SoitE un ensemble et∗ une loi de composition interne, associative telle que : ∀(a, b

Exercice 1. Prouver l’´egalit´e 3n

n

=

n

X

p=0





n−p

X

q=0

n p

n q

n p+q



.

Exercice 2. Simplifier

S_n = X

06j<k6n+1

n j

n + 1 k

.

Exercice 3. Montrer que tout mono¨ıde fini v´erifiant la r`egle de simplification est un groupe.

Montrer que tout ensemble fini muni d’une loi de composition in- terne associative v´erifiant la r`egle de simplification est un groupe.

Exercice4. SoitE un ensemble et∗ une loi de composition interne, associative telle que :

∀(a, b) ∈ E², ∃(x, y) ∈ E² | ax = ya = b.

Montrer que (E,∗) est un groupe.

Exercice 5. Soit G un groupe, on pose Z₀(G) = {e} et Z_n(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G, x⁻¹y⁻¹xy ∈ Z_n−1(G)}.

Montrer que (Z_n(G))_n∈N est une suite croissante de sous-groupes de G.

1

Exercice 6. Soit n ∈ N^∗, on pose :

E_n = {(p, q) ∈ N² | 1 6 p < q 6 n, p+q > n, p ∧ q = 1}.

Calculer S_n = P

(p,q)∈E_n

1 pq.

Exercice 7. Montrer que, pour tout n de N 2ⁿ⁺¹ divise E_n = E h

(1 + √

3)²ⁿ⁺¹i .

(On pourra chercher une relation de r´ecurrence v´erifi´ee par E_n, E_n−1 et E_n−2.)

Exercice 8. Soit n ∈ N^∗, N le nombre de diviseurs de n, P le produit de ces diviseurs.

Donner une relation en n, N et P.

Exercice 9. Montrer que

n! = Y

p∈P

p

+∞

P

i=1

n pi

o`u P d´esigne l’ensemble des nombres premiers.

Exercice 10. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension n, f ∈ L(E) telle que f² = −Id_E. Si z = a + ib ∈ C (a et b r´eels) et x ∈ E, on d´efinit :

z ∗x = ax+bf(x).

Montrer que (E,+,∗) est un C-espace vectoriel.

Calculer dim_CE.

Exercice 11. Soit A un anneau, x ∈ A. S’il existe p ∈ N^∗ tel que (1 − x)^p = 0, montrer que x est inversible.

Montrer aussi que (1 −x⁻¹)^p = 0.

Exercice 12. Soit A ∈ C[X] de degr´en > 1 admettant α₁, . . . , α_n comme racines distinctes.

Trouver tous les polynˆomes P ∈ Cn[X] tels que

A⁽ⁿ⁾P − A⁽ⁿ⁻¹⁾P⁰ +· · · + (−1)ⁿAP⁽ⁿ⁾ = 0.

Exercice 13. Soit P ∈ Q[X], n > 1. Si a est une racine complexe de P de multiplicit´e m avec 2m > n v´erifier que a ∈ Q.

Exercice 14. Trouver tous les polynˆomes P ∈ R[X] tels que (X + 3)P(X) = XP(X + 1).

Exercice 15. Soient a₁ < a₂ < . . . < a_n n entiers, montrer que le polynˆome

1 +

n

Y

i=1

(X − a_i)² est irr´eductible dans Z[X].

Exercice 16. Soient x₁, . . . , x_n n complexes tels que

∀k ∈ [1, n],

n

X

i=1

x^k_i = n.

Montrer que : ∀i ∈ [1, n], x_i = 1.

Exercice 17.

(1) Calculer de 2 mani`eres S_n,d =

n

X

k=1

k^d(k + 1)^d − k^d(k −1)^d (2) Montrer que

∀d ∈ N^∗, ∃P_d ∈ R[X] | ∀n ∈ N^∗, P_d(n(n + 1)) =

n

X

k=1

k^2d−1.

(3) Montrer que

∀d ∈ N^∗, ∃Q_d ∈ R[X] | ∀n ∈ N, (2n+ 1)Q_d(n(n+ 1)) =

n

X

k=1

k^2d.

(4) Pour d ∈ {1,2,3} calculer P_d et Q_d.

Exercice 18. Montrer que si P ∈ R[X] a toutes ses racines r´eelles alors P⁰² > P P⁰⁰.

R´eciproque ?

Exercice 19. Montrer que, sur C[X], tout polynˆome P peut s’´ecrire

P = P₁(P₂)². . .(P_k)^k

o`uP_iest le produit des facteurs binˆomes dont l’ordre de multiplicit´e est i (on pose P_i = 1 si aucune racine n’a cet ordre de multiplicit´e).

(1) Calculer D₁ = P ∧P⁰ et prouver que P

D₁ ne contient que des racines simples. Quelles sont ces racines ?

(2) Calculer D₂ = D₁ ∧ D₁⁰. En d´eduire P₁. Comment obtenir P₂, P₃,...

Quelles conclusions en tirer pour la recherche des racines de P ?

Exercice 20. On consid`ere la suite (u_n) d´efinie par : u₀ = 5, u_n+1 = u_n + 1

u_n. Montrer que 45 < u₁₀₀₀ < 45,1.

Exercice 21.

Soient (a_n) et (b_n) deux suites r´eelles croissantes de limite infinie.

On suppose que lim

n→+∞(a_n+1 − a_n) = 0.

Soit E = {a_n − b_m, (n, m) ∈ N²}.

Prouver que E est dense dans R.

Application : montrer que la suite cos(lnn) est dense dans [−1,1].

Exercice 22. Soit (u_n) une suite de termes positifs telle que

n→+∞lim n(u_n + u_2n) = 1.

Montrer que v_n = nu_n admet une limite finie.

Exercice 23. Trouver f ∈ C(R,R) telle que f(2x + 1) = f(x)

Exercice 24.

Soit E = {f : R → R, f continue en 0}, on d´efinit

ϕ : f ∈ E 7→ g = ϕ(f) o`u g(x) = f(x) + f(2x).

Prouver que ϕ est injective.

Exercice 25. Soit f : R → R continue telle qu’il existe α ∈]0, ¹₂[ v´erifiant

∀(x, y) ∈ R², |f(x) − f(y)| 6 α(|f(x) − x| + |f(y) − y|).

Prouver que f poss`ede un unique point fixe.

Exercice 26. Soit a ∈ R, z = 8a² − (1 + a²)² + 4a(1 − a²)i.

Chercher les racines 4^i`eme de z.

Etudier le cas o`´ u a ∈ C.

Exercice 27. Soit S⁽⁰⁾ = (z₀, z₁, . . . , z_n−1) ∈ Cⁿ et α une racine primitive n^i`eme de l’unit´e. On pose

u_i =

n−1

X

j=0

α^ijz_j et T⁽⁰⁾ = (u₀, u₁, . . . , u_n−1)..

(1) Exprimer z_j en fonction des u_i.

(2) On d´efinit par r´ecurrence : z_i^(p) = 1 2

h

z_i^(p−1) +z_i+1^(p−1) i

(en prenant z_n = z₀) et on pose T^(p) = (u^(p)₀ , u^(p)₁ , . . . , u^(p)_n−1) `a partir des (z_i^(p)).

Calculer T⁽¹⁾ en fonction de T⁽⁰⁾, faire de mˆeme avec T^(p). D´eterminer lim

p→+∞T^(p) et lim

p→+∞S^(p).

En donner une interpr´etation g´eom´etrique.

Exercice 28. Soit (u, v) ∈ C², on pose z = u +iv.

Si |z|² = u² +v² alors prouver que soit z = 0 soit (u, v) ∈ R².

Exercice 29. Soit P = n =

n

Y

k=1

k(k + 1) + 1 +i

k(k + 1) + 1 − i, d´eterminer

n→+∞lim P_n.

Exercice 30.

Soit f : C^∗ → C d´efinie par f(z) = 1

2(z + z⁻¹).

(1) Chercher f(D) o`u D est une droite passant par O.

(2) Chercher f(C) o`u C est un cercle de centre O.

Exercice 31.

Soit (b₁, b₂, . . . , b_n) ∈ Cⁿ tel que |b_i| 6 1 pour tout i.

Montrer qu’il existe (ε₁, ε₂, . . . , ε_n) ∈ {−1,1}ⁿ tel que

∀k ∈ [1, n], |ε₁b₁ +ε₂b₂ + · · · +ε_kb_k| 6 √ 3.

Exercice 32.

Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que, si (F_i)_i∈[1,p] est une famille finie de sous-espace vectoriels tous distincts de E alors

p

[

i=1

F_i 6= E.

Exercice 33.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, (u, v) ∈ L(E)². On suppose que v ◦u = 0 et que u +v est surjective.

Montrer que Rg(u) + Rg(v) = n.

Exercice 34.

Soient A et B dans M_n(K) telles que

∀M ∈ M_n(K), AM B = 0 montrer que A = 0 ou B = 0.

Exercice 35. Soit P la matrice dans la base canonique de Rⁿ d’un projecteur de Rⁿ. On d´efinit

Ψ : X ∈ M_n(R) 7→ P X +XP ∈ M_n(R).

Chercher Tr(Ψ).

Exercice 36. Soit K = {X =

cost −sint sint cost

, t ∈ R} et T = {Y =

u v 0 1/u

, u > 0, v ∈ R}.

Prouver que SL₂(R) = KT et prouver que cette d´ecomposition est unique.

Exercice 37.

Soit M =









a₁ a₁ . . . a₁ a₁ a₂ . . . a₂

... ... ...

a₁ a₂ a_n









. Chercher une C.N.S. pour que M soit inversible et calculer M⁻¹.

Exercice 38.

Soit A ∈ M_3n(K) telle que A³ = 0 et Rg(A) = 2n.

Prouver que A est semblable `a





0 I_n 0 0 0 I_n 0 0 0



.

Exercice 39. Si (a₀, . . . , a_n) ∈ Rⁿ⁺¹ et (b₀, . . . , b_n) ∈ Rⁿ⁺¹, cal- culer det(m_ij) o`u m_ij = (a_i + b_j)ⁿ, (i, j) ∈ [0, n]².

Exercice 40.

Soit N : R² → R d´efinie par

N(x, y) = sup

t∈R

|x +ty| 1 + t +t². V´erifier que N est bien d´efinie.

N est-elle une norme ? Si oui, pr´eciser la sph`ere unit´e.

Exercice 41.

Soit E le R-espace vectoriel C([0,1],R) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ : f ∈ E 7→ e^f ∈ E.

Montrer que ϕ est continue.

Exercice 42.

Soit E un R-espace vectoriel norm´e et f : E → E v´erifiant

∀(x, y) ∈ E², kf(x +y) − f(x)− f(y)k 6 M.

(1) Montrer que, si M = 0 et si f est born´ee sur un ouvert non vide, alors f est lin´eaire et continue.

(2) On suppose f continue et E complet. En ´etudiant la suite g_n(x) = 2⁻ⁿf(2ⁿx), montrer que f se d´ecompose de mani`ere unique en somme d’une fonction lin´eaire et d’une fonction born´ee.

Exercice 43.

Soit E_p = {A ∈ M_n(R) | Rg(A) > p}. E_p est-il (i) ouvert, (ii) ferm´e, (iii) dense dans M_n(R) ?

Exercice 44. Soit A ⊂ E o`u E est un espace vectoriel norm´e, on note u(A) =

◦

A et v(A) =

◦

A .

(1) Montrer que u et v sont des applications de P(E) dans lui- mˆeme qui respectent l’inclusion.

(2) Montrer aussi que u² = u et v² = v.

(3) En d´eduire que, `a partir d’un ensemble A ⊂ E, en prenant successivement l’adh´erence et l’int´erieur (ou le contraire), on ne peut avoir au maximum que 7 ensembles distincts.

Exercice 45. Soit P(X) = Xⁿ + a_n−1Xⁿ⁻¹ + · · · + a₀ ∈ R[X].

On suppose que P a n racines r´eelles simples.

Soit Q(X) = Xⁿ +b_n−1Xⁿ⁻¹ + · · · +b₀ ∈ R[X].

Montrer qu’il existe η > 0 tel que, si |b_i−a_i| 6 η pour tout i, alors Q a toutes ses racines r´eelles simples.

