Complexes (sans géométrie) Feuille 10

Complexes (sans géométrie) Feuille 10

Exercice10.1

Déterminer le lieu géométrique des pointsM dont l’affixezvérifie z−1 z+ 1 ∈iR.

Exercice10.2

Déterminer les nombres complexesuetvtels que|u+iv|² =u²+v².

Exercice10.3

Soitω∈C\U.Démontrer que l’applicationfω:U−→Udéfinie par :

∀z∈U, f_ω(z) = z+ω ωz+ 1

est une bijection dont on précisera la bijection réciproque.

Exercice10.4

1. Soitz, z⁰∈C. Montrer que :

|z|²+|z⁰|²= 1

2 |z+z⁰|²+|z−z⁰|²

2. En déduire que, pour toutz, z⁰, u∈C³, tels queu² =zz⁰:

|z|+|z⁰|=

z+z⁰ 2 +u

+

z+z⁰ 2 −u

Exercice10.5

Soitn∈N,

1. CalculerS₁= X

0≤2k≤n

Çn 2k

å

etS₂ = X

0≤2k+1≤n

Ç n 2k+ 1

å

2. Calculer X

0≤3k≤n

Çn 3k

å

Exercice10.6

Résoudre dansCl’équation suivante :(1 +i)z²+ (1−i)z+ 2(1 +i) = 0.

Exercice10.7

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Sia+ib=c+idalorsa=cetb=d.

2. On a|2 +i|=√

2²+i² =√

4−1 =√ 3.

3. L’ensemble des points dont l’affixe est d’argument nul est la droite réelle.

4. Siz³₁ etz₂³sont conjugués, alorsz1etz2sont conjugués.

Exercice10.8

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE X - COMPLEXES (SANS GÉOMÉTRIE)

1. Mettre sous forme exponentiellez₁= 1 +i, z₂ = 1−i, z₃ =√

3 +ietz₄=

√3 +i

1−i . 2. CalculerZ₁= (z₁)²⁰¹⁸etZ₄ = (z₄)²⁰

3. Déterminer les entiers naturelsntels queω_n= (z₃)ⁿsoit un nombre réel.

Exercice10.9

Résoudre dansCle système d’équations suivant :

®uv = 1−8i

u²+v² =−2−16i.

Exercice10.10

1. Calculer sous forme exponentielle les racines carrées de−18i,1−iet−√ 3 +i.

2. Calculer sous forme cartésienne les racines carrées de3−4iet−5−12i.

Exercice10.11

On fixen∈N. Résoudre dansCl’équation suivante :zⁿ=z.

Exercice10.12

Déterminera, b, c, d∈Ctels que, pour toutz∈C, az+b= (cz+d)z.

Exercice10.13

Pourz6=−i, on poseZ = z² z+i.

1. Déterminer l’ensembleAdes pointszpour lesquelsZ est imaginaire pur.

2. Résoudre, pouraréel fixé,z²+ 2iaz−2a= 0.Montrer que l’ensemble des solutions est inclus dansA.

Exercice10.14

Pourn≥2, calculer

n−1

X

k=0

(k+ 1)e^2ikπn

Exercice10.15

Soitm∈N. Calculer Z π

0

sin^2mt×cos(2mt) dt.

Exercice10.16

Soitnun entier naturel supérieur à 2. Calculer

n−1

X

k=0

|ω^k−1|², oùω = e^2iπn.

Exercice10.17

Soita∈Rtel quecosa6= 0. CalculerCn=

n

X

k=0

cos(ka)

(cosa)^k etSn=

n

X

k=0

sin(ka) (cosa)^k.

Exercice10.18

Soit n ∈ N^∗, et P ∈ C[X]un polynôme de degré n, tel que P(0) = 1 et P(1) = 0.On note, pour tout k∈J0 ; nK, ω_k=e^2ikπn+1.

1. Montrer que

n

X

k=0

P(ω_k) =n+ 1.

2. En déduire que sup

|z|=1

|P(z)| ≥1 + 1 n.

Exercice10.19

Soitn∈Navecn≥3et(α, β, γ)∈U³ tel queαⁿ=βⁿ =γⁿ= 1etα+β+γ = 0.Montrer quenest un multiple de 3.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

FEUILLE X - COMPLEXES (SANS GÉOMÉTRIE)

Exercice10.20

Irrationalité de 1

πarccos1 p :

Le but de l’exercice est de montrer que sicosθ = 1

p, oùpest un entier impair supérieur ou égal à 3, alors θ π est irrationnel.

On raisonne par l’absurde en supposant que θ π = m

n, avecmetnpremiers entre eux.

1. Déterminer explicitement des polynômesT_netU_ntels que :cos(nθ) =T_n(cosθ)etsin(nθ) = sinθ·U_n(cosθ).

2. Montrer quen=

bⁿ⁻¹₂ c

X

j=1

(−1)^j+1 Ç n

2j+ 1 å

(p²−1)^j, puis quenest pair etmimpair.

3. Montrer que1 =

bⁿ₄c

X

j=1

(−1)^j+1 Ç_n

2

2j å

(p²−1)^j. Conclure.

Exercice10.21

On recherche toutes les homographies (c’est-à-dire les fonctions non constantes de la formef :z 7−→ az+b cz+d oùa, b, c, d et z sont complexes), telles quef(U) = U. On noteH l’ensemble des homographies vérifiant cette condition.

1. Soitf ∈ H. Avec les notations précédentes, montrer que|a|²+|b|² =|c|²+|d|²etab=cd.

2. En déduire que(|c|, |d|)est égal à(|a|, |b|), ou(|b|, |a|).

3. Montrer qu’il existe un réelαtel que pour toutz, f(z) =e^iαaz+b bz+a. 4. Terminer l’exercice.

Exercice10.22

Montrer que pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

|cosk| ≥ n 4.

Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea