GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 2

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 2

ANDREAS HÖRING

1 . Soit f : X → Y une application holomorphe entre variétés complexes.

a) Montrer que l’application pull-back

f ^∗ : C ^∞ (Y, Ω ^k _Y, C ) → C ^∞ (X, Ω ^k _X, C ) préserve la décomposition en formes de type (p, q).

c) Montrer que pour tout p, q ∈ N , le pull-back induit des application linéaires naturelles (c’est-à-dire fonctorielles)

f ^∗ : H ^p,q (Y ) → H ^p,q (X).

2 . Montrer que

Γ( P ¹ , O _P

(k)) =







0 si k < 0,

C si k = 0,

polynômes homogènes en deux variables de degré k si k > 0.

Généraliser au cas des fibrés en droites O _P

(k) sur P ⁿ . 3 . (Groupe de Picard)

Soit X une variété complexe et soit π : E → X un fibré en droites holomorphe, c’est-à-dire un fibré vectoriel holomorphe de rang un sur X . Soit (U α ) α∈A un recouvrement ouvert de X tel que E| _U

est trivial. Les fonctions de transition sont donc des applications holomorphes

g αβ : U α ∩ U β → C ^∗ .

a) Montrer que E est isomorphe au fibré trivial O _X si et seulement si, quitte à prendre un recouvrement plus fin, il existe des fonctions holomorphes s α : U α → C ^∗ telles que

g αβ = s β

s α

sur U α ∩ U β .

b) Montrer que l’ensemble des fibrés en droites holomorphes a une structure na- turelle de groupe commutatif. On appelle ce groupe le groupe de Picard Pic(X ).

Montrer que le groupe de Picard est isomorphe au groupe de cohomologie de Čech H ˇ ¹ (X, O ^∗

X ).

Date: 17th November 2009.

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4 . Soit X une variété complexe. Un faisceau en groupe abélien F sur X est la donnée

a) d’un groupe abélien F (U ) pour tout ouvert U ⊂ X et b) d’un morphisme de groupe abéliens

r U V : F (U ) → F (V ),

pour toute inclusion V ⊂ U entre des ensembles ouverts, qui satisfont les condi- tions :

(1) F (∅) = 0.

(2) r U U est l’application identité F (U ) → F (U ).

(3) Si W ⊂ V ⊂ U sont trois ouverts, alors r _{U W} = r _{V W} ◦ r _{U V} .

(4) Si U est un ouvert, (V i ) i ∈ I est un recouvrement ouvert de U et s ∈ F (U ) tel que r U V

(s) = 0 pour tout i ∈ I, alors s = 0.

(5) Si U est un ouvert, (V i ) i∈I est un recouvrement ouvert de U et s i ∈ F (V i ) tels que

r V

(V

∩V

) (s i ) = r V

(V

∩V

) (s j )

pour tout i, j ∈ I, alors il exists un unique s ∈ F (U ) tel que r U V

(s) = s i . a) Soit maintenant E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout ouvert U ⊂ X posons Γ(U, E) pour l’espace vectoriel des sections de E| _U . Si V ⊂ U est un ouvert on définit r U V : Γ(U, E) → Γ(V, E) en prenant la restriction d’une section de E| U

à l’ouvert V . Montrer que ceci définit un faisceau en groupe abélien sur X qu’on appelera le faisceau des sections O _X (E).

b) Soit F on faisceau de O _X -modules (c’est-à-dire sur chaque ouvert U ⊂ X , l’ensemble F (U ) a une structure de module sur l’anneau O _X (U ) des fonctions holomorphes sur U ). On dit que F est inversible s’il existe un recouvrement ouvert (U α ) α∈A tel que on a un isomorphisme de modules F (U α ) ≃ O _X (U α ). Montrer que nous avons une bijection entre les faisceaux inversibles et les fibrés en droites holomorphes sur X .

5 . Soit X une variété complexe de dimension n, et soient S, E et Q des fibrés vectoriels holomorphes sur X . Soient φ : S → E et ψ : E → Q des morphismes de fibrés vectoriels. On dit que la suite

S → ^φ E → ^ψ Q est exacte à E si im φ = ker ψ.

a) Soit

0 → S → ^φ E → ^ψ Q → 0.

une suite exacte de fibrés vectoriels, c’est-à-dire une suite qui est exacte à S, E et Q. Montrer qu’on a un isomorphisme canonique

det E ≃ det S ⊗ det Q.

b) Soit L → X un fibré en droites holomorphe, et soit σ ∈ Γ(X, L) une section non-nulle telle que

D := {x ∈ X | σ(x) = 0}

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est une sous-variété. Montrer que nous avons une suite exacte sur D 0 → T D → T X | D → L| D → 0,

où T D → T X | D est l’inclusion naturelle entré les fibrés tangent. Déduire la formule dite d’adjonction

K D ≃ (K X ⊗ L)| D . c) Montrer que sur P ⁿ on a la suite exacte d’Euler

0 → O _P

→ O _P

(1) ^⊕n+1 → T P

→ 0.

Déduire que

K P ^∗

≃ O _P

(n + 1).

d) Soit H ⊂ P ⁿ une sous-variété projective définie par un polynôme homogène de degrée d. Montrer que nous avons une suite exacte sur H

0 → T H → T P

| H → O _P

(d)| H → 0,

où T H → T P

| H est l’inclusion naturelle entré les fibrés tangent. Déduire que K _H ^∗ ≃ O _P

(n + 1 − d)| H .

Généraliser au cas d’une intersection complète. Déduire que la cubique gauche dans P ³ n’est pas une intersection complète.

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