Continuité – Limites

(1)

Continuité – Limites

Activité N°2 page 24 – Corrigé

1. Soit la fonction f définie sur \ par ^{f x}

( )

^{= − +}^x³ ³^x²⁻⁴^.

a. On a immédiatement lim ³

x x

→+∞ = +∞ puis : _x^lim_→+∞

( )

⁻^x³ ^{= −∞}^.

On a aussi : lim ²

x x

→+∞ = +∞, d’où : lim 3 ²

x x

→+∞ = +∞ puis : _x^{lim 3}_→+∞

(

^x²⁻⁴

)

^{= +∞}^.

On est ainsi confronté à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

b. Pour x non nul, on peut factoriser l’expression − +x³ 3x²−4 par −x³ et on obtient :

( )

³ ² ³ ²3 3 ³ 3

3 4 3 4

3 4 1 x 1

f x x x x x

x x x x

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

= − + − = − ⎜⎝ +− +− ⎟⎠= − ⎜⎝ − + ⎟⎠

Pour tout réel x non nul :

( )

³ 3

3 4

1

f x x

x x

⎛ ⎞

= − ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

c. En tenant compte de 1 1₃

lim lim 0

x^→+∞x =x^→+∞x = , il vient (multiplication par un réel)

3

3 4

lim lim 0

x^→+∞ x x^→+∞x

− = = puis (somme) : 3 4₃

lim 1 1

x^→+∞ x x

⎛ − + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Par ailleurs, on a vu en 1.a. que l’on a avait : _x^lim_→+∞

( )

⁻^x³ ^{= −∞}^.

On en déduit finalement (produit) :

( )

³ 3

3 4

lim lim 1

x f x x x

x x

→+∞ →+∞

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣− ⎜⎝ − + ⎟⎠⎥⎦= −∞.

( )

lim

x f x

→+∞ = −∞

2. Soit la fonction g définie sur ^D^{= − −}^\

{ }

¹ ^par

( )

² 3

2 3 1

1

x x

g x x

− +

= + .

a. On a immédiatement : ^lim

(

³

)

x x

→−∞ − = +∞ et (somme) : ^lim

(

³ ¹

)

x x

→−∞ − + = +∞. On a aussi : lim ²

x x

→−∞ = +∞, d’où : lim 2 ²

x x

→−∞ = +∞. On en déduit (somme) : _x^{lim 2}_→−∞

(

^x²⁻³^x^{+ = +∞}¹

)

^.

On a également : lim ³

x x

→−∞ = −∞ et (somme) : _x^lim_→−∞

(

^x³^{+ = −∞}¹

)

^.

On est ainsi confronté à une forme indéterminée du type « ∞

∞ ».

(2)

b. Pour tout x réel non nul, on peut factoriser le numérateur et le dénominateur de g par, respectivement, 2x² et x³ :

( )

2

2 2 2 2

3

3 3 3

3 1 3 1

2 1 1

2 3 1 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1

x x

x x x x x x

g x x x

x x x

⎛ +− + ⎞ − +

⎜ ⎟

− + ⎝ ⎠

= = =

+ ⎛⎜ + ⎞⎟ +

⎝ ⎠

Comme 1 1₂ 1₃

lim lim lim 0

x^→−∞x =x^→−∞x =x^→−∞x = , on a (multiplication par un réel) :

2 3

2 3 1 1

lim lim lim lim 0

2 2

x^→−∞x x^→−∞ x x^→−∞ x x^→−∞x

= − = = = puis (somme) : 3 1₂

lim 1 1

2 2

x^→−∞ x x

⎛ − + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

3

lim 1 1 1

x^→−∞ x

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ . Il vient alors (rapport) :

2

3

3 1

1 2 2

lim 1

1 1

x

x x

x

→−∞

− +

= +

et enfin (produit) :

( )

²

3

3 1

21 2 2

lim lim 0 1 0

1 1

x x

g x x

x

→−∞ →−∞

− +

= = × =

+

( )

lim 0

x g x

→−∞ =

3. Soit la fonction h définie sur

[

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{h x}

( )

^{= −}^x ² ^x^.

a. On a immédiatement : lim

x x

→+∞ = +∞ et donc (multiplication par un réel) lim 2

x x

→+∞ = +∞.

On est ainsi confronté à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

b. Pour tout x de D non nul, c'est-à-dire, tout réel x strictement positif, on peut factoriser 2

x− x par x et il vient :

2 2

2 1 x 1

x x x x

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= ⎜⎝ − ⎟⎠

Pour tout réel x strictement positif, on a : ^{h x}

( )

^x ² ^x ^x ¹ ²

x

⎛ ⎞

= − = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

(3)

c. Comme 1

lim 0

x^→+∞ x = , on a (somme) : 2

lim 1 1

x^→+∞ x

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ puis (produit) : lim 1 2

x x

→+∞ x

⎡ ⎛ − ⎞⎤= +∞

⎢ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

( ) ( )

lim lim 2

x h x x x x

→+∞ = →+∞ − = +∞