Espaces vectoriels

(1)

Espaces vectoriels

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

28 ao ˆut 2019

(2)

Espaces vectoriels

D ´efinition

On appelle structure deK-espace vectoriel (ou espace

vectoriel surKavecK=RouC) la donn ´ee d’un ensemble non videE et de deux lois de compositions + et . telles que :

+ est une loi de composition interne (lci) surE qui est commutative, associative, qui poss ède un él ément neutre (not é 0_E ou 0), et pour laquelle tout él ément deE admet un sym étrique dansE.

. est une loi de composition externe (lce) deK×E dansE qui v ´erifie les 4 axiomes suivants :

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(α+β).u=α.u+β.u (α β).u=α.(β.u) α.(u+v) =α.u+α.v

(3)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(4)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² :

1.u=u

(5)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(6)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(α+β).u=α.u+β.u

(α β).u=α.(β.u) α.(u+v) =α.u+α.v

(7)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(α+β).u=α.u+β.u (α β).u=α.(β.u)

α.(u+v) =α.u+α.v

(8)

Espaces vectoriels

D ´efinition

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K² : 1.u=u

(9)

Espaces vectoriels

Exemples fondamentaux

Kⁿ={(x₁,x₂, ...,x_n), x_i∈K}muni de :

(x₁,x₂, ...,xn) + (y₁,y₂, ...,yn) = (x₁+y₁,x₂+y₂, ...,xn+yn) λ.(x1,x2, ...,xn) = (λx1,λx2, ...,λxn) ∀λ ∈K est unK−espace vectoriel et 0_Kⁿ = (0,0, ...,0).

(10)

Espaces vectoriels

SoitDun ensemble non vide quelconque (presque toujours,D sera un intervalle deRou un sous ensemble deRⁿ) etE est l’ensemble des applications deDdansK. On le munit de :

f+g : D−→K

x −→ (f+g)(x) =f(x) +g(x) λ.f : D−→K

x −→ (λ.f) (x) =λf(x)

C’est unK−espace vectoriel qui a pour ´el ´ement neutre l’application nulle surD.

(11)

Espaces vectoriels

L’ensemble des suites à valeurs dansK, muni des op érations habituelles :(u_n) + (v_n) = (u_n+v_n)etα(u_n) = (αu_n)est unK− espace vectoriel dont l’ él ément neutre est la suite nulle (tous ses termes valent 0).

(12)

Espaces vectoriels

Notations et vocabulaire

Les ´el ´ements deE s’appellent des vecteurs et ceux deKdes scalaires.

Siu₁,u₂, ...,unsont n vecteurs etλ₁,λ₂, ...,λnsont n scalaires, l’ él ément deE égal à

n

∑

i=1

λ_iu_i s’appelle une combinaison lin ´eaire (C.L.) deu₁,u₂, ...,un.

Exercice

Montrer queu= (1,2,3)est une combinaison lin ´eaire de u₁= (4,5,6)etu₂= (5,7,9).

(13)

Espaces vectoriels

Notations et vocabulaire

Les ´el ´ements deE s’appellent des vecteurs et ceux deKdes scalaires.

Siu₁,u₂, ...,unsont n vecteurs etλ₁,λ₂, ...,λnsont n scalaires, l’ él ément deE égal à

n

∑

i=1

λ_iu_i s’appelle une combinaison lin ´eaire (C.L.) deu₁,u₂, ...,un.

Exercice

Montrer queu= (1,2,3)est une combinaison lin ´eaire de u₁= (4,5,6)etu₂= (5,7,9).

(14)

Sous-espaces vectoriels

D ´efinition

Soit(E,+, .)unK-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel (sev) deE tout sous-ensemble non vide deE qui est unK-espace vectoriel pour les m ˆemes lois queE.

Soit(E,+, .)unK-espace vectoriel. Une partieF deE est un sev deE ssi :

F est non vide F est stable par C.L.

Remarque

Tout sev d’unK-ev est aussi unK-ev. Exercice

Montrer queE={(x,y,z)∈R³/x+2y−3z=0} est un sev deR³.

(15)

Sous-espaces vectoriels

D ´efinition

Soit(E,+, .)unK-espace vectoriel.

Une partieF deE est un sev deE ssi : F est non vide

F est stable par C.L.

Remarque

Tout sev d’unK-ev est aussi unK-ev. Exercice

(16)

Sous-espaces vectoriels

D ´efinition

Remarque

Tout sev d’unK-ev est aussi unK-ev.