η peut ˆetre tr`es petit comme le montre l’exemple du polynˆome de Wilkinson

P(X) =

20

Y

k=1

(X − k) + 10⁻⁹X¹⁹ qui a pour racines (en arrondissant `a 2 d´ecimales)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 9,99 11,05 11,83

13,35±0,53i 15,46±0,9i 17,66±0,7i 19,23 19,95

Exercice 46. Soit E = C([0,1],R) muni de k.k_∞ et (q_n)_n∈N une ´enum´eration des rationnels de [0,1]. On pose L(f) =

+∞

P

n=0

−1 2

n

f(q_n) pour f ∈ E.

(1) Prouver que L est une forme lin´eaire continue sur E.

(2) Montrer que sup

kfk61

|L(f)| n’est pas atteint.

Exercice 47. Soit E = `<sup>∞</sup> muni de la norme infinie. On note F = `¹ sous-espace vectoriel de E muni de la norme 1.

(1) Si u ∈ E et v ∈ F, prouver que

+∞

P

n=0

u_nv_n est absolument convergente.

(2) On d´efinit f_v : u ∈ E 7→

+∞

P

n=0

u_nv_n ∈ R (o`u v d´esigne la suite (v_n) de F). Montrer que f_v appartient au dual fort E⁰ de E (i.e. l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E).

(3) Trouver ϕ une isom´etrie bijective de F sur E⁰

Exercice 48. Soit V un espace euclidien et (e₁, . . . , e_n) une base de V telle que : i 6= j ⇒ (e_i|e_j) 6 0.

Soit x ∈ V v´erifiant : ∀i ∈ [1, n], (x|e_i) > 0.

Montrer que les coordonn´ees de x dans (e_i) sont positives.

(On pourra montrer au pr´ealable que, si (x₁, . . . , x_p) est une famille de vecteurs tels qu’il existe θ une forme lin´eaire v´erifiant θ(x_i) > 0 pour tout i et si (x_i|x_j) 6 0 alors (x_i) est une famille libre.)

Exercice 49. Soient E un espace euclidien et f : E → E telle que

∀(x, y) ∈ E², kf(x) − f(y)k = kx − yk.

Montrer que f est la compos´ee d’une translation et d’un automor- phisme orthogonal.

Exercice 50. Soit (a, b, c) les longueurs des cot´es d’un triangle d’aire S. Montrer que

S 6

√3

12 (a² +b² +c²).

Cas d’´egalit´e ?

Exercice 51. Soit E un espace euclidien de dimension n > 2. On dit que la famille (x_i)_i∈[1,n] est r´eguli`ere ssi

∀i ∈ [1, n], kx_ik = 1, ∀(i, j) ∈ [1, n]², i 6= j, kx_i − x_jk = 1.

(1) Prouver qu’il existe des familles r´eguli`eres sur E et que ce sont des bases.

(2) Si (x_i)_i∈[1,n] est r´eguli`ere et si (e<sub>i</sub>)<sub>i∈[1,n]</sub> est la base or- thonorm´ee de Schmidt associ´ee, d´eterminer la matrice de pas- sage de (e<sub>i</sub>)<sub>i∈[1,n]</sub> `a (x_i)_i∈[1,n].

Exercice 52. Soit E un espace euclidien de dimension n > 0. Soit p ∈ N^∗, on dit que la famille (x₁, . . . , x_p) ∈ E^p est obtusangle ssi i 6= j ⇒ (x_i|x_j) < 0.

(1) Montrer qu’une famille obtusangle ne peut pas avoir stricte- ment plus de n + 1 ´el´ements.

(2) Soit ϕ l’angle (que l’on suppose constant) entre x_i et x_j pour i 6= j. Montrer que 1 + (p− 1) cosϕ > 0 et qu’il y a ´egalit´e si p = n + 1.

Exercice 53. Soit (u_n) la suite r´eelle d´efinie par u_n+1

u_n = n +a

n +b, 0 < a < b et u₀ > 0.

(1) ´Etudier la convergence de la suite ln n^b−au_n

. Trouver une C.N.S. pour que P

u_n converge.

(2) Si b−a > 1, prouver l’existence de

+∞

P

n=1

n(u_n+1 −u_n) = S et transformer S. En d´eduire la calcul de

+∞

P

n=0

u_n.

Exercice 54.

Soit (a_n) une s´erie `a termes positifs d´ecroissante et (p_n) une suite d’entiers strictement croissante. On suppose qu’il existe M > 0 tel que

∀n ∈ N^∗, p_n+1 − p_n < M(p_n − p_n−1).

Montrer que les s´eries P

a_n et P

(p_n+1 − p_n)a_pn sont de mˆeme nature.

Exercice 55.

Soit (u_n) une suite `a termes positifs, d´ecroissante telle que

+∞

X

n=0

u_n = C et u_n 6

+∞

X

k=n+1

u_k.

Montrer que ∀x ∈]0, C[, ∃(n_k) strictement croissante telle que x =

+∞

P

k=0

u_nk.

Exercice 56.

Soit (a_n) une suite de R^∗+ telle que lim

n→+∞a_n = 0. On suppose que

∃λ > 0, ∃α > 1 tel que a_n+1 − a_n ∼ −λa^α_n. Etudier la nature de la s´erie´ P

a_n.

Exercice 57.

Soit f : N^∗ → N^∗ une injection, on pose u_n = f(n)

n² , n > 1.

Nature de la s´erie P u_n.

Exercice 58. Soit (z_i)_i∈I une famille de nombres complexes non nuls tels que

i 6= j ⇒ |z_i − z_j| > 1.

Montrer que I est d´enombrable et que, pour α > 2, la famille (|z_i|^−α)_i∈I est sommable (recouvrir le plan complexe par des carr´es de cot´e 1

√2).

Exercice 59. Soit r_n =

+∞

P

p=n+1

(−1)^p−1

p^α avec α > 0 (!).

(1) Trouver la nature de la s´erie P r_n. (2) Montrer que, pour α > 1, on a

+∞

X

n=0

r_n =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^α−1

Exercice 60. Soit (a_n) une suite de r´eels telle que

+∞

P

n=1

a_n = 0.

(1) Prouver que

n

P

k=1

ka_k = o(n).

(2) On suppose qu’il existe c > 0 tel que ∀n ∈ N, na_n > −c.

Montrer que

n

X

k=1

k|a_k| 6 2cn +o(n).

(3) On pose enfin t_n =

+∞

P

k=n

|a_k| k . a) Existence de t_n ?

b) Montrer qu’il existe β > 0 tel que ∀n ∈ N^∗, t_n 6

β n.

