GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 2

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 2

ANDREAS HÖRING

1. Montrer que

Γ(P¹,O_P¹(k)) =







0 sik <0,

C sik= 0,

polynômes homogènes en deux variables de degrék sik >0.

Généraliser au cas des fibrés en droitesOPⁿ(k) surPⁿ.

2. Utiliser le théorème de comparaison pour calculer la cohomologie du fibré en droitesK_P1 'O_P¹(−2) surP¹.

3. Soit X une variété complex de dimension n, et soient S, E et Q des fibrés vectoriels holomorphes surX. Soient φ:S →E et ψ:E→Qdes morphismes de fibrés vectoriels. On dit que la suite

S→^φ E→^ψ Q est exacte àE si imφ= kerψ.

a) Soit

0→S→^φ E→^ψ Q→0.

une suite exacte de fibrés vectoriels, c’est-à-dire une suite qui est exacte àS, E et Q. Montrer qu’on a un isomorphisme canonique

detE'detS⊗detQ.

b) Montrer que surPⁿ on a la suite exacte d’Euler

0→OPⁿ→OPⁿ(1)^⊕n+1→T_Pⁿ→0.

Déduire que

K_P^∗n'OPⁿ(n+ 1).

c) SoitH ⊂Pⁿ une sous-variété projective définie par un polynôme homogène de degréed. Montrer que nous avons une suite exacte surH

0→TY →T_Pⁿ|H →OPⁿ(d)|H→0,

oùT_Y →T_Pn|H est l’inclusion naturelle entré les fibrés tangent. Déduire que K_H^∗ 'O_Pⁿ(n+ 1−d)|_H.

Généraliser au cas d’une intersection complète. Déduire que la cubique gauche dans P³ n’est pas une intersection complète.

Date: 16th November 2008.

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4. Soit X une variété complexe. Un faisceau en groupe abélien F sur X est la donnée

a) d’un groupe abélienF(U) pour tout ouvertU ⊂X et b) d’un morphisme de groupe abéliens

r_{U V} :F(U)→F(V),

pour toute inclusion V ⊂ U entre des ensembles ouverts, qui satisfont les condi- tions :

(1) F(∅) = 0.

(2) r_{U U} est l’application identitéF(U)→F(U).

(3) SiW ⊂V ⊂U sont trois ouverts, alorsrU W =rV W ◦rU V.

(4) Si U est un ouvert, (Vi)_i∈I est un recouvrement ouvert deU et s∈F(U) tel querU V_i(s) = 0 pour touti∈I, alorss= 0.

(5) SiU est un ouvert, (V_i)_i∈I est un recouvrement ouvert deU ets_i∈F(V_i) tels que

r_Vi(Vi∩Vj)(si) =r_Vj(Vi∩Vj)(sj)

pour touti, j∈I, alors il exists un uniques∈F(U) tel que rU V_i(s) =si. Soit maintenantE un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout ouvert U ⊂X posons Γ(U, E) pour l’espace vectoriel des sections deE|U. SiV ⊂U est un ouvert on définitr_{U V} : Γ(U, E)→Γ(V, E) en prenant la restriction d’une section deE|_U à l’ouvertV. Montrer que ceci définit un faisceau en groupe abélien sur X qu’on appelera le faisceau des sectionsOX(E).

5. (Groupe de Picard)

SoitX une variété complexe et soitπ :E →X un fibré vectoriel holomorphe de rangrsurX. Soit (U_α)_α∈Aun recouvrement ouvert deX tel queE|_Uα est trivial.

Posonsgαβ:Uα∩Uβ→GL(C, r) pour les fonctions de transition.

a) Montrer que les fonctions de transition satisfont les relations g_αβ◦g_βγ◦g_γα=Id

surUα∩Uβ∩Uγ et

gαα=Id surUα.

b) Vice versa, étant donné (Uα)α∈A un recouvrement ouvert deX et des fonctions holomorphes g_αβ : U_α∩U_β → GL(C, r) qui satisfont ces relations, montrer qu’il existe un fibré vectoriel holomorpheEdont les fonctions de transition sont données pargαβ.

c) Supposons maintenant que E est de rang un, les fonctions de transition sont donc des applications holomorphes

gαβ:Uα∩Uβ→C^∗.

Montrer queEest isomorphe au fibré trivialOXsi et seulement si, quitte à prendre un recouvrement plus fin, il existe des fonctions holomorphess_α :U_α →C^∗ telles que

gαβ= sβ

s_α

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surUα∩Uβ.

d) Montrer que l’ensemble des fibrés en droites holomorphes a une structurelle naturelle de groupe commutatif. On appelle ce groupe le groupe de Picard Pic(X).

Montrer que le groupe de Picard est isomorphe au groupe de cohomologie de Čech Hˇ¹(X,OX^∗).

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