Exercice

(17)

Sous-espaces vectoriels

D ´efinition

Remarque

Tout sev d’unK-ev est aussi unK-ev.

Exercice

Montrer queE={(x,y,z)∈R³/x+2y−3z=0}

est un sev deR³.

(18)

Sous-espaces vectoriels

Exemples

L’ensemble desn−uplets(x₁,x₂,· · ·,x_n)tels que

n

∑

i=1

a_ix_i=0 o ù lesa_i sont des él éments deKfix és est un sev deKⁿ.

Soit(E,+, .)unK−espace vectoriel. Soientu₁,u₂, ...,u_n n ´el ´ements deE. Alors l’ensemble de toutes les

combinaisons lin ´eaires deu₁,u₂, ...,unest un sev deE.On dit que c’est le sev engendr ´e par la partie{u₁,u₂, ...,u_n}et on le noteVect{u₁,u₂, ...,u_n}.

L’ensemble des suites d’ él éments deKqui v érifient une relation de r écurrence lin éaire sans second membre. L’ensemble des fonctions d érivables sur un intervalleIqui v érifient une équation diff érentielle lin éaire homog ène.

(19)

Sous-espaces vectoriels

Exemples

n

∑

i=1

L’ensemble des suites d’ él éments deKqui v érifient une relation de r écurrence lin éaire sans second membre. L’ensemble des fonctions d érivables sur un intervalleIqui v érifient une équation diff érentielle lin éaire homog ène.

(20)

Sous-espaces vectoriels

Exemples

n

∑

i=1

L’ensemble des suites d’ él éments deKqui v érifient une relation de r écurrence lin éaire sans second membre.

L’ensemble des fonctions d érivables sur un intervalleIqui v érifient une équation diff érentielle lin éaire homog ène.

(21)

Sous-espaces vectoriels

Exemples

n

∑

i=1

L’ensemble des suites d’ él éments deKqui v érifient une relation de r écurrence lin éaire sans second membre.

L’ensemble des fonctions d érivables sur un intervalleIqui v érifient une équation diff érentielle lin éaire homog ène.

(22)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

SoientF₁,F₂,· · ·,Fpp sev d’unK-espace vectorielE.

Alors

p

\

i=1

F_i est un sev deE.

D ´efinition

SoientF₁,F₂,· · ·,F_pp sev d’unK-espace vectorielE. On appelle somme deF₁,F₂,· · ·,F_pl’ensemble des x₁+x₂+· · ·+xpo `ux_i∈F_i pour touti.

On note cet ensembleF₁+F₂+· · ·+Fp(

p

∑

i=1

F_i).

(23)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

SoientF₁,F₂,· · ·,Fpp sev d’unK-espace vectorielE.

Alors

p

\

i=1

F_i est un sev deE.

D ´efinition

SoientF₁,F₂,· · ·,F_pp sev d’unK-espace vectorielE.

On appelle somme deF1,F2,· · ·,Fpl’ensemble des x₁+x₂+· · ·+xpo `ux_i∈F_i pour touti.

On note cet ensembleF₁+F₂+· · ·+F_p(

p

∑

i=1

F_i).

(24)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

F1+F2+· · ·+Fp=Vect{F₁∪ · · · ∪Fp}est un sev de E. C’est le plus petit sous espace de E qui contient tous lesF_i.

D ´efinition

SoientF₁,F₂,· · ·,F_pp sev d’unK-espace vectorielE.On dit que ces sev sont en somme directe si tout ´el ´ement de

p

∑

i=1

F_i s’ ´ecrit d’une seule fac¸on sous la forme

p

∑

i=1

x_i ,x_i∈F_i. Autrement dit,

p

∑

i=1

x_i=

p

∑

i=1

y_i avecx_i ety_i ´el ´ements deF_i pour tout i, implique quex_i=y_i pour tout i.

On note alors cette sommeF₁⊕F₂⊕...⊕F_p.

(25)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

F1+F2+· · ·+Fp=Vect{F₁∪ · · · ∪Fp}est un sev de E. C’est le plus petit sous espace de E qui contient tous lesF_i.

D ´efinition

SoientF₁,F₂,· · ·,F_pp sev d’unK-espace vectorielE.On dit que ces sev sont en somme directe si tout ´el ´ement de

p

∑

i=1

F_i s’ ´ecrit d’une seule fac¸on sous la forme

p

∑

i=1

x_i ,x_i∈F_i. Autrement dit,

p

∑

i=1

x_i=

p

∑

i=1

y_i avecx_i ety_i ´el ´ements deF_i pour tout i, implique quex_i=y_i pour tout i.

