ•(f +^. g)(a) (par définition de•)^. (λ•^. (f +^. g))(a) =λ•(f(a) +g(a)) (par définition de+)^. (λ•^. (f +^. g))(a) = (λ•f(a)) + (λ•g(a))

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b)

(λ•^. (f +^. g))(a) = (λ•^.f)(a) + (λ•^.g)(a) (par définition de•)^. (λ•^. (f +^. g))(a) = ((λ•^.f)+ (λ^. •^.g))(a) (par définition de+)^. Doncλ•^. (f +^. g) = (λ•^. f)+ (λ^. •^. g).

(c) Montrons queλ•^. (µ•^.f) = (λ·µ)•^. f : Pour a∈A, on a :

(λ•^. (µ•^.(f)))(a) =λ•(µ•^.(f))(a) (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^.(f)))(a) =λ•(µ•f(a)) (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^.(f)))(a) = (λ·µ)•f(a)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c)

(λ•^. (µ•^.(f)))(a) = ((λ·µ)•^. f)(a) (par définition de•)^. Doncλ•^. (µ•^. f) = (λ·µ)•^. f.

(d) Montrons que1•^. f =f : Pour a∈A, on a :

(1•^. f)(a) = 1•f(a) (par définition de•)^. (1•^. f)(a) = (f)(a)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

Puis,1•^. f =f.

Ainsi(E^A,+,^. •)^. est unK-espace vectoriel.

2

Exemple 2.4. L’ensemble des fonctions deRdansRmuni de l’addition point à point et de la multiplication point à point est un R-espace vectoriel.

Preuve D’après l’exemple 2.1,(R,+,·)est unR-espace vectoriel. Puis, par l’exemple 2.3,(R^R,+,^{. .}·)est unR-espace vectoriel.

2

Exemple 2.5. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. Alors(E^N,+,^. •)^. où+^. applique la loi+composante par composante, et •^. applique la loi • composante par composante est un K-espace vectoriel.

Preuve

1. Montrons que(E^N,+)^. est un groupe abélien :

Soient(un)_n∈N,(vn)_n∈N, et(wn)_n∈N trois suites d’entiers naturels.

(a) Montrons que+^. est bien une loi interne.

Pourn∈N, on a :un+vn∈E (car+est une loi interne surE), ainsi(un)_n∈N+ (v^. n)_n∈Nest une suite d’entiers naturels.

Puis+^. est bien une loi interne.

(b) Montrons que+^. est associative.

Pour n∈N, on a :

(((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N)+ (w^. _n)_n∈N)_n= ((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N)_n+w_n (par définition de+)^. (((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N)+ (w^. _n)_n∈N)_n= (u_n+v_n) +w_n (par définition de+)^.

(((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)+ (w^. n)_n∈N)_n=un+ (vn+wn) (car+est associative dansE) (((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)+ (w^. n)_n∈N)_n=un+ ((vn)_n∈N+ (w^. n)_n∈N)_n (par définition de+)^.

(((un)n∈N .

+ (vn)n∈N)+ (w^. n)n∈N)_n= ((un)n∈N .

+ ((vn)n∈N .

+ (wn)n∈N))_n (par définition de+)^. Puis,((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)+ (w^. n)_n∈N= (un)_n∈N+ ((v^. n)_n∈N+ (w^. n)_n∈N)et+^. est associative.

(c) Montrons que+^. est commutative.

Pour n∈N, on a :

((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N)_n=u_n+v_n (par définition de+)^.

((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)_n=vn+un (car+est commutative dansE) ((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)_n= ((vn)_n∈N+ (u^. n)_n∈N)_n (par définition de+)^.

Puis,(un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N= (vn)_n∈N+ (u^. n)_n∈Net +^. est commutative.

(d) Montrons que(0_E)_n∈Nest un élément neutre :

— On a :0E∈E, puis,(0E)n∈N∈E^N.

— Pourn∈N, on a :

((u_n)_n∈N+ (0^. _E)_n∈N)_n =u_n+ 0_E (par définition de+)^.

((un)_n∈N+ (0^. E)_n∈N)_n =un (car0E est neutre pour+^. dansE) Puis,(u_n)_n∈N+ (0^. _E)_n∈N= (u_n)_n∈N.

