2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
f
x x
x x
x 1 x 1
x 3
1 / f ( x ) D IR \{ 1 }
1 x
lim f ( x ) lim x 1 x lim f ( x ) lim x 1
x lim f ( x )
lim f ( x )
f
x x
x x
x 1
x 1
x ² 1
2 / f ( x ) D IR \{ 1 }
( x 1 )² lim f ( x ) lim x ² 1
x ² lim f ( x ) lim x ² 1
x ² lim f ( x )
lim f ( x )
f
x x
x x
x 3
x 3
x 3
x 3
x 2
3 / f ( x ) D IR \{ 3 ,3 }
x ² 9
lim f ( x ) lim 1 0 x lim f ( x ) lim 1 0
x lim f ( x )
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
x - 1 +
1-x + 0 -
x - 1 +
1-x + 0 -
x - 1 +
(1-x)² + 0 +
x - -3 3 +
x²-9 + 0 - 0 +
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f
x x
x x
x 2
x 2
x 2
x 2
3 x 5
3 / f ( x ) 1 D IR \{ 2 , 2 }
x ² 4 lim f ( x ) 1 lim 3 1
x lim f ( x ) 1 lim 3 1
x lim f ( x )
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
Exercice 2:
x 0
x 2
x 2
x
lim 2 sin x lim 2
cos x lim ( tgx )²
lim sin(1 ) 0 x
Exercice 3:
1/ f(x)= 2 x ² 1 x ² 3 x 2 ; Df={xIR;2x²+1 0 et x²-3x+2 0}
Df=]- ,1][2,+ [
x x
x
x x
x
1 3 2
lim f ( x ) lim | x | 2 | x | 1
x ² x x ²
1 3 2
lim x ( 2 1 )
x ² x x ²
1 3 2
lim f ( x ) lim | x | 2 | x | 1
x ² x x ²
1 3 2
lim ( x )( 2 1 )
x ² x x ²
x - -2 2 +
x²-4 + 0 - 0 +
x 0 sinx - 0 +
x 2
cosx + 0 -
x - 1 2 +
x²-3x+2 + 0 - 0 +
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2/ f(x)= 1 1
x ² 9 x 3
; Df={xIR; x²-90 et x-3 >0}=]3,+ [
x
x 3 x 3
x 3
lim f ( x ) 0
x 3 1
lim f ( x ) lim
x 3 ( x 3 )( x 3 )
1 1 1
lim x 3 ( 0 )
x 3 x 3 6
3/ f(x)= x 3 2
x 1
; Df={xIR; x-3 0 et x-10}=[3,+ [
x x
x
x 1 lim f ( x ) lim
( x 1 )( x 3 2 )
lim 1 0
x 3 2
4/ f(x)= 4 x ² 2 x 2 2 x 1 ; Df={xIR; 4x²-2x-2 0}=]- ,-1
2 ][1,+ [
x
x x
x
x x
lim f ( x )
4 x² 2x 2 ( 2x 1 )² lim f ( x ) lim
4 x² 2x 2 2x 1 lim 2x 3
4 x² 2x 2 2x 1
3 3
x( 2 ) 2
2 1
x x
lim lim
2 2 2
2 2 1
2 2 1
4 2
x 4 2
x x² x
x x² x
Exercice 4:
x 1 t 0 t 0
x 4
t 0 x t 0
x 2
tg( x )
sin( x² 1 ) sin t 4 tgt
lim lim 1 ; lim lim 1
x² 1 t x t
4 cos( x ) 1
cos t 1 1 sin t
lim 2 lim 0 ; lim x sin lim 1
t x t
( x ) 2
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1/ Df={xIR; x 1 0 ; x 0 x
}=]- ,0[[1,+ [.
2/
x x x 0
lim f ( x ) 1 ; lim f ( x ) 1 ; lim f ( x )
3/
x
lim f ( x ) 1
:y=1 est une asymptote horizontale de f au voisinage de + .
xlim f ( x ) 1
:y=1 est une asymptote horizontale de f au voisinage de -
x 0
lim f ( x )
D:x=0 est une asymptote verticale.