On note alors cette sommeF₁⊕F₂⊕...⊕F_p.

(26)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

Les sevF_i sont en somme directe si et seulement si F_i∩

∑

j6=i

F_j

!

={0}.

Cas particulier

Deux sevF₁etF₂deE sont en somme directe si et seulement siF₁∩F₂={0}.

D ´efinition

Deux sevF₁etF₂deE sont dits suppl émentaires,F₁⊕F₂=E, si ils sont en somme directe et siF₁+F₂=E.Ce qui équivaut à dire que tout él ément deE s’ écrit d’une seule façon comme somme d’un él ément deF₁et d’un él ément deF₂.

(27)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

∑

j6=i

F_j

!

={0}.

Cas particulier

D ´efinition

(28)

Sous-espaces vectoriels

Proposition

∑

j6=i

F_j

!

={0}.

Cas particulier

D ´efinition

(29)

Sous-espaces vectoriels

Exercice

On se place dans l’espace vectorielR². On noterax= (x₁,x₂) les ´el ´ements deR².

1 Montrer queD=

x ∈R²;x₁+2x₂=0 et

∆ =

x∈R²;2x₁=x₂ sont des sous-espace vectoriels de R²(en donner une repr ´esentation graphique) et que D∩∆ ={0

R²}

2 Soitx un él ément deR². Montrer quex⁰ d éfini par x₁⁰ =4x₁

5 −2x₂

5 x₂⁰ =−2x₁ 5 +x₂

5 est él ément deD.En d éduire queR²=D⊕∆.

(30)

Sous-espaces vectoriels

Remarque

SiF etGsont deuxK-ev alorsF∪Gn’est pas forc ´ement un K-ev.

Exemple

E={(x,y)∈R²/x²−y²=0}n’est pas un sev deR². Exercice

SoitE un espace vectoriel et soientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. On suppose queF∪Gest encore un

sous-espace vectoriel deE. Montrer queF ⊂GouG⊂F.

(31)

Sous-espaces vectoriels

Remarque

Exemple

E={(x,y)∈R²/x²−y²=0}n’est pas un sev deR².

Exercice

(32)

Sous-espaces vectoriels

Remarque

Exemple

E={(x,y)∈R²/x²−y²=0}n’est pas un sev deR². Exercice

(33)

Familles g ´en ´eratrices, familles libres

D ´efinition

Soit(E,+, .)unK−espace vectoriel.

Une famille finie(u₁,u₂, ...,u_n)d’ él éments deE est dite g én ératrice de E si tout él ément de E peut s’ écrire comme C.L. desu_i.UnK−espace vectoriel qui admet une famille g én ératrice finie est dit de dimension finie (attention, il existe des sev qui n’admettent pas de famille g én ératrice finie, ils sont dits de dimension infinie).

Une famille finie(u₁,u₂, ...,un)d’ él éments deE est dite libre (on dit aussi que les n él éments de la famille sont lin éairement ind épendants) si :

∀(α_i)ⁿ_i=1∈Kⁿ,

n

∑

i=1

α_iu_i=0_E=⇒α_i=0 ∀i=1,2, ...,n Une famille qui n’est pas libre est li ée (les él éments de la famille sont lin éairement d épendants).

(34)

Familles g ´en ´eratrices, familles libres

D ´efinition

Soit(E,+, .)unK−espace vectoriel.

Une famille finie(u₁,u₂, ...,u_n)d’ él éments deE est dite g én ératrice de E si tout él ément de E peut s’ écrire comme C.L. desu_i.UnK−espace vectoriel qui admet une famille g én ératrice finie est dit de dimension finie (attention, il existe des sev qui n’admettent pas de famille g én ératrice finie, ils sont dits de dimension infinie).

Une famille finie(u₁,u₂, ...,un)d’ él éments deE est dite libre (on dit aussi que les n él éments de la famille sont lin éairement ind épendants) si :

∀(α_i)ⁿ_i=1∈Kⁿ,

n

∑

i=1

α_iu_i=0_E=⇒α_i=0 ∀i=1,2, ...,n Une famille qui n’est pas libre est li ée (les él éments de la famille sont lin éairement d épendants).

(35)

Familles g ´en ´eratrices, familles libres

Exercice

Pour chaque espace vectoriel, d éterminer une famille g én ératrice :

1 A={(x,x+y,2x−3y)/(x,y)∈R²}

2 B={(x,y,z)∈R³/x+3y−2z=0}

Exercice

Parmi les familles suivantes lesquelles sont libres ?