Donc(0_E)_n∈Nest un élément neutre pour la loi+.^. (e) Montrons que(−un)_n∈Nest l’inverse de(u_n)_n∈N:

— Pourn∈N, on a :−un∈E (car(E,+)est un groupe etu∈E), puis(−un)_n∈N∈E^N.

— Pourn∈N, on a : ((un)n∈N

+ (−u. n)n∈N)_n=un+ (−un) (par définition de+)^.

((u_n)_n∈N+ (−u^. n)_n∈N)_n= (0_E)_n∈Nn (car−un est l’inverse deu_n) Puis,(un)n∈N

+ (−u. n)n∈N= (0E)n∈N.

Donc(−un)n∈N est l’inverse de(un)n∈Npour la loi+.^. Donc(E^N,+)^. est un groupe abélien.

2. Montrons que•^. est bien une loi externe.

Pour n∈N, on a :λ•un ∈E (car • est une loi deK×E dans E), ainsiλ•^. (un)_n∈N est une suite d’entiers naturels.

Puis•^. est bien une loi externe.

3. (a) Montrons que(λ+µ)•^. (un)n∈N= (λ•^. (un)n∈N)+ (µ^. •^.(un)n∈N): Pour n∈N, on a :

((λ+µ)•^. (u_n)_n∈N)_n= (λ+µ)•u_n (par définition de•)^. ((λ+µ)•^. (u_n)_n∈N)_n= (λ•u_n) + (µ•u_n)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a)

((λ+µ)•^. (un)_n∈N)_n= (λ•^. (un)_n∈N)_n+ (µ•^. (un)_n∈N)_n (par définition de•)^. ((λ+µ)•^. (un)_n∈N)_n= ((λ•^. (un)_n∈N)+ (µ^. •^.(vn)_n∈N))_n (par définition de+)^. Donc(λ+µ)•^.(un)_n∈N= (λ•^. (un)_n∈N)+ (µ^. •^. (un)_n∈N).

(b) Montrons queλ•^. ((un)n∈N .

+ (vn)n∈N) = (λ•^.(un)n∈N)+ (λ^. •^. (vn)n∈N): Pour n∈N, on a :

(λ•^.((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N))_n=λ•((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N)_n (par définition de•)^. (λ•^.((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N))_n=λ•(un+vn) (par définition de+)^. (λ•^.((un)_n∈N+ (v^. n)_n∈N))_n= (λ•un) + (λ•vn)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b)

(λ•^.((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N))_n= (λ•^. (u_n)_n∈N)_n+ (λ•^. (v_n)_n∈N)_n (par définition de•)^. (λ•^.((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N))_n= ((λ•^. (u_n)_n∈N)+ (λ^. •^. (v_n)_n∈N))_n (par définition de+)^.

Doncλ•^. ((u_n)_n∈N+ (v^. _n)_n∈N) = (λ•^. (u_n)_n∈N)+ (λ^. •^.(v_n)_n∈N).

(c) Montrons queλ•^. (µ•^.(u_n)_n∈N) = (λ·µ)•^.(u_n)_n∈N: Pour n∈N, on a :

(λ•^. (µ•^. ((un)_n∈N)))_n=λ•(µ•^.((un)_n∈N))_n (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^. ((un)_n∈N)))_n=λ•(µ•un) (par définition de•)^. (λ•^. (µ•^. ((un)_n∈N)))_n= (λ·µ)•un

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c)

(λ•^. (µ•^. ((un)n∈N)))_n= ((λ·µ)•^. (un)n∈N)_n (par définition de•)^. Doncλ•^. (µ•^. (un)n∈N) = (λ·µ)•^. (un)n∈N.

(d) Montrons que1•^. (un)n∈N= (un)n∈N : Pour n∈N, on a :

(1•^.(u_n)_n∈N)_n= 1•u_n (par définition de•)^. (1•^.(u_n)_n∈N)_n= ((u_n)_n∈N)_n

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

Puis,1•^. (un)_n∈N= (un)_n∈N. Ainsi(E^N,+,^. •)^. est unK-espace vectoriel.

2

Propriété 2.1. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel et soituun élément deE. On a :0•u= 0E. Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

Soituun élément deE.