Exercice 61. Soit (a_n) une suite de r´eels telle que |a_n| < 1 pour tout n. On pose P_n =

n

Y

q=1

(1 +a_q). ´Etudier les implications entre les propri´et´es suivantes :

(i) lim

n→+∞P_n > 0.

(ii) P

a_n et P

a²_n convergent.

(iii) P

a_n et P

a²_n convergent ou P

a_n et P

a²_n divergent.

Que penser de l’exemple suivant : a₁ = a₂ = 0, a_2n−1 = − 1

√n, a_2n = 1

√n + 1

n + 1 n√

n ?

Exercice 62. Calculer lim

n→+∞

n

P

k=1

sin(kα)

k +n pour α ∈ R. On fera intervenir la somme S_n(α) =

n

P

k=0

sin(kα).

Exercice 63.

Soit λ > 0, λ 6= 1, on suppose que g(x) = f(λx)− f(x)

x a une

limite en 0 et que f est continue en 0.

Prouver que f est d´erivable en 0

Exercice64. Soitf : R → Rtelle qu’il existeg ∈ C(R,R) v´erifiant

∀(x, y) ∈ R×R^∗, g(x) = f(x + y) − f(x − y)

2y .

Trouver f.

Que se passe-t-il si l’on suppose seulement g localement born´ee ?

Exercice 65. Soit E = {f ∈ C²([0,1],R) | f⁰⁰ 6 1}, on pose, pour tout f de E,

A(f) = f(1) − 2f(1

2) + f(0).

Montrer que A(f) est major´e sur E.

Si M = sup{A(f), f ∈ E}, d´eterminer M et les solutions de l’´equation A(f) = M.

Exercice 66. Soit f ∈ C²(R,R) telle que

∀(x, y) ∈ R², f(x + y)f(x −y) 6 (f(x))². Prouver que

∀x ∈ R, f(x)f⁰⁰(x) 6 (f⁰(x))².

Exercice 67. Soit f ∈ C²([0,1],R) v´erifiant f(0) = 0, f(1) = 1, f⁰(0) = f⁰(1) = 0. Montrer que

∃c ∈]0,1[ | |f⁰⁰(c)| > 4.

Exercice 68. Soit x_n l’unique racine positive de l’´equation xⁿ + · · · +x = 1.

(1) Montrer que (x_n) admet une limite l.

(2) D´eterminer l’´equivalent de x_n − l.

Exercice 69.

Soit g ∈ C(I,R) o`u I est un intervalle, si x ∈ I^◦, on dit que g est pseudo-d´erivable en x ssi lim

h→0

g(x + h) − g(x − h)

2h existe (limite que l’on note ˜g(x)).

(1) Quelles sont les implications entre g d´erivable en x et g pseudo-d´erivable en x ?

(2) a) On suppose que g v´erifie

∀x ∈ I,^◦ ∃ε > 0, ∀h ∈ [0, ε], g(x +h) − g(x − h) > 0.

Montrer que g est croissante.

b) On suppose que ∀x ∈ I^◦, ˜g(x) > 0. Montrer que g est croissante.

Exercice 70.

A l’aide de la convexit´e, prouver que`

∀t ∈ [0,1], 1 − t

n^t 6 (1 −t)(2− t)(. . .)(n −t)

n! 6 1

(n + 1)^t.

Exercice 71.

Soit f une fonction d´erivable et convexe sur [0,+∞[.

(1) Montrer que ϕ(x) = f(x)− xf⁰(x) est d´ecroissante.

(2) Si lim

x→+∞ϕ(x) = b, montrer qu’il existe une asymptote `a la courbe d’´equation y = f(x).

Exercice 72.

Soit f : I → R^∗+ o`u I est un intervalle. Montrer que (lnf convexe) ⇔ (∀a ∈ R, e^axf(x) convexe)

Exercice 73.

Soit f une application de C²(R,R) telle que f +f⁰⁰ > 0. Montrer que

∀x ∈ R, f(x) + f(x + π) > 0.

Exercice 74. On pose u_n =

+∞

P

k=1

1 k

n −1 n

k

. Montrer que u_n = lnn +K + o(1)

o`u K est une constante que l’on explicitera `a l’aide d’une int´egrale.

Exercice 75. Soit f ∈ C²(I,R), convexe. Les tangentes en A et B au graphe de f se coupent en T.

Prouver que

_

AB 6 AT +T B.

Exercice 76. D´eterminer f ∈ C([0,1],R) telle que Z 1

0

f(x) dx = 1 3 +

Z 1 0

f(x²)²dx.

Exercice 77. Soit E = {x = (x_n)_n∈N | lim

n→+∞x_n = 0} muni de la norme kxk = sup

n∈N

|x_n|.

(1) Montrer que (E,k.k) est un espace de Banach.

(2) Soit e_k = (δ_nk)_n∈N, prouver que x =

+∞

P

n=0

x_ne_n o`u x = (x_n)_n∈N ∈ E.

(3) Si u ∈ L_c(E,R), prouver que

+∞

P

n=0

|u(e_n)| converge.

Etudier la r´eciproque : si´ P

a_n est A.C. alors ∃!u ∈ L_c(E,R) tel que u(e_n) = a_n.

Donner l’expression de u(x) et calculer kuk.

Exercice 78. Soit E l’ensemble des fonctions continues de R dans R croissantes, v´erifiant f(x + 1) = f(x) + 1 pour tout x.

(1) Munir E d’une distance appropri´ee associ´ee `a la convergence uniforme. Montrer que E muni de cette distance est une partie compl`ete.

(2) Soit ϕ une fonction d´erivable de R dans R v´erifiant, pour n ∈ N^∗

(∃k > 1 | ∀x ∈ R, ϕ⁰(x) > h

∀x ∈ R, ϕ(x + 1) = ϕ(x) + n Montrer qu’il existe f ∈ E tel que

∀x ∈ R, (ϕ◦ f)(x) = f(nx)

Exercice 79.

(1) Pour n ∈ N, prouver qu’il existe un unique polynˆome P_n ∈ R[X] de degr´e 6 2n tel que

P_n^(k)(0) = 1 si k ∈ [0, n]

P_n^(k)(1) = P_n(1) si k ∈ [1, n]

(2) Montrer que P_n −^CU−→

K vers une fonction `a d´eterminer.

