Exercices sur les groupes Jérôme Feret DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

Exercices sur les groupes

Jérôme Feret

DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

1 Classication des petits groupes

Question 1.1. Combien il y a-t-il de groupes formés de deux éléments distinctsεet a, en supposant que ε soit l’élément neutre ?

Question 1.2. Combien il y a-t-il de groupes formés de trois éléments deux à deux distincts ε,a et b, en supposant que εsoit l’élément neutre ?

Question 1.3. Combien il y a-t-il de groupes formés de quatre éléments deux à deux distincts ε, a,b etc, en supposant queε soit l’élément neutre ?

2 Puissances d'un élément dans un groupe

Dans cette partie, on considèrepG,˝qun groupe dont l’élément neutre est notéε.

Définition 2.1. Pour tout élément aPG, on définit par récurrence les deux suites suivantes :

#

ad,0“ε,

a_d,n`1“a_d,n˝a, pour ną0; et

#

ag,0“ε,

a_g,n`1“a˝a_g,n, pourną0.

Question 2.1. Soitaun élément deG.

Montrer par récurrence, que pour tout entier nPN, on a :ad,n“ag,n.

Définition 2.2. Pour tout élémentaPGet tout entiernPN, on appelle lan-ième puissance deal’élément ad,n (qui est égal àag,n).

On note aⁿ la puissance n-ième dea.

Remarque 2.1. En particulier, la puissance0-ième d’un élément est toujours l’élément neutreε.

Question 2.2. SoitaPGetnPN.

Montrer que l’inverse de la puissance n-ième deaest la puissance n-ième de l’inverse dea (c’est à dire paⁿq^´1“ pa^´1qⁿ).

Définition 2.3. Pour tout élément aPG et tout entier nPNzt0u, on appelle la puissance p´nq-ième de l’élément a, l’inverse de la puissancen-ième dea.

On la note a^´n.

Définition 2.4. SoitaPGetnPN, on dit queaⁿ est une puissance positive deasi et seulement si ną0; on dit queaⁿ est une puissance négative de asi et seulement si nă0.

Question 2.3. SoitaPGetm, nPN.

Montrer par récurrence surnque la puissancem-ième deaet la puissancen-ième deacommutent (c’est à direa^m˝aⁿ “aⁿ˝a^m).

Question 2.4. SoitaPGetm, nPZ.

Montrer que la puissance m-ième de a et la puissancen-ième de a commutent (c’est à dire a^m˝aⁿ “ aⁿ˝a^m).

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3 Puissance dans un groupe ni

Dans cette partie, on considère pG,˝q un groupe tel que l’ensemble G ait un nombre fini d’éléments distincts. On considère égalementaun élément deG.

Question 3.1. On considère la fonction φ deN dansGqui à l’entier n associe la n-ième puissance de a, c’est à dire :

#

N Ñ G a ÞÑ aⁿ Montrer que la fonction φn’est pas injective.

Question 3.2. Montrer qu’il existem, nPNdeux entiers distincts tels quea^m“aⁿ. Question 3.3. Montrer qu’il existe un entiernPNzt0unon nul, tel que aⁿ “ε.

Question 3.4. Montrer que l’inverse deaest une puissance (positive) de a(c’est à dire, il existe un entier naturel nPNtel quea^´1“aⁿ).

Question 3.5. Donner un exemple de groupepH,˝q et d’un élément aPH, tel que l’inverse de ane soit pas une puissance (positive) dea.

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