On a :

0•u= (0•u) + 0_E (car0_E est neutre)

0•u= (0•u) + ((0•u) + (−(0•u))) (car−(0•u)est l’inverse de0•u) 0•u= ((0•u) + (0•u)) + (−(0•u)) (par associativité)

0•u= ((0 + 0)•u) + (−(0•u)) (Par la définition 2.1.(3a)) 0•u= (0•u) + (−(0•u))

0•u= 0E (car−(0•u)est l’inverse de0•u)

2

Propriété 2.2. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel, d’élément neutre0_E et soitλun élément deK. On a : λ•0_E = 0_E.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

Soitλun élément deK.

1. Siλ= 0, alors, par la propriété 2.1,λ•0_E= 0_E; 2. Sinon.

Soituun élément deE.

On a :

λ•0_E+u= (λ•0_E) + (1•u) (par la définition 2.1.(3d)) λ•0_E+u= (λ•0_E) + ((λ· ¹

λ)•u) (carλ6= 0) λ•0E+u= (λ•0E) + (λ•(¹

λ•u)) (par la définition 2.1.(3c)) λ•0E+u=λ•(0E+ (¹

λ•u)) (par la définition 2.1.(3b)) λ•0E+u=λ•(¹

λ•u) (car0E est neutre) λ•0E+u= (λ·¹

λ)•u (par la définition 2.1.(3c)) λ•0E+u= 1•u

λ•0E+u=u (par la définition 2.1.(3d)) Doncλ•0E est un élément neutre.

Puis λ•0E= 0E.

Dans les deux cas, on a :λ•0E= 0E. 2

Propriété 2.3. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel et soituun élément deE. On a :(−1)•u=−u.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

Soituun élément deE. On a :

u+ ((−1)•u) = (1•u) + ((−1)•u) (par la définition 2.1.(3d)) u+ ((−1)•u) = (1 + (−1))•u (par la définition 2.1.(3a)) u+ ((−1)•u) = 0•0E

u+ ((−1)•u) = 0E (par la propriété 2.1) Donc(−1)•uest l’inverse deu.

2

Propriété 2.4. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel, soituun élément de E, et soitλun élément de K. Si λ•u= 0E, alors u= 0E ouλ= 0.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

Soituun élément deE, et soitλun élément deK. On suppose queλ•u= 0E. 1. Siλ= 0, alorsu= 0E ouλ= 0.

2. Siλ6= 0, alors :

u= 1•u (par la définition 2.1.(3d)) u= (¹

λ·λ)•u (carλ6= 0) u= ¹

λ•(λ•u) (par la définition 2.1.(3c)) u= ¹

λ•0E (carλ•u= 0E) u= 0_E (par la propriété 2.2).

Puisu= 0_E ouλ= 0.

Ainsi, dans les deux cas, on a :u= 0_E ouλ= 0.

2

2.2 Sous-espaces

Définition 2.2. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E tout sous- ensemble non videF ⊆E, tel que :

1. pour tout u, v∈F,(u+v)∈F; 2. pour tout u∈F,λ∈K,(λ•u)∈F.

Propriété 2.5. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel et soitF un sous-espace vectoriel deE. AlorsF contient l’élément neutre 0E de la loi+définie surE.

Preuve Par la définition 2.2,F est non vide.

Soituun élément deF.

Par la définition 2.2.(2), comme−1∈Ketu∈F, on a :(−1)•u∈F. Puis, par la définition, on a : 2.2.(1), u+ (−1)•u∈ F. Mais, par la propriété 2.3, on a :(−1)•u=−u. Puis, par la définition 2.2.(2), on a : u+ (−u)∈F. Or commeE est un groupe,u+ (−u) = 0E, donc0E∈F.

2

Propriété 2.6. SoitF un sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel(E,+,•). On note+_|F la loi interne qui associe à une paire(u, v)d’éléments dansF, l’élémentu+v, et._|F la loi externe qui associe à un scalaire λ∈Ket à un élémentu∈F, l’élément λ•u. Alors (F,+_|F, ._|F)est unK-espace vectoriel d’élément neutre 0_E.

Preuve

1. Montrons que(F,+_|F)est un groupe abélien : Soientu,v, etwtrois éléments deF.

(a) Montrons que+_|F est bien une loi interne.