Exercice 80. Soit f : R → R continue et telle que (1) ∀x ∈ R^∗, |f(x)| < |x|

(1) Montrer que

(2) ∀(ε, M) ∈ (R^∗+)², ∃k ∈]0,1[, ∀x ∈ [ε, M], |f(x)| 6 k|x|.

(2) On pose f_n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (n fois). Si x ∈ R, ´etudier la convergence de la suite (f_n(x).

(3) Montrer que f_n −−−−→^C.U.

[−M,M] 0 pour tout M > 0.

Exercice 81. Etudier la convergence simple et uniforme de la suite´ de fonctions (g_n) d´efinie par

∀n ∈ N^∗, ∀x ∈ R, g_n(x) = cos x

2 cos x

2² . . .cos x 2ⁿ.

Exercice 82. Soit f ∈ C([0,1],R), on d´efinit u_n(x) =

n

Y

k=1

1 + x nf(k

n)

.

(1) ´Etudier la convergence simple de la suite (u_n).

(2) ´Etudier la convergence uniforme de cette mˆeme suite.

(3) Donner un ´equivalent de lim

p→+∞u_p(x) − u_n(x) lorsque f est de classe C¹.

Exercice 83. Soit S(x) =

+∞

P

n=1

u_n(x) o`u u_n(x) = lnn + x

n − ln(n +x).

(1) Chercher le domaine de d´efinition de S.

(2) Soit t(x) = e^S(x), montrer que t(x + 1)

t(x) = (1 + x)e^γ o`u γ est la constante d’Euler (γ = lim

N→+∞

_N P

n=1

1

n − lnN

).

(3) On pose A(x) = 1

xe^−γxt(x).

Calculer A(x + 1) en fonction de A(x) et x.

Montrer que ln(A(x) est convexe.

Exercice 84. Etudier la convergence uniforme de´ f(x) =

+∞

X

n=1

x

n(1 + nx²). Chercher l’´equivalent de f quand x → 0.

Exercice 85. Soitϕ une fonction continue de [0,+∞[ dans ]0,+∞[

strictement d´ecroissante, f continue sur [0,+∞[ etA > 0. On pose u_n =

RA

0 f(t)ϕⁿ(t) dt R A

0 ϕⁿ(t) dt . Montrer que lim

n→+∞u_n = f(0).

Exercice 86. Trouver, pour toute fonction continue born´ee,

n→+∞lim

Z +∞

0

nf(x) dx 1 + n²x².

Exercice 87.

(1) Soit I =

Z +∞

1

dx

x^α(1 + x^β), avec α > 0, β > 0. Discuter la convergence de I.

(2) On pose g_n(λ) = Z n

1

dx

x^α(1 + λx^β) pour λ > 0. Discuter la convergence uniforme de (g_n) (distinguer les cas α > 1, α 6 1).

(3) On d´efinit, pour α < 1 g(λ) =

Z +∞

1

dx

x^α(1 + λx^β) et A =

Z +∞

0

dx

x^α(1 + x^β). Calculer lim

λ→0⁺

h

g(λ) − λ^α−1β Ai .

Exercice 88.

Soit f ∈ C¹(R), on suppose que, pour A > 0, f(t)

t est int´egrable sur {t ∈ R | |t| > A}. Montrer que

a→+∞lim

Z +∞

−∞

f(t)sin[a(t − x)]

t − x dt = f(x)π en utilisant la propri´et´e lim

X→+∞

Z X 0

sint

t dt = π 2.

Exercice 89.

Calculer

Z 2π 0

dt (a + sint)³ (on utilisera le r´esultat :

Z 2π 0

dt

a + sint = 2π

√a² − 1).

Exercice 90.

Soit g(x) =

Z π/4 0

exp

− x² cos²θ

dθ et f(x) = Z x

0

e^−t2 dt.

Montrer que f²(x) + g(x) est constant et retrouver la valeur de Z +∞

0

e^−t2 dt.

Exercice 91.

Soit f ∈ C^∞([0,+∞[,R), f > 0 et lim

+∞

f⁰

f = 0. On suppose que (a_n) est une suite de r´eels > 0 qui tend vers a 6= 0.

Si

Z +∞

0

f(t) dt = +∞, montrer que a

Z n 0

f(t) dt ∼

n

X

p=0

a_pf(p).

Exercice 92.

On d´efinit ln_p = ln_p−1◦ln (logarithme it´er´e). Quel est, pourα ∈ R et p ∈ N, la nature de P

u_n o`u

u_n = 1

nlnnln₂(n). . .ln_p−1(n)(ln_p(n))^α.

Exercice 93.

Soient α et β deux r´eels > 0, on consid`ere la s´erie P

u_n o`u u_n =

n

X

i=1

1

(n +i)^α(n +i + 1)^β. Converge-t-elle dans le cas o`u α +β = 1 ?

Etude des autres cas.´

Exercice 94.

Si (a_n) ∈ C^N, a_n = α_n +iβ_n o`u (α_n, β_n) ∈ R².

Soient R, R₁, R₂ les rayons de convergence des s´eries P

a_nxⁿ, Pα_nxⁿ, P

β_nxⁿ. Montrer que R = min(R₁, R₂).

Exercice 95.

Soit (a_n) une suite de complexes non nuls. Comparer les rayons de convergence des s´eries :

Xa_nzⁿ et X 1 a_nzⁿ.

Exercice 96.

Etudier la s´erie´ P

a_nxⁿ o`u

a_n = 1 + 3ϕ(n

3) − 4ϕ(n 4)

o`u ϕ(t) = t −[t]. Donner l’expression de sa somme.

Exercice 97. Soient a, b, λ, µ, ν des r´eels non nuls, on consid`ere les s´eries

f(x) =

+∞

X

n=1

x²ⁿ⁻¹

a +bx²ⁿ⁻¹ et g(x) =

+∞

X

n=1

λxⁿ µ +νx²ⁿ.

(1) Si ces sommes sont d´efinies dans un voisinage de 0, donner des conditions sur a, b, c, λ, µ, ν, pour qu’elles soient ´egales.

(2) Prouver alors qu’elles sont effectivement ´egales sur un voisi- nage de 0.

Exercice 98. Soit (a_n) la suite d´efinie par a₀ = a₁ = 1, a_n = a_n−1 + (n − 1)a_n−2 pour n > 2.

