Groupes et géométrie, feuille 8

Groupes et géométrie, feuille 8

N. Perrin

À rendre le mercredi 01.04.2020 Correction le jeudi 02.04.2020

Exercice 1 (20×5 = 100 Points) Soit n ≥ 3 un entier. On considère les matrices suivantes deGL₂(R):

σ=

1 0

0 −1

etτ=

cos ^2π_n

−sin ^2π_n sin ^2π_n

cos ^2π_n

.

On noteGle sous-groupe de GL₂(R)engendré parσetτ, on noteH le sous- groupe deGengendré parσetKle sous-groupe engendré parτ:G=hσ, τi, H= hσi, K =hτi. On poseK⁰={g∈G| det(g) = 1}et on définit les vectuersX₀ etY₀deR² par

X₀=

1

0

et Y₀=

−1

0

.

(i) Donner l’ordre deσ.

(ii) Donner une interprétation géométrique pourτ et donner son ordre.

(iii) SiGest d’ordre fini, que peut-on dire sur son ordre ? (iv) Montrer queστ=τⁿ⁻¹σ.

(v) Donner tous les éléments deG,H etK.

(vi) Combien y a-t-il de classe à gauche deGmoduloH ? (vii) DécrireG/H.

(viii) A-t-onH / G? Si oui décrire le groupe quotientG/H.

(ix) A-t-onK / G? Si oui décrire le groupe quotientG/K.

(x) Le sous-ensemble K⁰ de G est-il un sous-groupe de G ? Si oui, a-t-on K⁰/ G?

(xi) ComparerK etK⁰.

(xii) Existe-t-il un sous-groupe deGisomorphe àG/K ? (xiii) CalculerD(G). À quel groupe est isomorpheG/D(G)?

1

(xiv) Montrer que la multiplication des matrices définit une actionG×R²→R², (M, X)7→M·X=M X.

(xv) L’action est-elle transitive ? (xvi) L’action est elle fidèle ?

(xvii) Quels sont les points fixes de l’action ? (xviii) Quel est le stabilisateurGX₀ du vecteurX0 ? (xix) Décrire l’orbite du vecteurX0.

(xx) Quel est le stabilisateurGS du segmentS = [X0Y0].

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