1 {(1,2,3); (4,5,6); (7,8,9)}.

2 {(1,2,3); (4,5,6); (5,7,9)}.

(36)

Familles g ´en ´eratrices, familles libres

Exercice

Pour chaque espace vectoriel, d éterminer une famille g én ératrice :

1 A={(x,x+y,2x−3y)/(x,y)∈R²}

2 B={(x,y,z)∈R³/x+3y−2z=0}

Exercice

Parmi les familles suivantes lesquelles sont libres ?

1 {(1,2,3); (4,5,6); (7,8,9)}.

2 {(1,2,3); (4,5,6); (5,7,9)}.

(37)

Bases

D ´efinition

Une base de E est une famille finie qui est à la fois libre et g én ératrice de E.

Remarque

On peut voir facilement qu’une famille finie(u₁,u₂, ...,un)est une base deE ssi tout él ément deE s’ écrit d’une façon unique comme combinaison lin éaire desu_i. Siuest un él ément deE et siu=

n

∑

i=1

α_iu_i est l’unique écriture deu comme combinaison lin éaire desu_i, les coefficientsαi sappellent les coordonn ées deu dans la base(u_i). On écrirau= (α₁, ...,αn)et, dans la mesure du possible, on distingueraudeU=





 α1

... αn





le vecteur colonne des coordonn ´ees deu.

(38)

Bases

D ´efinition

Une base de E est une famille finie qui est à la fois libre et g én ératrice de E.

Remarque

On peut voir facilement qu’une famille finie(u₁,u₂, ...,un)est une base deE ssi tout él ément deE s’ écrit d’une façon unique comme combinaison lin éaire desu_i. Siuest un él ément deE et siu=

n

∑

i=1

α_iu_i est l’unique écriture deu comme combinaison lin éaire desu_i, les coefficientsα_i sappellent les coordonn ées deu dans la base(u_i). On écrirau= (α₁, ...,αn)et, dans la mesure du possible, on distingueraudeU=





 α1

... αn





le vecteur colonne des coordonn ´ees deu.

(39)

Bases

Exercice

SoientE =Vect{(1,2,3); (4,5,6); (7,8,9)}et F=Vect{(1,2,3); (4,5,6); (5,7,9)}.

D ´eterminer une base deE et une base deF.

D ´eterminer dans cette base deE les coordonn ´ees du vecteur u= (1,1,1).

(40)

Bases

Exemples

Base canonique deKⁿ: on posee_i= (0, ...,0,1,0, ...,0)o ù le 1 se trouve à la i^`êmeplace. On montre facilement que(e_i)ⁿ_i=1est une base deKⁿ. On l’appelle la base canonique deKⁿ. Son int ér êt est que siu= (α₁, ...,αn), alors ses coordonn ées dans la base canonique sontu= (α₁...α_n).

Autrement dit, avec les notations pr ´ec ´edentes,U= ^tu.

(41)

Bases

Exemples

SiKn[X]d ésigne l’espace vectoriel des polyn ômes à coefficients dansKet de degr é≤n, la famille(p_i)ⁿ_i=0o ù p_i(X) =Xⁱ est une base deKn[X]que l’on appelle la base canonique deKn[X].L à encore, siP(X) =∑ⁿ_i=0α_iXⁱ, ses coordonn ées dans la base canonique sont lesαi.

Attention,K[X], l’espace vectoriel de tous les polyn ˆomes `a coefficients dansKou l’espace des suites n’admettent pas de bases finies.

(42)

Bases

Exemples

SiKn[X]d ésigne l’espace vectoriel des polyn ômes à coefficients dansKet de degr é≤n, la famille(p_i)ⁿ_i=0o ù p_i(X) =Xⁱ est une base deKn[X]que l’on appelle la base canonique deKn[X].L à encore, siP(X) =∑ⁿ_i=0α_iXⁱ, ses coordonn ées dans la base canonique sont lesαi.

Attention,K[X], l’espace vectoriel de tous les polyn ˆomes `a coefficients dansKou l’espace des suites n’admettent pas de bases finies.

(43)

Bases

Th éor ème de la base incompl ète

SoitE unK−ev non r éduit à{0},(u₁,u₂, ...,ur)une famille g én ératrice de E et(v₁,v₂, ...,v_s)une famille libre de E (s<r).