On a : u+_|Fv =u+_|F v par définition de +_|F, or, u+v ∈F (par définition 2.2.(1) et comme u∈F etv∈F), ainsiu+_|Fv est une élément deF.

Puis+_|F est bien une loi interne.

(b) Montrons que+_|F est associative.

On a :

((u+_|Fv) +_|Fw) = (u+_|Fv) +w (par définition de+_|F) ((u+_|Fv) +_|Fw) = (u+v) +w (par définition de+_|F) ((u+_|Fv) +_|Fw) =u+ (v+w) (car+est associative dansE) ((u+_|Fv) +_|Fw) =u+ (v+_|Fw) (par définition de+_|F) ((u+_|Fv) +_|Fw) = (u+_|F(v+_|Fw)) (par définition de+_|F) Puis,(u+_|Fv) +_|Fw=u+_|F (v+_|Fw)et+_|F est associative.

(c) Montrons que+_|F est commutative.

On a :

(u+_|Fv) =u+v (par définition de+_|F)

(u+_|Fv) =v+u (car+est commutative dansE) (u+_|Fv) = (v+_|Fu) (par définition de+_|F)

Puis,u+_|Fv=v+_|Fuet+_|F est commutative.

(d) Montrons que0E est un élément neutre :

— D’après, la propriété 2.5,0E∈E. puis,0E ∈F.

— On a :

(u+_|F0E) =u+ 0E (par définition de+_|F)

(u+_|F0_E) =u (car0_E est neutre pour+_|F dansE) Puis,u+_|F 0E=u.

Donc0E est un élément neutre pour la loi+_|F. (e) Montrons que−uest l’inverse deu:

— On a −u = (−1)•u, car u∈ E, E est un K-espace vectoriel, et par la propriété 2.3. Puis comme−1∈K, etu∈F, par la définition 2.2.(2), on obtient :−u∈F.

— On a :

(u+_|F−u) =u+ (−u) (par définition de+_|F) (u+_|F−u) = 0E (car−uest l’inverse deu) Puis,u+_|F (−u) = 0E.

Donc−uest l’inverse deupour la loi+_|F. Donc(F,+_|F)est un groupe abélien.

2. Montrons que•_|F est bien une loi externe.

On a :λ•_|F u=λ•upar définition de •_|F, or,λ•u∈F (par définition 2.2.(2) et commeu∈F et λ∈K), ainsiλ•_|F uest une élément deF.

Puis•_|F est bien une loi externe.

3. (a) Montrons que(λ+µ)•_|F u= (λ•_|Fu) +_|F(µ•_|F u): On a :

((λ+µ)•_|Fu) = (λ+µ)•u (par définition de•_|F) ((λ+µ)•_|Fu) = (λ•u) + (µ•u)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a)

((λ+µ)•_|Fu) = (λ•_|Fu) + (µ•_|F u) (par définition de•_|F) ((λ+µ)•_|Fu) = ((λ•_|Fu) +_|F(µ•_|Fv)) (par définition de+_|F) Donc(λ+µ)•_|Fu= (λ•_|Fu) +_|F(µ•_|Fu).

(b) Montrons queλ•_|F (u+_|Fv) = (λ•_|Fu) +_|F (λ•_|F v): On a :

(λ•_|F(u+_|Fv)) =λ•(u+_|Fv) (par définition de•_|F) (λ•_|F(u+_|Fv)) =λ•(u+v) (par définition de+_|F) (λ•_|F(u+_|Fv)) = (λ•u) + (λ•v)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b)

(λ•_|F(u+_|Fv)) = (λ•_|Fu) + (λ•_|Fv) (par définition de•_|F) (λ•_|F(u+_|Fv)) = ((λ•_|Fu) +_|F(λ•_|F v)) (par définition de+_|F)

Doncλ•_|F(u+_|Fv) = (λ•_|Fu) +_|F(λ•_|Fv).