Exercice 6:
x x x
x 1
lim f ( x ) 1 lim 1 lim 2
1 1
| x | 1 1
x ² x ²
x
lim f ( x ) 2
:y=2 est une asymptote horizontale de f au voisinage de
+
x x x
x 1
lim f ( x ) 1 lim 1 lim 0
1 1
| x | 1 1
x ² x ²
xlim f ( x ) 0
:y=0 est une asymptote horizontale de f au voisinage de - Exercice 7 :
a) Df={xIR, x²+2x ≥ 0}=]-∞,-2][0,+∞[.
b)
x x
x
lim f ( x ) lim 2 x 5 | x | 1 2 x
5 2
lim x ( 2 1 )
x x
x x
x
lim f ( x ) lim 2 x 5 | x | 1 2 x
5 2
lim x ( 2 1 )
x x
c)
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x x
x
x
lim f ( x ) ( x 4 ) lim x 1 x ² 2 x ( x 1 )² ( x ² 2 x )
lim x 1 x ² 2 x
lim 1 0
x 1 x ² 2 x
d'ou : y=x+4 est une asymptote oblique de au voisinage de +∞.
d)
x x
x
x
f ( x ) 2 x 5 x ² 2 x
lim lim
x x
2 x 5 x ² 2 x
lim x x
2 x 5 x ² 2 x
lim x x ²
2 1 3
x x
x x
x
lim f ( x ) 3 x lim 5 ( x x ² 2 x ) x ² ( x ² 2 x ) lim 5
x x ² 2 x 5 lim 2 x
x ( 1 1 2 ) x
5 lim 2 5 1 6
1 1 2 x
d'ou D:y=3x+6 est une asymptote oblique de au voisinage de -∞. Exercice 8:
2 2 2
2 2
3 2 5 9 (2 5)
lim ( ) lim lim
2 ( 2)(3 2 5)
2( 2) 2 1
lim lim
( 2)(3 2 5) 3 2 5 3
x x x
x x
x x
f x x x x
x
x x x
f est continue en 2
2
lim ( ) (2) 2
x f x f m
Exercice 9:
1/
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1 1
1 1
lim ( ) lim 1 1 (1)
3
lim ( ) lim 2 2 1
2
x x
x x
f x x f
x
m x
f x m
x
f est continue en 1 2m-1= -1 m=0 2/ a)
3 3
2 2
3 3
2 2
lim ( ) lim 3
2
² 1 13
lim ( ) lim
² 2 4 5
x x
x x
f x x
x f x x
x x
3 3
2 2
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
f n'est pas continue en 3
2 . b) continuité de f sur ]- ,1[:
1 3 x x
x
est continue sur IR|{3} f est continue sur ]- ,1[
continuité de f sur ]1, 3
2 [
2 x x
x
est continue sur IR|{2} f est continue sur ]1, 3
2[ continuité de f sur ] 3
2,+ [:
² 1
² 2 4
x x
x x
est continue sur IR|{ 1 5, 1 5} f est continue sur ] 3
2 ,+[
En conclusion f est continue sur IR|{3
2 }.
Exercice 10:
1/
1 0
0
cos( )
2 2
lim ( ) lim 1
sin( ) lim 2
2
x t
t
t
f x on pose t x
t t t
f est continue en 1.
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cos( )
x 2x
est continue sur IR et en particulier sur IR|{1}
x x-1 est continue et non nulle sur IR|{1}
f est continue sur IR|{1}
en conclusion f est continue sur IR.
Exercice 11:
² 1 ²
lim ( ) lim ² 1 lim
² 1
1 1
(1 ) 1
lim lim 1
1 1 1 1 2
( 1 1) ( 1 1)
² ²
x x x
x x
x x x
f x x a x x a
x x x
x x x
a a a
x x x x x
(1 1)
lim ( ) lim 1 lim lim
² 3 2 3 2
( 1 )
² 1 1
lim lim
3 2
1 ²
1 lim
x x x x
x x
x
x x x
f x bx bx
x x
x x
bx x
x x
bx
si b=0 lim ( ) 1
x
f x
si b <0 lim ( )
x
f x
si b >0 lim ( )
x
f x
2/
0 0
0 0
lim ( ) lim ² 1 1 (0)
lim ( ) lim ² 0
x x
x x
f x x a x x a f
f x x x
f est continue en 0 a+1=0 a= -1
1 1
1 1 1
1
lim ( ) lim ² 0 (1)
1 ( 1)( ² 3 2)
lim ( ) lim lim
( 1)( 1)
² 3 2
² 3 2
lim 2
1
x x
x x x
x
f x x x f
x x x
f x bx b
x x
x
b x b
x
f est continue en 1 b-2=0 b=2.