On peut alors compl éter la famille libre par des vecteurs choisis dans la famille g én ératrice de façon à obtenir une base de E.

Th ´eor `eme

SoitE unK−ev de dimension finie, non r éduit à{0}.Alors E admet des bases et toutes ces bases ont le m ême nombre d’ él éments. Ce nombre s’appelle la dimension de E et se note dimE (par convention,dim{0}=0).

Exemples

Kⁿest un ev de dimensionnsurK.Kn[X]est de dimension n+1 surK.K[X]est de dimension infinie.

(44)

Bases

Th ´eor `eme

Exemples

(45)

Bases

Th ´eor `eme

Exemples

(46)

Bases

Propri ´et ´es

Toute sur-famille d’une famille g én ératrice est g én ératrice.

Toute sous-famille d’une famille libre est libre.

Une base est une famille libre maximale.

Une base est une famille g ´en ´eratrice minimale.

SiF est un sev d’un evE de dimension finie, alorsF est de dimension finie etdimF ≤dimE.

Soit(u₁,u₂, ...,u_n)une famille d’ él éments deE.Cette famille est une base deE ssi tout él ément deE s’ écrit d’une seule façon comme C.L. desu_i.

SoitE un ev de dimensionn.

Toute famille libre deEa au plusn ´el ´ements.

Toute famille g én ératrice deE a au moinsn él éments. Toute famille libre deE àn él éments est une base deE. Toute famille g én ératrice deE àn él éments est une base deE.

(47)

Bases

Propri ´et ´es

Toute sur-famille d’une famille g én ératrice est g én ératrice.

Toute sous-famille d’une famille libre est libre.

Une base est une famille libre maximale.

Une base est une famille g ´en ´eratrice minimale.

SiF est un sev d’un evE de dimension finie, alorsF est de dimension finie etdimF ≤dimE.

Soit(u₁,u₂, ...,u_n)une famille d’ él éments deE.Cette famille est une base deE ssi tout él ément deE s’ écrit d’une seule façon comme C.L. desu_i.

SoitE un ev de dimensionn.

Toute famille libre deEa au plusn ´el ´ements.

Toute famille g én ératrice deE a au moinsn él éments.

Toute famille libre deE àn él éments est une base deE.

Toute famille g én ératrice deE àn él éments est une base deE.

(48)

Bases

Th ´eor `eme

SiE est de dimension finie, alors tout sevF deE admet au moins un suppl ´ementaireGdans E.

Th ´eor `eme

SoientF etGdeux sev d’unK-evE de dimension finie. Si







F ⊂G (ouG⊂F) et

dimF= dimG

alors F =G.

Th ´eor `eme

SoientF etGdeux sev d’unK-evE de dimension finie, les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(i)F etGsont suppl ´ementaires dansE.

(ii)La sommeF+Gest directe etdim(F) + dim(G) = dim(E). (iii)E=F+Getdim(F) + dim(G) = dim(E).

(49)

Bases

Th ´eor `eme

SoientF etGdeux sev d’unK-evE de dimension finie.

Si







F⊂G (ouG⊂F) et

dimF= dimG

alors F =G.

Th ´eor `eme

(ii)La sommeF+Gest directe etdim(F) + dim(G) = dim(E). (iii)E=F+Getdim(F) + dim(G) = dim(E).

(50)

Bases

Th ´eor `eme

SoientF etGdeux sev d’unK-evE de dimension finie.

Si







F⊂G (ouG⊂F) et

dimF= dimG

alors F =G.

Th ´eor `eme

(ii)La sommeF+Gest directe etdim(F) + dim(G) = dim(E).

(iii)E=F+Getdim(F) + dim(G) = dim(E).

(51)

Bases

Exercice SoientD=

x∈R²;x₁+2x₂=0 et∆ =

x ∈R²;2x₁=x₂ deux sous-espace vectoriels deR².

1 D ´eterminer les dimensions deDet∆.

2 Montrer queR²=D⊕∆.

(52)

Bases

Proposition : une autre caract ´erisation

SoientF₁,F₂, ...,F_pp sev d’unK-espace vectorielE.

AlorsE=F₁⊕F₂⊕...⊕F_psi et seulement si la r éunion des bases de chaqueF_i est égale à une base deE.

Th ´eor `eme des 4 dimensions ou Formule de Grassmann SiE est un ev de dimension finie et siF etGsont deux sev de E, alors :

dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).

(53)

Bases

Proposition : une autre caract ´erisation

SoientF₁,F₂, ...,F_pp sev d’unK-espace vectorielE.