(1) Calculer

+∞

P

n=0

a_n

n!tⁿ, en d´eduire une expression de a_n. (2) Calculer Card{σ ∈ S_n | σ² = Id}.

Exercice 99. Soit f(x) =

+∞

P

n=0

e^−n+n2ix, prouver que f est de classe C^∞ sur R.

Que penser de la s´erie de Taylor de f ?

Exercice 100. Chercher les d´eveloppement en s´erie enti`ere de f(x) = cos(

√

2 Arccosx) et g(x) = sin(

√

2 Arccosx).

Exercice 101. Th´eor`eme de Bernstein.

(1) Soit a un r´eel > 0 et g ∈ C^∞([−a, a],R) paire telle que, pour tout n de N, g⁽²ⁿ⁾(x) > 0.

a) Montrer que g⁽²ⁿ⁾ est croissante sur [0, a].

b) Montrer qu’il existe M > 0 tel que :

∀(u, v) : 0 6 u 6 v 6 a, ∀n ∈ N, 0 6

(v − u)ⁿ

n! g⁽ⁿ⁾(u) 6 M.

c) Montrer que I_n(x) = g(x)−

n

P

p=0

x^2p

(2p)!g^(2p)(0) est une fonc- tion paire, positive sur [−a, a] et qu’elle s’´ecrit

I_n(x) = Z x

0

(x − t)²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! g⁽²ⁿ⁺²⁾(t) dt.

d) En d´eduire que

∀x ∈ [−a, a], g(x) =

+∞

X

p=0

x^2p

(2p)!g^(2p)(0).

(2) Soit f ∈ C^∞([−a, a],R) telle que f⁽²ⁿ⁾ > 0 (on ne suppose pas f paire). En ´etudiant la partie paire de f, prouver que

∀x ∈ [−a, a], f(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0).

Exercice 102.

Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur R qui admet- tent une limite en +∞.

D´eterminer les ´el´ements propres de l’endomorphisme T de E tel que

∀f ∈ E, ∀x ∈ R, T(f)(x) = f(x + 1).

Exercice 103. Soit A = (a_ij) une matrice carr´ee s’´ecrivant









a₁ +b₁ b₁ . . . b₁ b₂ a₂ + b₂ b₂

... . . . ...

b_n . . . b_n a_n +b_n







 . (1) Calculer detA.

(2) Si a₁ < a₂ < . . . < a_n et si, pour tout i, b_i > 0, montrer que toutes les valeurs propres sont r´eelles.

Exercice 104. Soit A ∈ M_n(K), montrer que les hyperplans vec- toriels stables par A admettent l’´equation y₁x₁ + · · · + y_nx_n = 0 o`u (y₁, . . . , y_n) est vecteur propre de A^T.

R´eciproque ?

Exercice 105. Soit A ∈ M_n(C), on d´efinit la suite de matrice par r´ecurrence avec

A₀ = I_n, ∀k ∈ [1, n], A_k = AA_k−1 − 1

k Tr(AA_k−1)I_n.

Montrer que A_n = 0 (on d´emontrera et utilisera la propri´et´e (detM(t))⁰ = Tr[M⁰(t)(com (M(t)))^T]).

Exercice 106. Soient u, v, w trois endomorphismes de E, espace vectoriel de dimension n > 1, tels que w 6= 0 et u ◦ w = w ◦ v.

Montrer que deg(p_u ∧ p_v) > Rg(w).

Exercice 107. Soit M =









a₁ b₁ 0

b₁ . . . ...

. . . ... b_n−1 0 b_n−1 a_n









une matrice de M_n(R) v´erifiant ∀i ∈ [1, n], a_i > |b_i| + |b_i−1| (avec b₀ = b_n = 0).

Montrer que, si λ ∈ Sp(M) alors 0 < λ < 2 sup(a_i).

Exercice 108. Chercher les vecteurs propres et les valeurs propres de la matrice M =









a₁ a₂ . . . a_n a_n a₁ . . . a_n−1

... ...

a₂ a₃ . . . a₁







 .

Exercice 109. Si A = (a_ij) et B sont des matrices de M_n(K), on leur associe la matrice C = A ⊗ B =





a₁₁B . . . a_1nB

... ...

a_n1B . . . a_nnB



.

Montrer que, si A et B sont diagonalisables, alors C est aussi diagonalisable.

Exercice 110. Soit A ∈ GL_n(C) une matrice diagonalisable et B ∈ M_n(C) telle qu’il existe p ∈ N^∗ v´erifiant B^p = A.

(1) Montrer que B est aussi diagonalisable.

(2) Examiner le cas o`u A n’est pas inversible.

Exercice 111. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E).

Montrer que P_u est irr´eductible dans K[X] ssi {0} et E sont les seuls sous-espaces stables par u.

Exercice 112. Soit A ∈ M_n(R) telle que 3A³ = A² +A +I_n. Montrer que la suite (A^p)_p∈N converge vers une matrice de projec- tion que l’on d´eterminera.

Exercice 113. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, (u, v, f, α, β) ∈ L(E)³×K² tel que

∀i ∈ {1,2,3}, fⁱ = αⁱu +βⁱv.

Montrer que f est diagonalisable.

Exercice 114. Soit A une matrice diagonalisable.

(1) Prouver que : ∀P ∈ K[X], P(A) est diagonalisable.

(2) Utiliser cette m´ethode pour diagonaliser la matrice

B =









a₁ a₂ . . . a_n a_n a₁ . . . a_n−1

... . . . ...

a₂ a₃ . . . a₁







 .

Exercice 115. Dans M_n(C), trouver l’adh´erence de l’ensemble des matrices diagonalisables.

Etudier le cas de´ M_n(R).

On pourra s’aider du lemme suivant :

soit P_n(X) = X^p+a_p−1,nX^p−1+· · ·+a_0,n une suite de polynˆomes unitaires r´eels, scind´es, de degr´e p fixe. Si, pour tout k ∈ [0, p], la suite (a_k,n)_n∈N converge vers a_k ∈ R, alors

P = X^p +a_p−1X^p−1 + · · · +a₀ est scind´e sur R.

Exercice 116. Soit A =

1 i +j + 1

(i,j)∈[1,n]²

, prouver que A est d´efinie positive.

Exercice 117. Soient (u, v) des endomorphismes sym´etriques posi- tifs de E espace euclidien.

