Université de Bordeaux L2/2015 Topologie des espaces métriques
FEUILLE D’ EXERCICES N°4
(Continuité, Topologie induite, Topologie produit ) Exercice 1
Soient E etF deux espaces métriques etf :E→F une application.
1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
a) f est continue;
b) Pour toute partieB deF, f−1(B)◦ ⊂
◦
f−1(B); c) Pour toute partieB deF, f−1(B)⊂f−1(B); d) Pour toute partieAdeE,f(A)⊂f(A). 2) On suppose que f est continue surjective.
Montrer que siA est une partie dense deE, f(A)est dense dansF.
Exercice 2
Soient E etF deux espaces métriques etf ,g : E →F applications continues.
Montrer que l’ensemble{x∈E; f(x) =g(x)} est fermé dansE et en déduire que sif et gcoïncident sur une partie dense de E, f =g.
Application: Soit f : R→Rune application continue telle quef(x+y) =f(x) +f(y)pour
tous x, y∈R. Montrer que pour tout r∈Q, on af(r) =rf(1)et en déduire la forme explicite def.
Exercice 3
1. Montrer qu’un sous-espace Ad’un espace topologique est discret (i.e la topologie induite est discrète) si et seulement si tout point deA est isolé.
2. Les sous-espaces suivants de R, muni de la topologie usuelle, sont-ils discrets : Q, Z, R r Q,1
n;n∈N∗ ,1
n; n∈N∗ ∪ {0}? Exercice 4
SoitX un espace topologique etY un sous-espace deX. Montrer que tout ouvert (resp.fermé) deY est un ouvert (resp.fermé) deX si et seulement siY est un ouvert (resp. fermé) deX .
Exercice 5
SoitAet Y deux parties d’un espace topologiqueX. On suppose queA⊂Y. Établir les propriétés suivantes:
1. l’intérieur deApar rapport àX est contenu dans l’intérieur de Apar rapport au sous-espaceY. 2. Donner un exemple où ces deux ensembles sont distincts. Donner une condition surY pour qu’ils coïncident pour toutA.
3. La frontière deApar rapport àY est contenue dans l’intersection deY avec la frontière deAdans X. Donner un exemple où ces deux ensembles sont distincts.
Exercice 6
Soient X et Y deux espaces topologiques et soientAetB deux parties deX telles queX =A∪B. On considère une application f : X →Y dont les restrictionsf|Aet f|B sont continues.
1. f est-elle necessairement continue?
2. SiAet B sont fermés (resp. ouverts), prouver quef est continue.
Exercice 7
Soient (E1, d1)et(E2, d2)deux espaces métriques et soit(E, d)l’espace métrique produit.
1. Montrer que les projectionsP1etP2deE surE1 etE2 respectivement sont continues et ouvertes.
2. Montrer à l’aide d’un exemple que les projections ne sont pas fermées.
3. SoientAetBdeux parties deE1etE2respectivement . Montrer queA×B =A×BetA×◦B =
◦
A×B◦. 4. Soitf une application continue deE1 dansE2.
a. Montrer que le grapheG={(x, f(x), x∈E1}est fermé dans E1×E2. b. A-t-on la réciproque (Gfermé impliquef continue)?
Exercice 8
Soient (En, dn)n≥1 une suite d’espaces métriques etE=
∞
QEn n=1
. Pourx= (xn)ety= (yn)éléments deE, on pose:
d(x, y) =
∞
P
n=1 1
2nδn(xn, yn) oùδn =min(1, dn).
1
1. Montrer que ddéfinit est une distance sur E.
2. Soientx1, ..., xnéléments deE1, ...En respectivement etr1, ..., rndes réels strictement positifs.
Montrer que l’ensemble
U =
n
Q
k=1
Bdk(xk, rk)
∞
Q
k=n+1
Ek est un ouvert pourd.
b. Réciproquement, montrer que toute boule Bd(x, r)deE contient unU du type précédent.
Exercice 9
Soit(E,k.kun espace vectoriel normé etF un sous-espace vectoriel de E.
1. Montrer que si F 6=E,alorsF◦ =∅et que la frontière∂F de F est un sous-espace vectoriel de E. 2. SiAest une partie deE telle que sa frontière∂Asoit un sous-espace vectoriel deE, Aest-elle un sous-espace vectoriel?
Exercice 10
Soit(E, k.k)et(F,k.k0)deux espaces vectoriels normés et T : E→F une application linéaire.
Montrer queT est continue si et seulement siT est uniformément continue si et seulement si pour toute suite(xn)deE tendant vers0,la suite (T(xn))nest bornée dansF.
Exercice 11
On considère l’ensembleP des fonctions polynômiales à coefficients dansK(=RouC) et définies sur[0,1].On définit sur P les normeskpk∞= sup
t∈[0,1]
|p(t)|etkpk1=max(kpk∞, kp0k∞)où est la dérivée dep.
1. L ’applicationD: p→p0 de(P,kk∞)dans(P,k.k∞)est-elle continue?
2. Montrer que Dest continue de(P,k.k1)dans(P,k.k∞)et calculer sa normekDk.
3. Soita∈R. Pour p∈P , on poseδa(p) =p(a). L’application δ: (P,k.k∞)→(K, |.|)est -elle continue?
Si oui, calculer sa norme.
Exercice 12
Soient (an)une suite de[0,1],(un)une suite de réels telle que la série P
n≥0
un soit absolument convergente et E =C([0,1], R).
a. Montrer que l’applicationT :f →P∞
n=0unf(an)est bien définie deE dansR, linéaire , continue et que sa norme est kTk=P∞
n=0|un|.
b. Donner des cas simples où la norme de T est atteinte. Voyez-vous une situation où la norme n’est au contraire pas atteinte?
Exercice 13
On considère I un segment deRet C(I),l’espace vectoriel des fonctions continues sur I muni de la norme infiniekfk= supx∈I|f(x)|, f ∈ C(I).
On suppose que I= [0, π]et on considère la forme linéaire T sur C(I)définie par T(f) =´π
0 f(t)sin(t)dt. Montrer que la norme deT définie parkT k= supkfk≤1|T(f)|,est égale à 2
a. On suppose maintenant queI= [−π/2, π/2]et on considère la forme linéaireT surC(I)définie par
T : f 7→
ˆ π/2
−π/2
f(t) sin(t)dt, f ∈ C(I).
Montrer quekT k≤2.
Pourquoi l’utilisation de la fonction test f : t7→
1 si 0≤t≤π/2
−1 si −π/2≤t <0 ne permet pas de conclure que kT k= 2?
b. On considèren≥1 un entier naturel et la suite de fonctions(fn)n≥1affines par morceaux, définies par
fn : t7→
1 si 1/n≤t≤π/2 nt si −1/n < t <1/n
−1 si −π/2≤t <−1/n .
Vérifier que(fn)n≥1converge simplement versf surI.Pourquoi est-ce qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme surI? CalculerT(fn)pour tout entier naturel n≥1.
En faisant tendre nvers l’infini, conclure quekT k est encore égal à 2.
2