AlorsE=F₁⊕F₂⊕...⊕F_psi et seulement si la r éunion des bases de chaqueF_i est égale à une base deE.

Th ´eor `eme des 4 dimensions ou Formule de Grassmann SiE est un ev de dimension finie et siF etGsont deux sev de E, alors :

dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).

(54)

Rang d’une famille de vecteurs

D ´efinition

SoitU = (u₁,u₂, ...,u_n)une famille d’ ´el ´ements d’unK−evE. On appelle rang de la familleU, la dimension de

Vect{u₁,u₂, ...,un}.

On montre que ce rang est égal au nombre maximum de vecteurs lin éairement ind épendants dans la familleU.

Exercice

Soitu1= (1,1,1);u2= (1,1,−1);u3= (1,−1,1);

u₄= (2,2,−2);u₅= (3,1,1)etE le sous-espace vectoriel de R³engendr ´e par la familleU ={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅}.

D ´eterminer le rang deU (on pourra en d ´eduire queE=R³).

(55)

Rang d’une famille de vecteurs

D ´efinition

SoitU = (u₁,u₂, ...,u_n)une famille d’ ´el ´ements d’unK−evE. On appelle rang de la familleU, la dimension de

Vect{u₁,u₂, ...,un}.

On montre que ce rang est égal au nombre maximum de vecteurs lin éairement ind épendants dans la familleU. Exercice

Soitu₁= (1,1,1);u₂= (1,1,−1);u₃= (1,−1,1);

u₄= (2,2,−2);u₅= (3,1,1)etE le sous-espace vectoriel de R³engendr ´e par la familleU ={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅}.

D ´eterminer le rang deU (on pourra en d ´eduire queE=R³).

(56)

Applications lin ´eaires

D ´efinition

SoitE etF deuxK-ev (K=RouC). On dit qu’une application ϕ:E→F est une applicationK-lin ´eaire ou queϕ est un homomorphisme deK-ev si :

∀(u,v)∈E², ϕ(u+v) =ϕ(u) +ϕ(v)

∀α ∈K, ∀u∈E,ϕ(αu) =α ϕ(u)

Proposition

Soitϕ : E→F,E etF deuxK-ev. Alorsϕ est lin ´eaire ssi :

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K², ϕ(αu+βv) =α ϕ(u) +β ϕ(v) et on a alors :

∀(u₁, ...,un)∈Eⁿ, ∀(α1, ...,αn)∈Kⁿ, ϕ

n

∑

i=1

α_iu_i

!

=

n

∑

i=1

α_iϕ(u_i)

(57)

Applications lin ´eaires

D ´efinition

SoitE etF deuxK-ev (K=RouC). On dit qu’une application ϕ:E→F est une applicationK-lin ´eaire ou queϕ est un homomorphisme deK-ev si :

∀(u,v)∈E², ϕ(u+v) =ϕ(u) +ϕ(v)

∀α ∈K, ∀u∈E,ϕ(αu) =α ϕ(u)

Proposition

Soitϕ : E→F,E etF deuxK-ev. Alorsϕ est lin ´eaire ssi :

∀(u,v)∈E², ∀(α,β)∈K², ϕ(αu+βv) =α ϕ(u) +β ϕ(v) et on a alors :

∀(u₁, ...,un)∈Eⁿ, ∀(α₁, ...,αn)∈Kⁿ, ϕ

n

∑

i=1

α_iu_i

!

=

n

∑

i=1

α_iϕ(u_i)

(58)

Applications lin ´eaires

Remarques

Siϕ est lin ´eaire alorsϕ(0_E) =0_F.

On noteL(E,F)l’ensemble des applications lin ´eaires deE dansF etL(E)l’ensemble des applications lin ´eaires deE dansE (endomorphismes deE). Il est facile de voir que (L(E,F),+, .)est unK-espace vectoriel.

Exercice

D ´eterminer si les applications suivantes sont lin ´eaires :

1 f(x,y) =2x+3y.

2 g(x,y,z) = (x−y,x+z,x+y+z+2).

3 h(x,y,z) = (x−y,x+z,x+y+z).

(59)

Applications lin ´eaires

Remarques

Siϕ est lin ´eaire alorsϕ(0_E) =0_F.

On noteL(E,F)l’ensemble des applications lin ´eaires deE dansF etL(E)l’ensemble des applications lin ´eaires deE dansE (endomorphismes deE). Il est facile de voir que (L(E,F),+, .)est unK-espace vectoriel.

Exercice

D ´eterminer si les applications suivantes sont lin ´eaires :

1 f(x,y) =2x+3y.

2 g(x,y,z) = (x−y,x+z,x+y+z+2).

3 h(x,y,z) = (x−y,x+z,x+y+z).

(60)

Applications lin ´eaires

Proposition

SoitE etF deuxK-ev etϕ∈L(E,F). Alors, pour tout sevE₁ deE,ϕ(E1)est un sev deF. En particulier,ϕ(E)est un sev de F, qui s’appelle l’image deϕ et qui se noteImϕ.

Imϕ={v ∈F /∃u∈E avecϕ(u) =v}

(61)

Applications lin ´eaires

Proposition

SoitE etF deuxK-ev etϕ∈L(E,F). Alors, pour tout sevE₁ deE,ϕ(E1)est un sev deF. En particulier,ϕ(E)est un sev de F, qui s’appelle l’image deϕ et qui se noteImϕ.

Imϕ={v ∈F /∃u∈E avecϕ(u) =v}

(62)

Applications lin ´eaires

Proposition

SoitE etF deuxK-ev etϕ∈L(E,F). Alors, pour tout sevF₁ deF,ϕ⁻¹(F₁)est un sev deE. En particulier,ϕ⁻¹({0})est un sev deE qui s’appelle le noyau deϕet que l’on notekerϕ.

kerϕ={u∈E/ϕ(u) =0_F}

(63)

Applications lin ´eaires

Proposition

SoitE etF deuxK-ev etϕ∈L(E,F). Alors, pour tout sevF₁ deF,ϕ⁻¹(F₁)est un sev deE. En particulier,ϕ⁻¹({0})est un sev deE qui s’appelle le noyau deϕet que l’on notekerϕ.

kerϕ={u∈E/ϕ(u) =0_F}

(64)

Applications lin ´eaires

Proposition

Soitϕ∈L(E,F).Alors : ϕ surjective⇐⇒Imϕ=F ϕ injective⇐⇒kerϕ={0}

(65)

Composition

Proposition

Soit E,F et G troisK-ev. Soitϕ∈L(E,F)etψ∈L(F,G).

Alorsψ◦ϕ∈L(E,G).

Proposition

Soit E et F deuxK-ev etϕ∈L(E,F). Siϕest bijective, alorsϕ⁻¹∈L(F,E). Vocabulaire

Siϕ∈L(E,F)et siϕ est bijective, on dit queϕ est un

isomorphisme d’espaces vectoriels et queE etF sont deux ev isomorphes. Un endomorphisme bijectif deE s’appelle un automorphisme deE.

(66)

Composition

Proposition

Soit E et F deuxK-ev etϕ∈L(E,F).

Siϕest bijective, alorsϕ⁻¹∈L(F,E).

Vocabulaire

(67)

Composition

Proposition

Soit E et F deuxK-ev etϕ∈L(E,F).

Siϕest bijective, alorsϕ⁻¹∈L(F,E).

Vocabulaire

(68)

Applications lin ´eaires et bases

Proposition

Soit E et F deuxK-ev, E de dimension finien.

Soit{e₁,e₂, ...,e_n}une base de E etu₁,u₂, ...,u_nn vecteurs de F. Il existe alors une unique application lin ´eaireϕ de E dans F telle que, pour touti=1,2, ...,n ϕ(e_i) =u_i.

Autrement dit, une application lin éaire est d étermin ée de mani ère unique par l’image des vecteurs d’une base deE.

Proposition

Soit{e₁,e₂, ...,e_n}une base de E etϕ∈L(E,F).

Alors{ϕ(e₁),ϕ(e₂), ...,ϕ(e_n)}est une famille g én ératrice de Imϕ.On d éfinit le rang deϕ par :rangϕ= dimImϕ.

(69)

Applications lin ´eaires et bases

Proposition

Soit E et F deuxK-ev, E de dimension finien.

Soit{e₁,e₂, ...,e_n}une base de E etu₁,u₂, ...,u_nn vecteurs de F. Il existe alors une unique application lin ´eaireϕ de E dans F telle que, pour touti=1,2, ...,n ϕ(e_i) =u_i.

Autrement dit, une application lin éaire est d étermin ée de mani ère unique par l’image des vecteurs d’une base deE.

Proposition

Soit{e₁,e₂, ...,e_n}une base de E etϕ∈L(E,F).