V´erifier que 0 6 Tr(u ◦ v) 6 Tr(u) Tr(v).

Exercice 118. Soit A ∈ L(Rⁿ), montrer qu’il existe une b.o.n.

(e₁, . . . , e_n) telle que (Ae₁, . . . , Ae_n) soit une famille orthogonale.

Exercice 119. Soient A et B deux matrices sym´etriques r´eelles d’ordre n, B positive.

On suppose que, pour toute matrice unicolonne X 6= 0 X^TBX = 0 ⇒ X^TAX > 0.

Montrer que, pour λ assez grand, A+ λB est d´efinie positive.

Exercice 120. Soient u et v deux endomorphismes sym´etriques v´erifiant

∀x ∈ E

((u(x)|x) > 0 (v(x))|x) > 0 Montrer que det(u +v) > detu + detv.

Cas d’´egalit´e ?

Exercice 121. Trouver une fonction 2π-p´eriodique dont la s´erie de Fourier s’´ecrit

+∞

X

n=1

(−1)ⁿsinnx n³

Exercice 122. Calculer S(x) =

+∞

P

n=1

sinnx n .

Soit g impaire, 2π-p´eriodique, continue telle que g_|[0,1] soit affine et g_|[1,π] = S_|[1,π]. A l’aide de` g, prouver que

+∞

P

n=1

sinn n

2

=

+∞

P

n=1

sinn n . Calculer enfin

+∞

P

n=1

sin²n n⁴ .

Exercice 123. Soit E = C(T) ensemble des fonctions continues, 2π-p´eriodiques. On note F le sous-espace vectoriel de E tel que

∀f ∈ F, ∀p ∈ Z, fb(p) = 0. On veut prouver que F = {0} sans utiliser le r´esultat du cours.

Si δ ∈]0, ^π₂[, on note P_δ(θ) = 1 −cosδ + cosθ.

(1) Montrer que ∀n ∈ N, Z π

−π

f(θ) [P_δ(θ)]ⁿ dθ = 0.

(2) Montrer que lim

n→+∞

Z

δ₆|θ|6π

f(θ) [P_δ(θ)]ⁿ dθ = 0.

(3) Montrer que f(0) = 0.

(4) Montrer que f = 0.

Exercice 124. Soit (a_n) ∈ Zⁿ tel que P

a_nzⁿ ait un rayon de convergence R > 1. On pose alors, pour |z| < 1, f(z) =

+∞

P

n=0

a_nzⁿ. Si f est born´ee sur D(0,1) prouver que f est un polynˆome.

Exercice 125.

Si f est une fonction de classe C¹ sur R, 2π-p´eriodique, chercher les solutions p´eriodiques de l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰ −4y⁰ + 4y = f(x)

Exercice 126. Trouver f : R^∗+ → R de classe C¹ telle que ∀x > 0, f(x) = f^{0 1}_x

.

Exercice 127. Soit

x(0) = x₀

˙

x = A(t)x (I)

dans Rⁿ.

(1) Montrer que il existe une application Ω de R⁺ dans M_n(R), qui `a t associe la matrice de l’application lin´eaire qui `a x₀ associe la solution x(t) de (I) avec x(0) = x₀ pour t > 0 (Ω(t)(x₀) = x(t)).

(2) On suppose

(A(t)x|x) 6 −λkxk² o`u λ > 0. Montrer que

kΩ(t)k 6 e^−λt pour t > 0 en norme subordonn´ee.

(3) On consid`ere

x(0) = x₀

˙

x = A(t)x + f(t) (II)

Montrer que

x(t) = Ω(t,0)x₀ + Z t

0

Ω(t, s)f(s) ds

o`u Ω(t, s) associe `a x₀ la solution de (I) qui v´erifie x(s) = x₀.

Exercice 128. Soit A : R → M_n(R) une application continue et X : R → Rⁿ la solution de X⁰(t) = A(t)X(t), X(0) = X₀.

Montrer qu’il existe une application continue Ω : R → GL_n(R) telle que ∀t ∈ R, ∀X₀ ∈ Rⁿ, X(t) = Ω(t)X₀.

Exercice 129. On reprend les notations de l’exercice 128.

On suppose que n = 2p, que Rⁿ est muni de sa structure eucli- dienne usuelle et que A(t) s’´ecrit par blocs A(t) =

R(t) S(t) 0 T(t)

avec R(t), S(t), T(t) ∈ M_p(R) et qu’il existe λ, µ, B r´eels stricte- ment positifs tels que pour tout u ∈ R^p et tout t ∈ R on ait (R(t).u|u) 6 −λkuk², (T(t).u|u) 6 −µkuk², kS(t)k 6 B.

On pose X(t) =

X₁(t) X₂(t)

.

Montrer que ∀t ∈ R⁺, kX₂(t)k 6 e^−µtkX₀k et donner une majo- ration de kX₁(t)k.

Exercice 130.

(1) Montrer qu’il existe une unique fonction u ∈ C¹(R,R³) v´erifiant

u⁰ + u ∧ u⁰ = −u ∧ (u₃e₃), u(0) = u₀ avec ku₀k = 1

o`u u_i d´esignent les coordonn´ees de u dans la base canonique de R³.

(2) Comportement de u lorsque t → +∞ ?

Exercice 131. Soient u, v, w, trois fonctions C¹ de R⁺ vers R³ Soit e un vecteur constant de norme 1.

On consid`ere le syst`eme d’´equations diff´erentielles suivant







u⁰ +u ∧ u⁰ = u ∧ (v +e) (1)

u⁰ + v⁰ = −w (2)

w⁰ = v (3)

(1) Montrer que les solutions sont born´ees (2) Montrer que ku⁰k² est sommable sur R⁺

(3) Montrer qu’il existe une suite (t_n) de r´eels v´erifiant les deux conditions

lim_n t_n = +∞

lim_nu(t_n) = U

Exercice 132.

(1) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel (µ > 0)





 dx

dt = −y dy

dt = −µx Trac´e graphique des trajectoires.

(2) Soit le nouveau syst`eme modifi´e





 dx

dt = −y dy

dt = −µx+ bx² a) Chercher les points d’´equilibre.

b) Chercher F telle que −y² = F(x) + K o`u K est une constante.

c) Trac´e de F(x).

d) Trac´e des trajectoires.

