D 1991 Un X très prisé
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a,b,c les longueurs des côtés opposés à A,B,C.
A) Centre radical des trois cercles
Le point K appartient à l'axe radical (BC) des cercles et . Le point K appartient à l'axe radical (DE) des cercles et (ADE).
Donc K est le centre radical des trois cercles , et (ADE).
Si X désigne le point d'intersection des cercles et (ADE), autre que A, le point K appartient à l'axe radical (AX) des cercles et (ADE).
Ainsi sont assuré les appartenances du point X aux ensembles 1), 2), 3).
B) Coordonnées barycentriques de quelques points
On connaît l'équation de : a2yzb2zxc2xy 0
Pour un cercle quelconque, il existe des constantes u,v,w telle que son équation soit:
0 ) wz vy ux ( ) z y x ( xy c zx b yz
a2 2 2
Pour un cercle passant par B et C, les constantes v et w sont nulles.
Les points d'intersection du cercle et de la droite (DE) vérifient le système :
0 z
0 ) z y x ( ux xy c zx b yz
a2 2 2
On trouve les coordonnées de D :
0 u -
c u D
2
On trouve de même les coordonnées de E :
u - 0
b u E
2
L'équation de la droite (DE) est : u x u(u c )y u(u b )z 0 u
- 0
z
0 u
y
b u c u x
2 2
2 2 2
Le point K vérifie cette équation ainsi que l'équation x0 On obtient ainsi les coordonnées de K :
) c (u -
b u 0 K
2 2
Comme point de la droite (AK), le point X a des coordonnées du type :
) c (u -
b u x X
2 2
En écrivant que ces coordonnés vérifient l'équation de , on obtient :
) c )(u b - u(c -
) b )(u b - u(c
) c u )(
b u ( a X
2 2
2
2 2
2
2 2
2
Les droites (BE) et CD) ont pour équation :
(BE) : ux (u b )z 0
u - 0 z
0 1 y
b u 0 x
2 2
, (CD) : ux (u c )y 0
0 1 z
u 0
y
c u 0 x
2 2
On en déduit les coordonnées de leur point commun P :
) c u(u
) b u(u
) c u )(
b (u - P
2 2
2 2
La perpendiculaire en X à la droite (AK) passe par le point A' diamétralement opposé au point A, sur le cercle .
Le centre O du cercle a pour coordonnées :
) c b a ( c
) c b a ( b
) c b a ( a O
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Comme point de la droite (OA), le point A' a des coordonnées du type :
) c b a ( c
) c b a ( b x ' A
2 2 2 2
2 2 2 2
En écrivant que ces coordonnés vérifient l'équation de , on obtient :
) c b a ( 2c
) c b a ( 2b
) c b a )(
c b (a - ' A
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Le déterminant dont les trois colonnes sont les coordonnées des trois points P, X, A', est nul.
Donc les points P, X et A' sont alignés.
Pour obtenir les coordonnées du point , on va utiliser la polarité par rapport à . Le point est le pôle de la droite de l'infini d'équation xyz0.
Si M désigne la matrice symétrique de la forme quadratique liée au cercle , alors le triplet des coordonnées de s'obtient comme image du triplet (1,1,1) par M1.
0 a
b u
a 0
c u
b u c u u 2 M
2 2
2 2
2 2
La matrice inverse M1 est proportionnelle à la matrice M' suivante :
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
4
) c u ( )
c u )(
b u ( u a 2 ) c u ( a
) c u )(
b u ( u a 2 )
b u ( )
b u ( a
) c u ( a )
b u ( a a
' M
On obtient les coordonnées de :
u a 2 ) c b a )(
c (u
u a 2 ) c b a ( b (u
) u 2 c b a ( a
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
Le déterminant dont les trois colonnes sont les coordonnées des trois points P, X, , est nul.
Donc les points P, X et sont alignés.
Finalement les quatre points P, X, , A' sont alignés sur une perpendiculaire à (AK).
Ceci assure les appartenances du point X aux ensembles 4) et 5).
C) Coordonnées barycentriques des derniers points
Comme point de la droite (CD), le point F a des coordonnées du type : z
u -
c u F
2
En écrivant que ces coordonnés vérifient l'équation de , on obtient :
) c (u u c
)) a b ( u c b ( u -
)) a b ( u c b ( ) c u ( F
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
On trouve de même les coordonnées de G :
)) a c ( u c b ( u -
) b u ( u b
)) a c ( u c b ( ) b u ( G
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
La tangente en B à est la polaire de B par rapport à .
Son équation est donc : c x a z 0
0 1 0 M ) z , y , x
( 2 2
Le point M vérifie cette équation ainsi que celle de (DE).
On trouve les coordonnées de M :
) c u ( c -
) a c ( u c b
) c u ( a M
2 2
2 2 2
2
2 2
On trouve de même les coordonnées de L :
) a b ( u c b
) b u ( b -
) b u ( a L
2 2 2
2
2 2
2 2
Le déterminant, dont les trois colonnes sont les coordonnées des trois points M, F, X, est nul.
Donc les points M, F X sont alignés.
Le déterminant, dont les trois colonnes sont les coordonnées des trois points L, G, X, est nul.
Donc les points L, G, X sont alignés.
Ceci assure les appartenances du point X aux ensembles 6) et 7).
