Feuille 8,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 26.03.2018 Correction le 03.04.2018
Exercice 1 (6×10 = 60 Points) SoientAun anneau commutatif intègre,K son corps des fractions, etI, J deux sous-A-modules deK.
On note IJ l’ensemble des sommes finiesx1y1+· · ·+xnyn avec xi ∈I et yi∈J pour touti. C’est un sous-A-module de K. (Attention, I,J etIJ sont des sous-A-modules deK, on ne les suppose pas contenus dansA, c’est-à-dire que ce ne sont pas nécessairement des idéaux deA.
D’autre part, soit p un idéal premier de A et soit S = A\p. On note Ap=S−1Aet pour tout sous-A-moduleM deK, on note
Mp=nx
s ∈K|x∈M, s∈So .
C’est le localisé de M en la partie multiplicative S. On ne demande pas de vérifier ce point, c’est-à-dire qu’on prend l’égalité ci-dessus comme définition de Mp. Alors, il est clair que Mp est encore un sous-A-module (et même, un sous-Ap-module) de K. On obtient ainsi lesA-modulesIp,Jp,(IJ)p, etc.
1. Montrer que(IJ)p=IpJp.
Désormais, on suppose que I est un idéal de A, non nul. On définit le sous-ensemble suivant deK :
(A:I) ={y∈K | ∀x∈I, xy∈A}={y∈K| Iy⊂A}.
SiIest un idéal non nul de l’anneauAp, on définit de façon analogue(Ap:I) = {y∈K | ∀x∈I, xy∈Ap}={y∈K|Iy⊂Ap}.
2. Montrer que (A:I) est un sous-A-module de K et que I(A :I)est un idéal deA.
On dira que Iest unidéal inversiblesi on a l’égalitéI(A:I) =A.
3. Décrire (A:I)lorsqueI est principal. En déduire que siA est principal, tout idéal non nul deAest inversible.
4. On suppose queI est un idéal deAde type fini. Montrer dans ce cas que (A:I)p= (Ap:Ip).
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5. SoitLun idéal deA. Montrer que siLm =Am pour toutmidéal maximal deA, alorsL=A. (Indication : siL6=A, il existe un idéal maximalmtel que L⊂m).
Désormais, on suppose que l’anneauAvérifie les trois conditions suivantes : (a) Aest intègre et tout idéal deA est de type fini ;
(b) tout idéal premier non nul deAest maximal ;
(c) pour tout idéal maximalm, l’anneau localiséAm est principal.
Un tel anneau s’appelle un anneau de Dedekind.
6. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que tout idéal non nul de Aest inversible.
Exercice 2 (2×10 = 20 points) SoitAle sous-anneau du corpsC(X)formé des fractions rationnelles déefinies en0, c’est-à-dire
A= P
Q
P, Q∈C[X]et Q(0)6= 0
.
SoitN un sous-A-module deC(X)tel queN ( C(X).
1. Montrez queN est engendré parXn pour un certainn∈Z.
2. En déduire que leA-moduleC(X)ne possède pas de sous-module maximal.
Exercice 3 (20 Points) SoientAun anneau commutatif, soitm⊂Aun idéal maximal deA, et soitS={a∈A |a6∈m}. Montrer que pour toutn≥1, on a
A/mn =S−1(A/mn).
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