Exercice 133. Soit l’´equation diff´erentielle (E) x⁰(t) = x(t) − x²(t) + 1

t

Soit (I, x) une solution maximale de E telle que I∩]0,+∞[6= ∅.

Soit t₀ ∈ I∩]0,+∞[ tel que x(t₀) > 1.

(1) Montrer que si t ∈ I et t > t₀ alors x(t) > 1.

(2) Montrer que [t₀,+∞[⊂ I. (3) Montrer que lim

t→+∞x(t) = 1.

Exercice 134. Soit f : R⁺ → R , de classe C¹ v´erifiant f(0) = f(1) = 0

f > 0 sur ]0,1[

f⁰(0) > 0, f⁰(1) < 0

On consid`ere pour n ∈ N^∗ l’´equation diff´erentielle : y⁰ = f(y) avec condition initiale y(0) = 1/n.

Montrer que ∃!t_n > 0, y(t_n) = 1 − 1/n. Nature de la suite (t_n)?

Exercice 135. R´esoudre le syst`eme





 dx

dt = x +y +x(1− x² − y²) dy

dt = −x +y +y(1− x² − y²)

Exercice 136.

Soit l’´equation diff´erentielle y⁰ + p(x)y = q(x)yⁿ o`u n ∈ R, p et q continues sur R.

Peut-on trouver les solutions pour n = 1 par passage `a la limite `a partir des solutions trouv´ees pour n 6= 1 ?

Exercice 137. Soit l’´equation diff´erentielle :

F(x, y, y⁰) = y⁰²y² +y² − 1 = 0 (E)

a) R´esoudre (E) et tracer l’allure des courbes int´egrales.

b) ´Eliminer y⁰ dans







F(x, y, y⁰) = 0

∂F

∂y⁰(x, y, y⁰) = 0 . Interpr´eter.

Exercice 138. Soit x⁰ = f(t, x) o`u f ∈ C²(R²), Z-p´eriodique.

a) Montrer que pour toute condition initiale x(0) = x₀ on ob- tient une solution d´efinie sur R.

b) S’il existe (p, q) ∈ N² tels que x(q) = x₀ +p, montrer que

∀t ∈ R, x(t + q) = x(t) + p et mˆeme, on a ∀m ∈ N, x(mq) = x₀ +mp.

c) Six(q) > x₀+pmontrer alors que ∀t ∈ R, x(t+q) > x(t)+p.

d) Soit (p, q) ∈ N² tel que p⁰

q⁰ < p

q et si x(q) > x₀ + p alors toute solution y v´erifie y(q⁰) > y₀ +p⁰.

(Pas de solution disponible pour l’instant.)

Exercice 139.

(1) Soit u d´efinie par u(z) =

+∞

P

n=0

a_nzⁿ s´erie enti`ere de rayon 1.

On pose p(x, y) = <(f(x +iy)) et q(x, y) = =(f(x +iy)).

Montrer que p et q sont harmoniques (i.e. ∆p = ∆q = 0).

(2) Soit u : D(0,1) 7→ R harmonique et (x₀, y₀) ∈ D(0,1), pour r assez petit on pose

ϕ(r) = 1 2π

Z 2π 0

u(x₀ +r cosθ, y₀ +r sinθ) dθ.

Montrer que ϕ(r) = u(x₀, y₀).

Exercice 140. Soit A ouvert de R², u ∈ C¹(A,R) On d´efinit L(u, A) = sup

x,y∈A,x6=y

|u(x) − u(y)|

kx − yk Montrer que L(u, A) = sup

A

kgrad(u)k~

Soit ω ⊂ A ouvert, on d´efinit E(ω) l’ensemble des fonctions ω → R lipschitziennes telles que ∀ω⁰ouvert ⊂ ω, ∃v : ω⁰ → R telle que u et v co¨ıncident sur Fr (ω⁰) et L(u, ω⁰) 6 L(v, ω⁰).

Soit u ∈ E(ω) et x₀ ∈ ω tels que u ∈ C² sur un voisinage de x₀. soit H_u,x0 la matrice Hessienne de u en x₀.

Montrer que (H_u,x0grad~ _x0(u)). ~grad_x0(u) = 0 (Pas de solution disponible pour l’instant

Exercice 141.

(1) Soit f : R → R de classe C² telle qu’il existe α > 0 v´erifiant pour tout (x, y) de R²

(f⁰(x) −f⁰(y))(x − y) > α(x − y)². Montrer que f admet un unique minimum sur R. (2) Mˆeme question avec f : Rⁿ → R.

Exercice 142. Soit f : Rⁿ → R⁺ de classe C¹, d´eterminer inf(kgradfk

Exercice 143. Soit ϕ une fonction de classe C¹ de Rⁿ dans Rⁿ telle que ∀x ∈ Rⁿ, kϕ⁰(x)k < 1. On pose f(x) = x +ϕ(x).

(1) Pour tout ρ > 0, montrer qu’il existe C_ρ, 0 < C_ρ < 1 tel que

∀(x, y) ∈ B(0, ρ), kf(x)− f(y)k > (1 − c_ρ)kx − yk

(2) Montrer que f est injective et que Id +ϕ est un isomorphisme de Rⁿ sur Rⁿ. En d´eduire que f est un C¹-diff´eomorphisme et que f(Rⁿ) est un ouvert de Rⁿ.

(3) On suppose que C = sup

x∈Rⁿ

kϕ⁰(x)k < 1. Montrer que f(Rⁿ) est ferm´e dans Rⁿ. En d´eduire f(Rⁿ).

Exercice 144. Soit U un ouvert de Rⁿ, f, h₁, h₂ des fonctions d´efinies sur U `a valeurs dans R.

On suppose que ∀x ∈ U, h₁(x) 6 f(x) 6 h₂(x).

(1) Si h₁ et h₂ sont diff´erentiables en x₀ avec h₁(x₀) = h₂(x₀), montrer que f est diff´erentiable en x₀.

(2) On suppose quef est 1-lipschitzienne et qu’il existe [a, b] ⊂ U tel que f(b)− f(a) = kb− ak.

Montrer que f est diff´erentiable en tout point de ]a, b[.

(3) Soit C un convexe ferm´e non vide de Rⁿ. On sait que pour tout x il existe un unique y ∈ C tel que d(y, C) = kx − yk.

Montrer que l’application x 7→ d(x, C) est diff´erentiable en tout point de Rⁿ \ C.