(c) Montrons queλ•_|F (µ•_|Fu) = (λ·µ)•_|Fu: On a :

(λ•_|F (µ•_|F(u))) =λ•(µ•_|F(u)) (par définition de•_|F) (λ•_|F (µ•_|F(u))) =λ•(µ•u) (par définition de•_|F) (λ•_|F (µ•_|F(u))) = (λ·µ)•u

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c)

(λ•_|F (µ•_|F(u))) = ((λ·µ)•_|Fu) (par définition de•_|F) Doncλ•_|F(µ•_|Fu) = (λ·µ)•_|Fu.

(d) Montrons que1•_|Fu=u: On a :

(1•_|Fu) = 1•u (par définition de•_|F) (1•_|Fu) = (u)

car(E,+,•)est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

Puis,1•_|Fu=u.

Ainsi(F,+_|F,•_|F)est unK-espace vectoriel.

2

Propriété 2.7. Si(E,+,•)est unK-espace vectoriel, alors{0_E} etE sont deux sous-espaces vectoriels de E.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

1. Montrons que{0E}est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

(a) On a :0_E∈ {0_E}donc0_E est non vide.

(b) On a0_E∈E, donc{0_E} ∈E.

(c) Pouru, v ∈ {0E}, on au= 0_E et v = 0_E. Puis, u+v = 0_E+ 0_E. Or0_E est un élément neutre pour la loi+définie surE, doncu+v= 0_E. D’oùu+v∈ {0_E}.

(d) Pourλ∈Ketu∈E, on au= 0_E. Puisλ•u=λ•0E. Puis par la propriété 2.2,λ•u= 0_E. D’où, λ•u∈ {0_E}.

Donc{0E}est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

2. Montrons queE est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

(a) On a :0E∈E, doncE est non vide.

(b) On aE=E puisE⊆E.

(c) Pouru, v∈E, on au+v∈E car+est une loi interne.

(d) Pouru∈E et λ∈K, on a λ•u∈E, car• est une loi externe.

DoncE est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

2

Propriété 2.8. Soit (E,+,•) est un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble non vide et soit (Ei)_i∈I une famille de sous-espaces vectoriel de(E,+,•)indexée parI.

Alors l’interection T

i∈IEi de tous les sous-espaces Ei est un sous-espace de(E,+,•).

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

SoitIun ensemble non vide et soit(E_i)_i∈I une famille de sous-espaces vectoriel de(E,+,•)indexée par I.

Montrons que T

i∈IE_i est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

1. Soiti∈I,

On a0E∈Ei (par la propriété 2.5).

Donc0E∈T

i∈IEi.

2. Soitj un élément de l’ensembleI (car l’ensembleI est non vide).

On aEj ⊆E et T

i∈IEi⊆Ej. DoncT

i∈IEi⊆E.

3. Soitu, v∈T

i∈IE_i. Soiti∈I.

On a : u∈E_i etv∈E_i, donc, par la définition 2.2.(1), on a :u+v∈E_i. Donc(u+v)∈T

i∈IE_i. 4. Soitλ∈Ket u∈F∩G.

Soiti∈I.

On a :u∈E_i etλ∈K, donc, par la définition 2.2.(2), on a :λ•u∈E_i. Puis,(λ•u∈T

i∈IE_i. Ainsi,T

i∈IEi est un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

2

Propriété 2.9. Il existe un espace vectoriel (E,+,•) et deux sous-espaces vectoriels de (E,+,•) tels que leur union ne soit pas un sous-espace vectoriel de(E,+,•).

Preuve On se place dans(R²,+,^{. .}·).

Montrons que les ensembles F et G définis par F =^∆ {(x,0) | x ∈ R et G =^∆ {(0, y) | y ∈ R} sont des sous-espaces vectoriels de(R²,⁺,

•

), maisF∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel de(R²,+,^{. .}·).

1. (a) On aF⊆R².

(b) On a(0,0)∈F, doncF est non vide.

(c) Soientu, v ∈F.

Soientx, y∈Rtels queu= (x,0) etv= (y,0).

On a : u+^. v= (x+y,0 + 0).

Puis,u+^. v= (x+y,0).

Doncu+^. v∈F.

(d) Soientλ∈Ret u∈F. Soitx∈Rtel queu= (x,0).

On a : λ·u^. = (λ·x, λ·0).

Puisλ^.·u= (λ·u,0).

Doncλ^.·u∈F.

DoncF est un sous-espace vectoriel de(E,+,^{. .}·).