Alors{ϕ(e₁),ϕ(e₂), ...,ϕ(e_n)}est une famille g én ératrice de Imϕ.On d éfinit le rang deϕ par :rangϕ= dimImϕ.

(70)

Applications lin ´eaires et bases

Remarque

rangϕ≤dimE et, siF est aussi de dimension finie, rangϕ≤dimF.

Proposition

Soit E de dimension finie etϕ∈L(E,F).Alors : ϕ injective⇐⇒rangϕ= dimE Si de plus F est de dimension finie, alors :

ϕ surjective⇐⇒rangϕ= dimF et donc si E et F sont de dimensions finies, alors :

ϕbijective⇐⇒rangϕ= dimE= dimF

(71)

Applications lin ´eaires et bases

Remarque

rangϕ≤dimE et, siF est aussi de dimension finie, rangϕ≤dimF.

Proposition

Soit E de dimension finie etϕ∈L(E,F).Alors : ϕ injective⇐⇒rangϕ= dimE Si de plus F est de dimension finie, alors :

ϕ surjective⇐⇒rangϕ= dimF et donc si E et F sont de dimensions finies, alors :

ϕ bijective⇐⇒rangϕ= dimE= dimF

(72)

Th ´eor `eme du rang

Soit E unK-ev de dimension finienetϕ∈L(E,F).Alors : dimE= dim kerϕ+rangϕ

Corollaire

Soitϕ∈L(E,F), E et F deuxK-ev tous les deux de

dimensions finies. Alorsϕ est bijective ssi il existe une base de E qui a pour image parϕune base de F, et alors toute base de E a pour image parϕ une base de F.

(73)

Th ´eor `eme du rang

Corollaire

Soitϕ∈L(E,F), E et F deuxK-ev tous les deux de

dimensions finies. Alorsϕest bijective ssi il existe une base de E qui a pour image parϕune base de F, et alors toute base de E a pour image parϕ une base de F.

(74)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

Soit(e₁, ...,ep)une base dekerϕ.On la compl `ete en une base deE par e_p+1, ...,e_n

(Th éor ème de la base incompl ète). On sait que ϕ(e₁), ...,ϕ(e_p),ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

est une famille g ´en ´eratrice deImϕ. Comme lese_i pouri=1, ...,psont dans kerϕ,ϕ(e₁) =· · ·=ϕ(e_p) =0. Donc la famille

ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

est g ´en ´eratrice deImϕ.

(75)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

(Th éor ème de la base incompl ète).

On sait que ϕ(e₁), ...,ϕ(e_p),ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

(76)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

est une famille g ´en ´eratrice deImϕ.

Comme lese_i pouri=1, ...,psont dans kerϕ,ϕ(e₁) =· · ·=ϕ(e_p) =0. Donc la famille

ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

(77)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

(78)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

Montrons qu’elle est libre : soitα_i des scalaires tels que :

∑ⁿ_i=p+1α_iϕ(e_i) =0⇒ϕ

∑ⁿ_i=p+1α_ie_i

=0 (ϕ lin ´eaire)

⇒∑ⁿ_i=p+1αie_i∈kerϕ⇒∑ⁿ_i=p+1αie_i=∑^p_i=1βie_i

⇒∑ⁿ_i=p+1α_ie_i−∑^p_i=1β_ie_i=0⇒α_i=0 etβ_i=0 (lese_i forment une base)

⇒la famille ϕ(e_p+1), ...,ϕ(e_n)

est libre.

C’est donc une base deImϕ. D’o ùrangϕ=n−p, ce qui donne l’ égalit é.

(79)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

Montrons qu’elle est libre :

soitα_i des scalaires tels que :

∑ⁿ_i=p+1α_ie_i

=0 (ϕ lin ´eaire)

est libre.

(80)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

∑ⁿ_i=p+1α_ie_i

=0 (ϕ lin ´eaire)

est libre.

(81)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

∑ⁿ_i=p+1α_ie_i

=0 (ϕ lin ´eaire)

⇒∑ⁿ_i=p+1α_ie_i∈kerϕ⇒∑ⁿ_i=p+1α_ie_i=∑^p_i=1β_ie_i

est libre.

(82)

Th ´eor `eme du rang : preuve

Preuve

∑ⁿ_i=p+1α_ie_i

=0 (ϕ lin ´eaire)

⇒∑ⁿ_i=p+1α_ie_i∈kerϕ⇒∑ⁿ_i=p+1α_ie_i=∑^p_i=1β_ie_i

est libre.