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1/ a) 1ercas: a-1=0 a=1;
x x
lim f ( x ) lim x 1
x 2èmecas: a-10 a1;
x x x
x x
( a 1 )x²
lim f ( x ) lim ( a 1 ) lim x
x si a 1 lim f ( x ) si a 1 lim f ( x )
b)
x 2 er
x 2 x 2
ème
x 2 x 2
lim ( a 1 )x² x 3 2a 3 1 cas : a 3
2
lim f ( x ) ; lim f ( x ) 2 cas : a 3
2
lim f ( x ) ; lim f ( x )
ème
x 2
3 cas : a 3 2
5 3
( x 2 )( x )
5 3
2 5
f ( x ) ( x )
x 2 2 5
lim f ( x ) 13
2
2/ a) Dg ={xIR; x²-x0}=]- ,0]U[1,+ [ b)
x
x x
x x x
lim g( x )
lim g( x ) lim x( 1 1 2 ) x
x 1 1
lim g( x ) x lim lim
x² x 1 1 2
1 1
x
c)d’après b) on a :
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x
lim g( x ) ( x 1) 0
2 donc :y= 1
x 2
est une asymptote au voisinage de + de g .
Exercice 13:
1/ x x²+x-2 est positive donc x x² x 2est définie sur IR , par suite f est définie sur ]- , 1].
x x² 3 2 x 1
est définie sur {xIR; x²+3 0 ; x-1 0}=IR\{1} donc f est définie sur ]1,+ [
Ainsi Df=IR.
2/
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1
3 1
lim f ( x ) lim x² x 2 x f ( 1 )
2 2
x² 3 2 ( x 1 )( x 1 )
lim f ( x ) lim lim
x 1 ( x 1 )( x² 3 2 )
x 1 1
lim x² 3 2 2
f est continue en 1.
3/
x x x
3 1 2 3
lim f ( x ) lim x² x 2 x lim x( 1 )
2 x x² 2
x x x
x
3 2
x( 1 )
x² 3 2 x² x
lim f ( x ) lim lim
x 1 x( 1 1)
x
3 2
1 x² x
lim 1
1 1 x
Exercice 14:
1/ a) Df={xIR; 2x²+x-10}=IR\{-1,1 2} b)
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3
x x x x x
x 1
x² 1 x
lim f ( x ) lim lim xf ( x ) lim lim x
2x² 2 2x²
( x 1 )( x 11 ) ( x 11 )
f ( x ) lim f ( x ) 4
1 2x 1
2( x 1 )( x ) 2
2/
x x
x x
lim 9 x² 2 ax lim x( 9 2 a ) x²
lim x et lim 9 2 a 3 a
x²
1ercas: 3-a >0 3>a;
x
lim 9x² 2 ax
2mercas: 3-a <0 3<a;
x
lim 9x² 2 ax
3èmecas: a=3; 2
9x² 2 3x
9x² 2 3x
x x
lim 9x² 2 3x lim 2 0
9x² 2 3x
3/ Dg=]- ,2]U[5,+ [.
b)
x x
x x
1 7 10
x( 3 1
x x x²
lim g( x ) lim 2
x( 1 1) x
1 7 10
x( 3 1 )
x x x²
lim g( x ) lim 4
x( 1 1) x
x 1
( 3x 1 )² ( x² 7 x 10 ) 8 x² x 9
g( x )
( x 1 )( 3x 1 x² 7 x 10 ) ( x 1 )( 3x 1 x² 7 x 10 ) 8( x 1 )( x 9 )
8 x 9 8
( x 1 )( 3x 1 x² 7 x 10 ) 3x 1 x² 7 x 10 lim g( x ) 17
4
c)
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x
x x x
lim g( x ) x
x
lim xg( x ) ( lim x )( lim g( x ))
g( x )
lim 0
x lim x