2. (a) On aG⊆R².

(b) On a(0,0)∈G, doncGest non vide.

(c) Soientu, v ∈G.

Soientx, y∈Rtels queu= (0, x)etv= (0, y).

On a : u+^. v= (0 + 0, x+y).

Puis,u+^. v= (0, x+y).

Doncu+^. v∈G.

(d) Soientλ∈Ret u∈G.

Soitx∈Rtel queu= (0, x).

On a : λ·u^. = (λ·0, λ·x).

Puisλ^.·u= (0, λ·u).

Doncλ^.·u∈G.

(e) On a :(1,0)∈F et(0,1)∈G. Donc(1,0)∈F∪Get(0,1)∈F∪G. On a :(1,0)+ (0,^. 1) = (1,1), et (1,1)6∈F et(1,1)6∈G.

Donc(1,1)6∈F∪G. DoncF∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel deE.

DoncGest un sous-espace vectoriel de(E,+,^{. .}·).

2

Exemple 2.6. Ket{0_K}sont les seuls sous-espaces vectoriels de (K,+,•).

Preuve

1. Montrons que{0_K}est un sous-espace vectoriel de(K,+,•): (a) On a :0_K∈ {0_K}, donc{0_K} est non vide.

(b) On a :0_K∈K, donc{0_K} ⊆K. (c) Soientu, v ∈ {0_K}.

On a : u= 0_K etv= 0_K.

Puis,u+v= 0_K+ 0_K. D’où,u+v= 0_K. Puis,u+v∈ {0_K}.

(d) Soientλ∈Ketu∈ {0_K}.

On a : u= 0_K.

Puis,λ•u= 0•0_K. D’où, en utilisant la propriété 2.2,λ•u= 0_K. Puis,λ•u∈ {0_K}.

Donc,{0_K}est un sous-espace vectoriel de(K,+,•).

2. Montrons queKest un sous-espace vectoriel de(K,+,•): (a) On a :0_K∈K, doncKest non vide.

(b) On a :K=K, doncK⊆K. (c) Soientu, v ∈K.

Par la définition 2.1.(1),u+v∈K. (d) Soientλ∈Ketu∈ {0_K}.

Par la définition 2.1.(2),λ•u∈ {0_K}.

Donc,Kest un sous-espace vectoriel de(K,+,•).

3. SoitF un sous-espace vectoriel de (K,+,•).

Montrons queF ={0_K} ouF={0_K} : Distinguons deux cas :

— si il existex∈F telx6= 0E, Alors pourλ∈K, on aλ= 1·λ.

Puisλ= (x· ¹

x)·λ.

Puis, comme ·est associative et commutative,λ= (λ·¹

x)·x.

Donc, par la définition 2.2.(2),λ∈F. PuisK⊆F.

Or F ⊆K. DoncF =K.

— Par la propriété 2.5,0_K∈F, on a : F ={0_K}.

Ainsi{0_K} etKsont les seuls sous-espaces vectoriels de(K,+,·).

2

Exemple 2.7. L’ensemble des fonctions continues de R dans R est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel(F(R),+,^. •).^.

Preuve Montrons que l’ensemble des fonctions continues est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions deRdansR.

1. Une fonction continue deRdansRest bien une fonction deRdansR, doncC(R,R)⊆ F(R,R).

2. La fonction constante égale à zéro est une fonction continue deRdansRdoncC(R,R)6=∅.

3. La somme, point à point, de deux fonctions continues deRdans Rest une fonction continue deR dansR.

4. Le produit externe, point à point, d’une fonction continue de R dansR par un scalaire dans R est bien une fonction continue deRdansR.

DoncC(R,R)est bien un sous-espace vectoriel de(F(R),+,^. •)^. 2

Exemple 2.8. L’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel de(R^N,+,^. •).^. Preuve Montrons que l’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel de R-espace vectoriel.

1. Une suite deR^N qui converge est bien une suite deR^N. 2. La suite constance égale à zéro converge.

3. La somme point à point de deux suites qui convergent, converge (vers la somme des deux limites).

4. Le produit externe d’une suite qui converge par un scalaire par un scalaire, converge (vers le produit entre le scalaire et la limite de la suite).

Donc l’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel(R⁽N),+^. ,•).^.

2

Exemple 2.9. Si (E,+, .) est un K-espace vectoriel, alors l’ensemble des suites à valeur dans E qui sta- tionnent est un sous-espace vectoriel de(E^N,+,^. •).^.

Preuve Montrons que l’ensemble des suites réelles qui stationnent est un sous-espace vectoriel de R-espace vectoriel.

1. Une suite deR^N qui stationne est bien une suite deR^N. 2. La suite constance égale à zéro stationne.

3. Soit(u_n)_n∈Net(v_n)_n∈Ndeux suites à valeur dansE, qui stationnent. Soitn_uetn_vdeux entiers naturels tels que pour tout n > n_u, u_n = u_nu et pour tout n > n_v, v_n = v_nv. On a pour n >maxn_u, n_v, u_n+v_n=u_nu+v_nv. Donc la suite(u_n+v_n)_n∈Nstationne.

4. Soit (un)n∈N, une suite à valeur dans E, qui stationne. Soit λ ∈ K un scalaire. Soit nu un entier naturel tel que pour tout n > nu, un = un_u. On a pour n > nu, λ•un_u = λ•un. Donc la suite (λ•un)n∈N stationne.

Donc l’ensemble des suites réelles qui stationnent est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel(R⁽N),+^. ,•).^.

2

Exemple 2.10. L’ensemble des couples de fonctions (x, y) deR dansR, telles quexety soient dérivables et vérifient :

pour toutt∈R,











δx(t)

δt = 2·x(t)−3·y(t)

δy(t)

δt = 3·x(t)−2·y(t),

est unRespace vectoriel pour l’addition point à point composante par composante, et le produit externe point à point et composante par composante.

Montrons que l’ensemble des solutions dérivables du système :

pour toutt∈R,











δx(t)

δt = 2·x(t)−3·y(t)

δy(t)

δt = 3·x(t)−2·y(t),

est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel des paires de fonctions deRdansR, muni de l’addition point à point et composante par composante, et du produit externe point à point et composante par composante.

1. Une solution de ce système est bien une paire de fonction dérivable.

2. La paire de fonction constante égale à0 est solution.

3. Soit(x1, y1)et(x2, y2)deux solutions.x1 etx2sont deux fonctions dérivables. Doncx1 .

+x2 est une fonction dérivable. De même,y₁+^. y₂ est une fonction dérivable.

De plus, on a :

δ(x₁+x^. ₂)(t)

δt =^δx1(t)

δt +^δx2(t)

δt δ(x₁+x^. ₂)(t)

δt = 2·x1(t)−3·y1(t) + 2·x2(t)−3·y2(t)

δ(x1 .

+x2)(t)

δt = 2·(x1(t) +x2(t))−3·(y1(t) +y2(t))

δ(x₁+x^. ₂)(t)

δt = 2·(x₁+^. x₂)(t)−3·(y₁+^. y₂)(t) et :

δ(y1 .

+y2)(t)

δt = ^δy1(t)

δt +^δy2(t)

δt δ(y₁+y^. ₂)(t)

δt = 3·x1(t)−2·y1(t) + 3·x2(t)−2·y2(t)

δ(y1 .

+y2)(t)

δt = 3·(x1(t) +x2(t))−2·(y1(t) +y2(t))

δ(y₁+y^. ₂)(t)

δt = 3·(x₁+^. x₂)(t)−2·(y₁+^. y₂)(t) Donc la paire(x1

.

+x2, y1 .

+y2)est une solution dérivable du système :

pour toutt∈R,











δx(t)

δt = 2·x(t)−3·y(t)

δy(t)

δt = 3·x(t)−2·y(t),

4. Soit(x, y)une solution et λ∈Run scalaire.xest une fonction dérivable. Donc λ^.·xest une fonction dérivable. De même,λ^.·y est une fonction dérivable.

De plus, on a :

δ(λ^.·x)(t)

δt =λ·^x(t)

δt δ(λ^.·x)(t)

δt =λ·(2·x(t)−3·y(t))

δ(λ^.·x)(t)

δt = 2·(λ·x(t))−3·(λ·y(t))

δ(λ^.·x)(t)

δt = 2·(λ^.·x)(t)−3·(λ^.·y)(t)